基于模糊熵和無序理論的圖像紋理分析方法

范 偉，江 昕

(安徽電氣工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院 a. 自動(dòng)化與信息工程系；b. 教務(wù)處，合肥 230051)

紋理是描述圖像分布的重要特征，它廣泛存在于自然場(chǎng)景、生物外觀和藝術(shù)作品中﹒紋理是圖像本身固有的，容易辨認(rèn)卻很難定義[1]﹒這是因?yàn)椴煌娜藢?duì)紋理的理解不同，由于圖像強(qiáng)度值在方向和規(guī)模上存在很大的局部變化，使得紋理模糊且復(fù)雜，因此紋理沒有確切的數(shù)學(xué)定義[2]﹒

紋理分析[3]是圖像處理過程中很重要的步驟，已有一些研究學(xué)者對(duì)此作了相關(guān)研究﹒通常，分析紋理主要有3 種途徑：數(shù)據(jù)法、結(jié)構(gòu)法和光譜法[4]﹒數(shù)據(jù)法將紋理的特征描述為平滑、粗糙和粒狀等；結(jié)構(gòu)法用于整理圖像基元，如基于規(guī)則空間平行線來描述紋理；光譜法是基于圖像的頻率特征，通過考慮光譜中的高能量和窄峰來全方位測(cè)定其周期性﹒文獻(xiàn)[5]在圖像紋理特征統(tǒng)計(jì)分析的基礎(chǔ)上，提出了一種基于小波變換紋理分析的圖像粗糙度提取方法﹒文獻(xiàn)[6]利用分?jǐn)?shù)維將圖像的空間信息和灰度信息有機(jī)結(jié)合，提出了一種基于分形維數(shù)的圖像紋理分析方法，此法所分割的圖像能夠體現(xiàn)圖像的紋理分布﹒文獻(xiàn)[7]研究了基于灰度共生矩陣(GLCM)的14 個(gè)紋理特征，分析了紋理特征之間的冗余﹒文獻(xiàn)[8]將Haralick 特點(diǎn)應(yīng)用于醫(yī)學(xué)圖像紋理的分析，即利用Haralick 紋理特征歸一化灰度共生矩陣不同方向的計(jì)算，該方法的核心是組合多個(gè)特征進(jìn)行紋 理分析﹒文獻(xiàn)[9]提出了基于Gabor 變換的紋理分析，利用圖割提取一些重要的紋理特征，Gabor變換用于分析和分類﹒這些方法[5-9]適用范圍較窄，總體誤差較大，不確定性難以量化，因此它們?cè)诒碚骷y理特征的方式上有待改進(jìn)和完善﹒

對(duì)于圖像紋理分析，信息和不確定性是一個(gè)統(tǒng)一的整體，信息中的不確定性使得真實(shí)模型既可預(yù)測(cè)又不可預(yù)測(cè)﹒這種情況存在于模式識(shí)別[10]等復(fù)雜問題的處理中﹒目前，對(duì)于復(fù)雜信息處理中的預(yù)測(cè)性或不確定性量化問題，主要是基于無序理論[11]﹒無序理論和模糊邏輯均屬于模糊數(shù)學(xué)理論分支，可被用于處理模糊分類、決策和控制等問題，而紋理屬性不可預(yù)測(cè)性的量化正是基于此﹒因此，本文重點(diǎn)研究無序理論和模糊集表達(dá)紋理圖像強(qiáng)度值分布的空間排列，處理動(dòng)態(tài)不確定性問題，在柯爾莫哥洛夫-西奈(K-S)熵[12-13]的基礎(chǔ)上，引入了模糊K-S 熵的概念，并給出了模糊K-S 熵的估計(jì)值﹒

1 模糊集的K-S 熵

1.1 K-S 熵

在無序理論分析中，K-S 熵[12]被認(rèn)為是無序性軌跡產(chǎn)生的最新信息平均時(shí)間率的指標(biāo)，也稱為測(cè)量-理論熵或測(cè)度熵﹒它有3 個(gè)重要特征：序列概率、熵率和熵界﹒為了描述動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)-空間特征，應(yīng)考慮二維狀態(tài)-空間區(qū)域，即在含有多個(gè)小單元的盒子中，小單元邊長(zhǎng)度為ε ﹒動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的軌跡隨著時(shí)間變化，會(huì)在狀態(tài)-空間區(qū)域覆蓋一些單元，并擴(kuò)散﹒就第1 個(gè)特征而言，由于K-S 熵測(cè)量系統(tǒng)的不確定性，與此系統(tǒng)有聯(lián)系的時(shí)間單元為

其中時(shí)間步長(zhǎng)或空間步長(zhǎng)可以用步長(zhǎng)大小來分別體現(xiàn)時(shí)間或空間的演化﹒

1.2 模糊集的K-S 熵

基于模糊集熵的概念，模糊系統(tǒng)的不確定性在K-S 熵環(huán)境下通過一系列觀察測(cè)得，定義為

基于現(xiàn)有數(shù)學(xué)理論的相關(guān)文獻(xiàn)[14]對(duì)K-S 熵函數(shù)概率意義的討論，可以得出，動(dòng)態(tài)系統(tǒng)中隨機(jī)熵和模糊熵可表述為：模糊熵=高級(jí)隨機(jī)熵﹒在設(shè)定模糊集時(shí)，嵌入在K-S 熵中的一系列概率和香農(nóng)熵可分別由模糊隸屬度和模糊熵替代﹒概率和模糊度是相關(guān)的，但它們的根本概念是不同的：模糊度表示一種確定的未知性，代表一個(gè)時(shí)間的模糊度，可表示一個(gè)事件發(fā)生的程度；概率是由一個(gè)事件是否會(huì)發(fā)生而產(chǎn)生的﹒基于式(5)，模糊集K-S 熵的表達(dá)式為

模糊隸屬度的值與式(8)相關(guān)，合并條件概率事件的乘法由模糊乘法替代，使之與模糊關(guān)系的概念一致﹒令A(yù) 和B 為2 個(gè)模糊集，每個(gè)模糊集都與n 維歐式空間 Rn中的每個(gè)x ∈ X相關(guān)聯(lián)，A和B 的乘積為模糊集T=A×B，可利用模糊交叉法定義為

記熵差為m，則有

式(12)表明，在單位時(shí)間下計(jì)算，平均熵率和熵差會(huì)得出相同的平均熵率近似值；但在時(shí)間軸下m 的點(diǎn)跡更接近，并快速匯聚于一點(diǎn)﹒運(yùn)用熵差法，模糊集K-S 熵估計(jì)值的計(jì)算為

利用式(13)計(jì)算模糊集K-S 熵的步驟如下：

1)選定一個(gè)單元尺寸ε ；

2)在一個(gè)給定的時(shí)間步驟下，估算所有可能路徑的序列模糊隸屬度級(jí)別，并計(jì)算 Dm；

3)在下一個(gè)時(shí)間步驟下，重復(fù)步驟2，并得出Dm+1；

4)計(jì)算熵差m；

5)多次重復(fù)步驟2)~步驟4)；

6)在時(shí)間步驟下描繪出熵差點(diǎn)跡，并估計(jì)熵差的近似值；

7)若m 變得近似于一個(gè)常量，程序終止，否則進(jìn)入下一步；

8)重復(fù)步驟1)~步驟6)得到越來越小的ε ﹒

本文的重點(diǎn)為構(gòu)建圖像的K-S 熵，利用模糊集和無序理論使傳統(tǒng)量化無序性的程序作為紋理分析的一個(gè)新特征﹒

2 圖像紋理信息的K-S 熵

本節(jié)構(gòu)建用于估算圖像模糊信息K-S 熵的模型﹒在很多圖像中，表示不同物體的像素很可能具有相似的像素灰度值﹒因此，不清晰物體圖像的直方圖較窄，清晰物體圖像的直方圖較寬﹒

由此可知，圖像中的不確定性是由圖像內(nèi)容的不精確描述所產(chǎn)生﹒本文使用模糊C-均值算法[15]對(duì)圖像空間進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，即用模糊C-均值算法將一個(gè)由N 個(gè)像素組成的圖像任意分離為一系列不精確的簇，表示為

在不精確邊界或模糊類的上下文中，基于模糊C 均值(Fuzzy C Means, FCM)的聚類分析可用于建模圖像的不確定性﹒選擇c 的大小相當(dāng)于模糊集K-S 熵估計(jì)過程的第一步，為了構(gòu)造出圖像的序列隸屬度，利用給定的c 進(jìn)行模糊C-均值劃分；計(jì)算在每個(gè)路徑上的模糊隸屬度，以最低值所對(duì)應(yīng)的模糊隸屬度的灰度級(jí)確定FCM(即步驟2 和步驟3)；然后計(jì)算熵差m(步驟4)﹒為了計(jì)算熵差，一個(gè)很實(shí)用的方法是使用模糊隸屬度來處理FCM 所獲得的每個(gè)集合﹒其中，圖像的垂直和水平方向分別指圖像中行和列的熵差，如果一個(gè)紋理圖像是等方向的，那么K-S 熵的計(jì)算是獨(dú)立于圖像方向的﹒

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

3.1 典型紋理圖像

圖1 給出了4 個(gè)實(shí)驗(yàn)圖像，其中(a)為“Lena”標(biāo)準(zhǔn)灰度圖像(512×512)；(b)為部分癌細(xì)胞圖像(603×1819)；(c)為部分正常細(xì)胞圖像(678×1747)；(d)為人類腹部器官圖像(246×366)﹒

圖1 實(shí)驗(yàn)圖像

圖1 中，癌細(xì)胞和正常細(xì)胞圖像可在細(xì)胞空腔下通過技術(shù)觀察得到，人類腹部器官圖像則通過CT 掃描獲得﹒選擇這4 個(gè)圖像的原因是：Lena圖像細(xì)節(jié)豐富，兼有平坦區(qū)域、影子和大量紋理等；2 個(gè)細(xì)胞圖像紋理細(xì)節(jié)豐富，而紋理分析可用來區(qū)分細(xì)胞空腔內(nèi)癌細(xì)胞和正常細(xì)胞；腹部器官的CT 圖像是一個(gè)典型的醫(yī)學(xué)圖像，也可作為紋理分析的測(cè)試圖像﹒

圖2~圖5 分別給出了上述4 個(gè)圖像所表達(dá)的特征，其中，每個(gè)原始圖像分為25 個(gè)大小為128×96 像素的子圖像﹒測(cè)試中，參數(shù)c=2，模糊權(quán)重指數(shù)q=2﹒

圖2 Lena 圖像熵差的變化

圖3 癌細(xì)胞圖像熵差的變化

圖4 正常細(xì)胞圖像熵差的變化

圖5 腹部器官圖像熵差的變化

表1 q=2 時(shí)圖像模糊集的熵差

表2 q=3 時(shí)圖像模糊集的熵差

3.2 紋理分類

本文使用的紋理數(shù)據(jù)庫是25 個(gè)圖像紋理等級(jí)的集合，每個(gè)等級(jí)都由40 個(gè)圖像樣本構(gòu)成﹒所有圖像都是灰度JPG 格式，每個(gè)圖像尺寸都是640×480 像素﹒圖7 給出了紋理數(shù)據(jù)庫中一些典型的圖像，每個(gè)圖像屬于不同的紋理等級(jí)﹒

圖6 Lena 圖像退化空間熵差的變化

表3 加噪Lena 圖像模糊集的K-S 熵

圖7 紋理圖像數(shù)據(jù)庫樣本

實(shí)驗(yàn)中，每個(gè)原始圖像分為25 個(gè)大小為128×96 像素的子圖像，模糊K-S 熵值從子圖像中提取﹒由上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析可知，參數(shù)q=2 和c=2所得結(jié)果最精確，這種參數(shù)組合賦予了4 個(gè)模糊K-S 熵值特征向量：2 個(gè)行向模糊簇集和2 個(gè)列向模糊簇集﹒所提取的K-S 熵再通過LBG 向量量化進(jìn)行分離[16]，其中向量可以分為4、8、16和32 維4 種﹒

本文將小波變換紋理分析[5]、分形理論[6]、多個(gè)GLCM 紋理分析[7]、Haralick 多特征組合[8]以及Gabor 變換分析方法[9]進(jìn)行了對(duì)比，分類測(cè)試中運(yùn)用10 倍交叉檢驗(yàn)將每個(gè)數(shù)據(jù)集分為10 個(gè)大小相同的子集，生成的9 個(gè)子集用于測(cè)試剩下的子集，通過10 次重復(fù)計(jì)算得出平均精確度﹒各方法的紋理分類準(zhǔn)確率情況如表4 所示﹒

表4 幾種紋理圖像分類準(zhǔn)確率對(duì)比 %

從表4 可以看出，本文方法的分類準(zhǔn)確率最高，其次是GLCM 紋理分析方法，GLCM 及其改進(jìn)方法對(duì)紋理周圍8 個(gè)方向均有比較敏感的特征反應(yīng)；直方圖分析紋理有明顯的缺陷，因?yàn)橹狈綀D很難給出空間的灰度變化特征，只能給出一塊區(qū)域的統(tǒng)計(jì)特征；分形理論法由于其分形的固有屬性，對(duì)類似遙感圖像的紋理分析更佳；小波變換法以及Gabor 變換法對(duì)環(huán)境變化的不變性較好，但會(huì)錯(cuò)失一些信息，特征點(diǎn)的提取對(duì)結(jié)果影響較大；Haralick 多特征組合法在理想狀態(tài)下，可以獲得非常好的結(jié)果，但這些特征組合經(jīng)常帶有一些確定性因素﹒

為便于比較，本文還使用了k-NN 分類器進(jìn)行分類，k-NN 分類器是較為簡(jiǎn)單的非參數(shù)方法，不同于FCM﹒2 種方法對(duì)比結(jié)果如表5 所示﹒

表5 2 種方法的k-NN 分類精度對(duì)比 %

從表5 可以看出，本文的方法具有一定的優(yōu)勢(shì)，說明K-S 熵在處理不確定的圖像紋理分析中是一個(gè)有效特征﹒

4 結(jié)論

在無序理論和模糊集框架下，提出了一種計(jì)算K-S 熵的方法，使用隊(duì)列元素等級(jí)來測(cè)定不精確系統(tǒng)的熵率，用模糊度取代確定性范式，將其用于紋理圖像的分析和分類﹒結(jié)果表明，模糊K-S 熵能較好適用于不同類型紋理的圖像分析﹒

由于K-S 熵是一個(gè)表達(dá)圖像空間分區(qū)模糊隸屬度非線性特征的數(shù)值，其延伸模型可有效分析模式識(shí)別問題中的不確定性﹒因此，下一步的研究會(huì)將K-S 熵應(yīng)用到具體的模式識(shí)別問題中，如高光譜圖像等﹒