同心鼓運動模型的相關(guān)研究

王鑫 張樂民 王寧宇 柳慶新*

（1.河海大學(xué)計算機與信息學(xué)院 江蘇省南京市 211100 2.河海大學(xué)理學(xué)院 江蘇省南京市 211100）

拓展項目“同心協(xié)力”需要參與者充分發(fā)揮團隊協(xié)作能力。所用道具是一面雙面鼓，鼓身固定多根繩子，繩子在鼓身上的固定點沿圓周均勻分布，每根繩子長度相同。團隊成員每人牽拉一根繩子，盡量使鼓面保持水平。項目開始時，球從鼓面中心正上方豎直落下，隊員協(xié)力拉動鼓將球顛起。

項目所用排球的質(zhì)量為270g。鼓面直徑40cm，鼓身高度為22cm，鼓的質(zhì)量為3.6kg。隊員人數(shù)不能少于8 人，且之間的最小距離不得小于60cm。項目開始時，球從鼓面中心上方40cm 處豎直落下，球被顛起的高度應(yīng)離開鼓面40cm 以上。項目的目標(biāo)是使得連續(xù)顛球的次數(shù)盡可能多?；顒舆^程中隊員只能抓握繩子的末端，不能接觸鼓或繩子的其他位置。

根據(jù)題目所給條件，我們進行以下假設(shè)：每個隊員的位置經(jīng)安排后不再改變，在顛球過程中不會發(fā)生移動。球運動過程中按照理論規(guī)律運動，不存在其他外界因素(如風(fēng)、空氣阻力)的影響。鼓與球的材質(zhì)均勻，可按一種材質(zhì)計算，同時鼓內(nèi)看作空心。第四問中“兩位隊員”指的是相鄰的兩位隊員。鼓的轉(zhuǎn)動過程與剛體轉(zhuǎn)動過程類似。

1 問題一：理想狀態(tài)下團隊最佳協(xié)作的顛球高度

1.1 策略目標(biāo)分析

影響人顛球次數(shù)直接影響因素為繩的拉力大小。設(shè)團隊有n 個人，相鄰兩位隊員之間的夾角為θ，繩上的拉力為Fh。

因為每個人都可以精確控制用力方向、時機和力度，則不妨設(shè)球與鼓運動狀態(tài)穩(wěn)定后，作用在鼓上的合力F1為大小恒定的力。在球與鼓兩次相撞的中間時段，F(xiàn)1作用的時長為t'。為使鼓和球一起運動的系統(tǒng)耗能最小，顛球的高度Н 應(yīng)盡量低。所以，Н=40cm。對于鼓球系統(tǒng)，所以，穩(wěn)定后的鼓球系統(tǒng)，每一次球都應(yīng)當(dāng)在同樣的位置發(fā)生撞擊（假設(shè)發(fā)生撞擊后立即相互脫離，兩次撞擊的時間間隔為一個周期時長T）。

1.2 球和鼓撞擊狀態(tài)分析

球由撞擊點到最高點的距離與最高點到下一次撞擊點的距離大小相等，均為Н，期間球只受重力作用。可求得T=0.5714s，撞擊前排球的速度撞擊后排球的速度（以豎直向下為正方向）。由動量守恒和非完全彈性碰撞規(guī)律，撞擊前后狀態(tài)可列（設(shè)鼓面材料為PVC）：

1.3 鼓的運動狀態(tài)分析

撞擊后立即撤銷F1，在之后的某時間段t'，以撞擊瞬間為時間起點。在兩次撞擊過程中，鼓運動位移為0，同時滿足動量守恒，可建立如下方程：

圖1：F2 的分析圖

圖2：鼓面轉(zhuǎn)動示意圖

1.4 豎直方向合力F1與繩拉力Fh關(guān)系確定

假設(shè)已知人數(shù)n，則豎直方向合力F1在某一條繩上的分量為某一時刻繩與水平面的傾角φ，則為Fh在豎直方向分量大小，具體關(guān)系如下表示：

1.5 判斷人數(shù)

設(shè)兩人之間的距離固定為x，相鄰兩人之間夾角θ。由幾何關(guān)系可確定人到鼓的水平距離為R。繩較初始位置下降距離h。由幾何關(guān)系建立如下方程組：

化簡得n 與Fh之間的關(guān)系式：

最佳策略為一個團隊8 個人，控制豎直方向合力大小41.013N，發(fā)力時機為撞擊點后0.043s，發(fā)力時長為0.5214s。

2 問題二：球員失誤操作的結(jié)果分析

2.1 某些球員用力過大

由于題目未給出隊員的具體站位，我們默認(rèn)八位隊員相鄰夾角相等，容易給出夾角該情況下每一位隊員正對面均有另一位隊員。

由于隊員的手可以在一定范圍內(nèi)自由移動，可以假設(shè)繩子末端在隊員所站位置上方。鼓的材質(zhì)均勻且空心，可以由表面積比例關(guān)系給出鼓面的質(zhì)量m1=1.7147kg，鼓身的質(zhì)量m2=1.8853kg。

需要考慮多位隊員在一個時間段內(nèi)同時發(fā)力時，情況較為復(fù)雜，需要給出不同情況的受力分析。分析文下表1 數(shù)據(jù)可以得出結(jié)論，即同一時刻內(nèi)只有三種發(fā)力的人數(shù)情況：1 人、2 人或8 人。下面根據(jù)同時間段內(nèi)發(fā)力的人數(shù)分三種情況討論。

2.1.1 情況1

在只有1 人發(fā)力時給出一個隊員施加作用力F2的分析圖1，由于這里鼓面發(fā)生轉(zhuǎn)動的同時必定帶動繩子移動（如圖2），力的大小和方向都將隨之改變，若要精確求解，需要給出兩者的函數(shù)關(guān)系再進行積分，而兩者的函數(shù)關(guān)系較復(fù)雜。實際上，由于轉(zhuǎn)動的角度很小且力作用時間很短，可以認(rèn)為在這段作用時間內(nèi)繩子的位置不變，即可將力向量當(dāng)作定值計算。

該力距豎直方向有一定的傾斜角為φ，根據(jù)剛體轉(zhuǎn)動定理，F(xiàn)2在垂直此時鼓面(此時鼓面水平)的分量影響了鼓面的轉(zhuǎn)動，而水平分量對轉(zhuǎn)動不造成影響。鼓面發(fā)生一定的角度轉(zhuǎn)動后，需要重新分解合力F2，產(chǎn)生新的影響轉(zhuǎn)動的分量，但由于過于復(fù)雜且影響較小，這里同樣不加入計算。

根據(jù)轉(zhuǎn)動定理及角速度關(guān)系，可以給出0.1 秒后鼓面傾角β 的計算方程組。

2.1.2 情況2

在2 人同時發(fā)力時，可以再細(xì)分為兩種情況討論。即2.1 情況：兩人夾角為180°，即剛好面對面站位，此時受力分析圖如圖3 所示。

根據(jù)上文單個力的作用假設(shè)，兩個拉力向量在水平方向上的分解力不會影響轉(zhuǎn)動，現(xiàn)在考慮其在豎直方向上的分力，假設(shè)其中一個分力為Fy1，另一個為Fy2，兩者僅有兩種可能關(guān)系：情況2.1.1：Fy1=Fy2；情況2.1.2：Fy1≠Fy2。兩者相等時，其和力矩方向向上，使鼓發(fā)生豎直平動，此時不發(fā)生轉(zhuǎn)動；兩者不等時，力較大的那一方將使鼓轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動過程的解析類似情況一，不同的是，公式中的Fy需替換為Fy1-Fy2，即：

圖3：兩人夾角為180°時鼓的受力分析

圖4：兩人夾角小于180°的情況

圖5：第八組的pos 值合成

2.2 情況：兩人夾角小于180°（如圖4）,此時較難確定鼓面的轉(zhuǎn)軸，但是分析表1 數(shù)據(jù)可以看到，這種情況發(fā)生時，兩個力的大小均相等，按照剛體轉(zhuǎn)動規(guī)律，相等的兩個力的力臂d 應(yīng)當(dāng)?shù)乳L且平行，于是可以用直線l1連接兩人并過質(zhì)心做的平行線，即可得到該情況下的轉(zhuǎn)軸。

2.1.3 情況3

八個人同時間段內(nèi)發(fā)力時，由于兩兩對稱，可以依據(jù)不同具體情況分解為情況一或情況二進行計算。

2.2 具體求解

考慮到9 組數(shù)據(jù)中每組數(shù)據(jù)在持續(xù)時間及發(fā)力大小上有許多不同，我們將其分為三種類型進行求解：1.每個隊員發(fā)力時機均相同，但有個別隊員用力大小不同(1、2、3 組)；2.每個隊員用力大小相同，但有個別隊員發(fā)力時機不同(4、5、6 組)；3.有個別隊員或用力大小不同或發(fā)力時機不同(7、8、9 組)。這里約定：在同一時間段內(nèi)站位剛好相對且用力大小相等的兩位隊員可根據(jù)模型二中的情況2.1.1 處理，即不將其加入對轉(zhuǎn)動的影響因素中，下面的求解不再贅述此步驟。

2.2.1 類型一(1、2、3 組)的求解

表1：發(fā)力時機（單位：s）和用力大?。▎挝唬篘）取值

表 2：隊員的評價數(shù)值

在這個類型中，隊員發(fā)力的持續(xù)時間均只持續(xù)了0.1s 且在同一時間段內(nèi)，只需合理應(yīng)用模型二分析。第一組按情況2.1.1 談?wù)摷纯桑笥谄@里僅給出第二組的具體解法，第三組解法類似第二組。

第二組中僅需考慮四位隊員：編號1、2、5、6，其中1 和5 相對，2 和6 相對，將相對的兩位隊員運用情況二Fy1≠Fy2時的結(jié)論，可將需要考慮的力減少到2 個即編號1、2 隊員方向的力，再運用情況二的第二種細(xì)分情況即可。

2.2.2 類型二(4、5、6 組)的求解

分兩段時間考慮，第一段0.1s 內(nèi)作用力將使得鼓產(chǎn)生一定的角加速度，在第二段0.1s 內(nèi)由于用力大小均相同，鼓不再具有角加速度，即做勻速轉(zhuǎn)動。第4 組在第一段時間中運用情況2.1.2 算出角加速度α 后可以給出第一段0.1s 末的角速度計算式：

從而鼓面的總傾角：

第五、第六組解法與其類似，不同的地方在于第一段0.1s 中需運用兩次情況2.1.2 再運用情況2.2 才能得到角加速度α。

2.2.3 類型三(7、8、9 組)的求解

與類型二相比，類型三兩段時間均有角加速度，且這兩段時間內(nèi)的角加速度方向大小均不相同。還是同樣的方法給出第一段時間及第二段時間內(nèi)的角加速度α1、α2，這時鼓面在兩端時間內(nèi)有不同的轉(zhuǎn)軸，因此將運動分解為兩個方向，分別用兩個角加速度算出合空間角，以鼓質(zhì)心為坐標(biāo)原點建立空間坐標(biāo)系，假定第一段時間內(nèi)鼓面轉(zhuǎn)軸為y 軸，則可以由幾何關(guān)系給出第二段時間內(nèi)轉(zhuǎn)軸方向，從而給出具體角度值。第8 組繞第一轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動的角度為β1，繞第二轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動角度為β2，求得法向量加和在空間坐標(biāo)系中幾何求解可得鼓面傾角。

用上述方法求得所有實驗組數(shù)據(jù)如表1 所示。

3 球員失誤影響分析即最佳策略的調(diào)整

3.1 數(shù)據(jù)處理

先約定名詞定義，把每一組實驗中發(fā)力時機為-0.1s 的數(shù)據(jù)稱作一型失誤；用力大小為90 的數(shù)據(jù)稱作二型失誤；從“1、2 人分解”模型中得到啟發(fā)，在多人不同時不同力度發(fā)力時，最終決定鼓面傾角的僅與失誤直接相關(guān)而與其他正常數(shù)據(jù)幾乎無關(guān)，從而提出描述失誤數(shù)據(jù)站位的影響程度。

將問題二中的數(shù)據(jù)看作9 組相互獨立的實驗，與現(xiàn)實情況相同，其失誤發(fā)生的概率均滿足隨機性。

可以看出其中的自變量：一型失誤影響程度Tf、二型失誤影響程度Fn和失誤數(shù)據(jù)站位的影響程度pos 都與鼓面傾角的數(shù)值β 有不同程度的相關(guān)性，即可以表示為若想給出具體的相關(guān)程度，需要給出每組實驗中三個影響因素對應(yīng)的唯一數(shù)值。

考慮一型失誤影響程度Tf。每位隊員的發(fā)力時機tf只存在提前發(fā)力或正常時機發(fā)力兩種情況，用0、1 表示，即：

一組實驗內(nèi)的發(fā)力時機程度值Wf可通過各個隊員的wf值累加求和得到，即：

考慮二型失誤的影響程度Fn，F(xiàn)n取該組實驗中不正常力度出現(xiàn)的個數(shù)。

考慮失誤數(shù)據(jù)站位的影響程度pos。這里的“失誤”需要綜合考慮一型失誤和二型失誤，雖然現(xiàn)在我們還不能拿到數(shù)值來準(zhǔn)確描述這兩類型失誤的影響程度，但可以明確的是：同一位隊員在一次實驗中發(fā)生失誤的次數(shù)越多影響肯定更大。

即，可以將在一次實驗中某一位置的隊員發(fā)生失誤的次數(shù)取做該站位的pos 的數(shù)值，而pos 的方向與沿方位的繩向外。整體的pos 值由各個站位的pos 值向量合成得出。

圖6：樣本點繪制預(yù)測圖

圖7：回歸系數(shù)的直方圖

圖8：P 值最小時的站位情況

以第八組實驗為例，如圖5 所示。

接下來用上述體系求出9 組實驗的Tf、Fn、pos 值與鼓面傾角值β 擬合函數(shù)。由于三中因素量綱不同，先對這三種數(shù)據(jù)用zscore函數(shù)進行無量綱標(biāo)準(zhǔn)化。

Matlab 中輸入偏最小而成回歸命令plsregress 擬合處理后的數(shù)據(jù)，得到標(biāo)準(zhǔn)化指標(biāo)變量之間的回歸方程：

為考察擬合效果，我們以觀測數(shù)據(jù)和預(yù)測數(shù)據(jù)對所有的樣本點繪制預(yù)測圖如圖6 所示，可以看出函數(shù)擬合較好。

分析回歸系數(shù)的直方圖7，一型失誤影響程度較大，二型失誤的影響程度和失誤數(shù)據(jù)站位的影響程度相當(dāng)，其中二型失誤與鼓面傾角為負(fù)相關(guān)關(guān)系。

在9 組實驗中，參與的隊員相同且他們的站位始終不變，即某一方位的數(shù)據(jù)全是來自于同一隊員的，據(jù)此我們可以通過這9 組數(shù)據(jù)確定各個隊員的能力評價數(shù)值，該過程我們使用了Topsis，即優(yōu)劣解距離法。

現(xiàn)在有8 個要評價的對象，2 個評價指標(biāo)(發(fā)力時機失誤及用力大小失誤)的標(biāo)準(zhǔn)化矩陣：

定義最大值Z+

定義最小值Z-

定義第i(i=1,2,...,8)個評價對象與最大值的距離

定義第i(i=1,2,...,8)個評價對象與最小值的距離

那么，我們可以計算得出第i(i=1,2,...,8)個評價對象未歸一化的得分：很明顯且Si越大 越小，即接近最大值。算得各隊員的評價數(shù)值pi見表2。

在本例中，某名隊員的評價數(shù)值代表了其操作過程中的不穩(wěn)定性，數(shù)值越高越不穩(wěn)定越容易出現(xiàn)失誤。

3.2 站位策略調(diào)整

每個隊員的操作穩(wěn)定性是其自身屬性，不能再做出更改，在給定一組特定的隊員后若想使得失誤發(fā)生時的鼓面傾角盡可能小，唯一能調(diào)整的是該組隊員的站位，通過站位的調(diào)整降低失誤帶來的影響。

仿照計算pos 時的方法，將一種站位策略形成的總操作穩(wěn)定性P 定義為各個隊員評價數(shù)值的矢量累加，即目標(biāo)函數(shù)為min(P)，即在所有可能的站位策略中求出總操作穩(wěn)定性最強的策略。以表1 的9 組實驗數(shù)據(jù)為例，用C++循環(huán)求解8 位隊員的中站位可能，得到P 最小值為0.1619，該策略的站位安排如下圖所示，其中3、6、7 號位由于穩(wěn)定性相等可以互換位置，對結(jié)果不影響。可以認(rèn)為該策略最大程度上使得隊員操作的穩(wěn)定性最強如圖8。