階梯形變截面壓桿臨界荷載的一種較精確算法

陳玉驥 ，郭浩宇 ,羅旗幟 ，2，馬鎮(zhèn)航

（1.佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院交通與土木建筑學(xué)院，廣東佛山528000；2.湖南大學(xué)土木工程學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙410082）

壓桿臨界荷載的計(jì)算有解析法、數(shù)值法、能量法和半解析法等［1-9］。其中，瑞利-里茲法（Rayleigh-Ritz method）是計(jì)算壓桿臨界荷載的常見(jiàn)方法之一。用瑞利-里茲法計(jì)算時(shí)，需要假設(shè)撓曲線函數(shù)，撓曲線函數(shù)的假設(shè)與計(jì)算精度密切相關(guān)。一般而言，若撓曲線函數(shù)滿足所有內(nèi)力邊界條件和位移邊界條件，則計(jì)算精度較高。若撓曲線函數(shù)只取一項(xiàng)，雖然較簡(jiǎn)，但通常計(jì)算精度較差，除非所設(shè)撓曲線函數(shù)與實(shí)際情況十分接近（這樣的假設(shè)比較困難）。取撓曲線函數(shù)兩項(xiàng)甚至更多項(xiàng)，雖然計(jì)算精度可以提高，但因?yàn)槟芰糠e分較復(fù)雜且要涉及求解階數(shù)大于1的穩(wěn)定方程（特征方程），故相應(yīng)計(jì)算量較大。對(duì)于階梯形變截面壓桿，按上述算法，不管是撓曲線函數(shù)取一項(xiàng)，還是取多項(xiàng)，由于都用一個(gè)撓曲線函數(shù)表示整個(gè)桿件的位移，故即使?jié)M足所有邊界條件，以及在截面突變點(diǎn)，可以滿足位移和轉(zhuǎn)角連續(xù)條件，但因在截面突變點(diǎn)左右桿段抗彎剛度EI不同，故彎矩不連續(xù)，因而導(dǎo)致計(jì)算精度不高，除非撓曲線函數(shù)取較多的項(xiàng)，但相應(yīng)會(huì)大幅增加計(jì)算量。

本文在撓曲線函數(shù)取一項(xiàng)的基礎(chǔ)上，通過(guò)進(jìn)行修正，使得在截面突變點(diǎn)，彎矩也可以滿足連續(xù)條件。算例表明，以這樣經(jīng)過(guò)修正的撓曲線函數(shù)計(jì)算，可顯著提高變截面壓桿臨界荷載的計(jì)算精度。

1 計(jì)算思路

對(duì)于階梯形變截面壓桿，桿件由若干等截面桿段組成。計(jì)算其臨界荷載時(shí)，若撓曲線函數(shù)y（x）取

式中，A為任意參數(shù)，φ（x）為滿足邊界條件的位移試函數(shù)。則根據(jù)瑞利-里茲法可得壓桿的臨界荷載

式中，Ii為壓桿在等截面桿段區(qū)間［xi，xi+1］的桿件截面慣性矩，m為等截面桿段總數(shù)。若撓曲線函數(shù)取n項(xiàng)

式中，Ai為任意參數(shù)，φi（x）為滿足邊界條件的位移試函數(shù)項(xiàng)，n為位移試函數(shù)總項(xiàng)數(shù)。則由能量變分原理

得齊次方程組

由相應(yīng)的穩(wěn)定方程，即可確定臨界荷載。

2 算例

圖1 變截面懸臂壓桿

解1為了便于考察以下各種結(jié)果的精度，先確定該壓桿臨界荷載的精確解。文[10]中推導(dǎo)的兩段階梯形變截面懸臂壓桿臨界荷載的穩(wěn)定方程為

對(duì)圖1所示壓桿，穩(wěn)定方程為

解2 撓曲線函數(shù)取一項(xiàng)（冪函數(shù)），設(shè)［10］

解3 撓曲線函數(shù)取兩項(xiàng),設(shè)［10］

解4 根據(jù)兩個(gè)等截面桿段對(duì)應(yīng)區(qū)間，分別假設(shè)撓曲線函數(shù)。其中，在區(qū)間［0，l/4］，仍然采用解2所設(shè)撓曲線函數(shù)；在區(qū)間［l/4，l］，則以在區(qū)間［0，l/4］桿段所設(shè)撓曲線函數(shù)中加入修正項(xiàng)來(lái)作為該桿段的撓曲線函數(shù)。該修正項(xiàng)的設(shè)置，必須保證在截面突變點(diǎn)滿足連續(xù)條件。即在x=l/4時(shí)，修正項(xiàng)對(duì)應(yīng)的撓度和轉(zhuǎn)角為0，整個(gè)位移所對(duì)應(yīng)的彎矩保持連續(xù)；此外在端點(diǎn)x=l處還需滿足彎矩為0的條件。由于解2所設(shè)撓曲線函數(shù)可以滿足圖1所示壓桿兩端點(diǎn)的邊界條件，故修正項(xiàng)可將其移軸l/4并將跨度改為區(qū)間［l/4，l］的跨度3l/4而得出。按照以上思路，假設(shè)撓曲線函數(shù)為

將該撓曲線函數(shù)代入（2）式，可求出

與精確解比較，誤差0.154%。可見(jiàn)，該解的精度較未進(jìn)行修正的解2和解3有了明顯的提高。

解7 區(qū)間［l/4，l］采用解5所設(shè)撓曲線函數(shù)；對(duì)于區(qū)間［l/4，l］，在解5所設(shè)撓曲線函數(shù)中加入修正項(xiàng)，其思路與解4的相同。設(shè)

3 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)以上計(jì)算表明，本文給出的修正項(xiàng)設(shè)置方法，可以大幅度提高計(jì)算精度，而計(jì)算量遠(yuǎn)較增加位移試函數(shù)項(xiàng)數(shù)要小，說(shuō)明本文方法是階梯形變截面壓桿臨界荷載的一種較精確算法。