正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)中正交表的特點(diǎn)及正交的意義淺析

于慧春，殷 勇，李 欣，袁云霞，吳 昊

（河南科技大學(xué)食品與生物工程學(xué)院，河南洛陽 471023）

0 引言

在科學(xué)研究中，針對某個具體的指標(biāo)，其影響因素往往有多個，考查多個因素及其交互作用對指標(biāo)的影響，屬于多因素試驗(yàn)。在多因素試驗(yàn)中，找出各因素的最優(yōu)水平組合，最直接且易于理解的做法就是對所有因素水平的組合都進(jìn)行試驗(yàn)，根據(jù)試驗(yàn)指標(biāo)值來確定各因素的最優(yōu)水平組合[1-2]。這樣做的最大問題就是當(dāng)因素?cái)?shù)較多時，試驗(yàn)次數(shù)以因素?cái)?shù)為指數(shù)增長，隨著因素?cái)?shù)的正交增多，試驗(yàn)次數(shù)迅速增長，導(dǎo)致試驗(yàn)災(zāi)難，讓人難以接受，甚至難以完成。因此，只能減少試驗(yàn)次數(shù)，從全部的試驗(yàn)中選擇部分試驗(yàn)來實(shí)施。那么關(guān)鍵的問題就是如何選擇部分試驗(yàn)，使其既能大大減少試驗(yàn)次數(shù)，又能代表全面試驗(yàn)的結(jié)果。從全部試驗(yàn)中“科學(xué)”地選擇“部分試驗(yàn)”的過程，即“試驗(yàn)設(shè)計(jì)”。常用的多因素試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法有正交設(shè)計(jì)法、參數(shù)設(shè)計(jì)法、回歸設(shè)計(jì)法、均勻設(shè)計(jì)法、混料設(shè)計(jì)法。

正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)在科學(xué)試驗(yàn)中應(yīng)用非常廣泛。因此，結(jié)合自己對正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法的理解，對正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的特點(diǎn)和“正交性”的理解作一簡單的介紹。

1 正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法

正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)（Orthogonal Experimental Design）是一種主要的分式析因設(shè)計(jì)方法，是尋求因素水平的較優(yōu)組合的一種簡單、高效、快速的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法[3]。在正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)中，各因素的水平根據(jù)先驗(yàn)知識進(jìn)行確定，如此全部因素水平的組合，即在因素空間所有試驗(yàn)點(diǎn)的分布是確定的，正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)即從所有試驗(yàn)點(diǎn)中根據(jù)“正交性”選擇部分有代表性試驗(yàn)點(diǎn)來實(shí)施試驗(yàn)，選出的這部分試驗(yàn)點(diǎn)，構(gòu)成一張表，即“正交表”。

正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法就是利用已經(jīng)造好了的“正交表”中各試驗(yàn)點(diǎn)的因素水平搭配方案來安排試驗(yàn)并進(jìn)行數(shù)據(jù)分析即可。因此，相對來說是最簡單、最易于理解和掌握的一種試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法。

2 正交表的特點(diǎn)

正交表具有均衡搭配、綜合可比的特點(diǎn)，這一特點(diǎn)決定其正交性，具有重要的意義。

（1）均衡搭配。任一因素的任一水平與其他因素的每一水平搭配的次數(shù)均相等。

（2）綜合可比。任一因素的各水平出現(xiàn)的次數(shù)相等[3-4]。

關(guān)于正交表的特點(diǎn)比較容易理解，以一個最簡單的三因素二水平的L4（23）正交表為例來說明。

L4（23）正交表見表1。

表1 L4（23）正交表

由表1可知，各個因素的水平均出現(xiàn)2次，各個因素的水平與任一因素的水平均搭配1次。因此，所選的試驗(yàn)點(diǎn)是均衡搭配、綜合可比的。

也可以用圖來表示，以三因素三水平的試驗(yàn)設(shè)計(jì)為例。

三因素三水平正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)試驗(yàn)點(diǎn)的分布見圖1。

圖1 三因素三水平正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)試驗(yàn)點(diǎn)的分布

由圖1可知，對應(yīng)于因素A有A1，A2，A3共3個平面，同樣對應(yīng)于因素B和C也各有3個平面B1，B2，B3和 C1，C2，C3，一個面代表一個因素水平，9個因素水平，所以共9個平面。圖中所有交點(diǎn)即全面試驗(yàn)的所有試驗(yàn)點(diǎn)，被選出構(gòu)成正交表的試驗(yàn)點(diǎn)用⊙表示。選取試驗(yàn)點(diǎn)時，要求每個因素的每個水平都要同等看待。

由圖1可知，①這9個平面中，每個面上的試驗(yàn)點(diǎn)一樣多，即對各因素水平的選擇次數(shù)一樣多，每一個因素每一個水平出現(xiàn)次數(shù)均等。這體現(xiàn)了對各因素水平的同等看待，即綜合可比的特點(diǎn)。②每個平面上都有3行、3列，每行、每列上的點(diǎn)一樣多，每個平面的每行每列都有一個點(diǎn)，而且只有一個點(diǎn)，因而每個平面上都恰好有3個點(diǎn)。這體現(xiàn)了所選試驗(yàn)點(diǎn)分布的均勻性，即均衡搭配的特點(diǎn)。總共選用9個試驗(yàn)點(diǎn)代表全面試驗(yàn)，試驗(yàn)次數(shù)大大降低。

3 正交表的正交性

正交表的正交性相對來說，比較難以理解，首先解釋根據(jù)正交性來選試驗(yàn)點(diǎn)的意義，然后再來證明正交表的正交性。

正交的意義：線性代數(shù)中，“正交”是“垂直”這一概念的推廣，“正交”意味著2個向量相互獨(dú)立，不相關(guān)，即兩個向量的內(nèi)積為0，如定義2個向量的夾角，則“正交”可直觀理解為兩向量“垂直”。從“正交”的基本概念可知，向量“正交”的實(shí)際意義是：向量各自包含的信息沒有重疊，不相交。由此，可以這樣來理解，整個因素空間的全部信息，分布在所有試驗(yàn)點(diǎn)，每個試驗(yàn)點(diǎn)都包含一部分信息，且各個試驗(yàn)點(diǎn)所包含的信息存在交叉和重疊。因此，正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法的實(shí)質(zhì)就是找出那些信息不重疊、不相關(guān)的試驗(yàn)點(diǎn)，這些有代表性的試驗(yàn)點(diǎn)即代表了因素空間的全部信息，又避免了信息重疊，這樣就能用部分的試驗(yàn)次數(shù)來代表試驗(yàn)的全部信息。所以，“正交表”中的試驗(yàn)點(diǎn)就是從因素空間全部試驗(yàn)點(diǎn)組合所選出的有代表性的試驗(yàn)點(diǎn)，由他們所組成的試驗(yàn)表，具有正交性，因此稱為“正交表”。

正交表的正交性如何體現(xiàn)：強(qiáng)調(diào)正交表的正交性的意義，那么如何體現(xiàn)出其正交性？弄明白這一點(diǎn)，對真正理解正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法的實(shí)質(zhì)有重要的幫助作用。

正交表中每一個因素都可看作是一個向量，其各水平可以看作向量的元素（正交表中的列）[5]。正交表中各個字母，僅僅代表因素的不同水平，沒有實(shí)際的數(shù)學(xué)意義，所以可以用其他任何字符來代替，為了較直接地證明其正交性，用不同的數(shù)字或字母來替換。如2水平的正交表，可以用a和-a來分別代表其2個水平，三水平的正交表可以用a，-a和0來分別代表其3個水平，以此類推，四水平時，分別用a，-a，b，-b來分別代表其4個水平，五水平分別用a，-a，b，-b和0來分別代表其5個水平等進(jìn)行這樣的替換后，正交表中任意兩列的乘積的和為0，即正交表中每一列當(dāng)作一個向量，任意兩列的內(nèi)積為0，以一個3水平正交表L9（34）為例（見表2），表中的3個水平分別用a，-a和0來表示。

替代后的三水平正交表見表2。

表2 替代后的三水平正交表

由表2可知，對各水平的表示方法進(jìn)行替代，替代后任意兩列內(nèi)積為0，換其他任何水平的正交表，均是如此。之所以有這樣的結(jié)果，正是因?yàn)樵谶x試驗(yàn)點(diǎn)時，所依據(jù)的均衡搭配、綜合可比的思想。依據(jù)這一思想在因素空間來選擇試驗(yàn)點(diǎn)，保證了正交表的“正交性”，這是實(shí)現(xiàn)用較少的試驗(yàn)來代替全面試驗(yàn)的理論基礎(chǔ)。

4 結(jié)語

依據(jù)正交性從全面試驗(yàn)中選出有代表性的試驗(yàn)點(diǎn)構(gòu)成正交表，具有均衡搭配、綜合可比的特點(diǎn)；反之，正交表的均衡搭配、綜合可比的特點(diǎn)，也保證了正交表的正交性。正交表的正交性保證了所選出各個試驗(yàn)點(diǎn)信息的不重疊，是實(shí)現(xiàn)用較少的試驗(yàn)代替全面試驗(yàn)的理論基礎(chǔ)。