線性廣義系統(tǒng)P型迭代學(xué)習(xí)控制在Lp范數(shù)意義下的收斂性

張克軍， 劉 芳， 劉萬(wàn)利

(徐州工程學(xué)院數(shù)理學(xué)院，徐州 221018)

廣義系統(tǒng)[1]又稱為奇異系統(tǒng)，是客觀系統(tǒng)自然表示的一種，可以更好地刻畫描述客觀系統(tǒng)的性能特征，與正常系統(tǒng)相比，其形式更具廣泛性。自20世紀(jì)70年代廣義系統(tǒng)被提出以來，其理論不斷完善、發(fā)展，在航空航天、能源、石油、化工和通信等諸多領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用，這使得廣義系統(tǒng)及其理論的研究深受許多學(xué)者的青睞。

迭代學(xué)習(xí)控制[2]是智能控制的重要分支之一，適用于具有重復(fù)運(yùn)行性質(zhì)的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，在不依賴系統(tǒng)精確模型的情況下，就可實(shí)現(xiàn)對(duì)期望輸出的精確跟蹤。然而，現(xiàn)有的關(guān)于迭代學(xué)習(xí)控制的理論和應(yīng)用研究主要是針對(duì)常義系統(tǒng)的。與之相比，由于廣義系統(tǒng)存在脈沖項(xiàng)，對(duì)廣義系統(tǒng)的迭代學(xué)習(xí)控制進(jìn)行研究要困難得多，相關(guān)研究成果也遜色不少。采用分塊矩陣的思想，在對(duì)線性廣義系統(tǒng)進(jìn)行奇異值分解后，文獻(xiàn)[3]提出了一種新的控制算法，并對(duì)算法的收斂性進(jìn)行了理論分析。借助矩陣?yán)碚摵筒坏仁郊记桑墨I(xiàn)[4-5]分別討論了線性廣義系統(tǒng)在四種類型迭代學(xué)習(xí)控制算法下的收斂性問題。針對(duì)帶控制時(shí)滯廣義系統(tǒng)和單個(gè)狀態(tài)時(shí)滯的廣義系統(tǒng)，結(jié)合矩陣廣義逆理論，文獻(xiàn)[6-7]分別討論了PID型、閉環(huán)PD型迭代學(xué)習(xí)算法收斂條件。文獻(xiàn)[8]提出了一類廣義系統(tǒng)的二階迭代學(xué)習(xí)控制算法，并借助Qp因子討論了算法的收斂速度問題。文獻(xiàn)[9]研究了一類線性廣義系統(tǒng)在固定初值下的閉環(huán)PD型和D型迭代學(xué)習(xí)控制算法的收斂條件，并對(duì)算法的收斂性進(jìn)行了證明。針對(duì)一類線性廣義系統(tǒng)，文獻(xiàn)[10]研究了一種帶指數(shù)變?cè)鲆娴拈]環(huán)D型學(xué)習(xí)算法的收斂性。一些學(xué)者對(duì)離散廣義系統(tǒng)也有研究，例如：文獻(xiàn)[11]對(duì)一類離散廣義系統(tǒng)的PD型迭代學(xué)習(xí)控制算法的跟蹤問題進(jìn)行了討論，此類研究還有文獻(xiàn)[12]；此外，在離散頻域中，針對(duì)一類連續(xù)線性廣義系統(tǒng)，文獻(xiàn)[13]討論了P型迭代學(xué)習(xí)控制算法的收斂性態(tài)問題。

在理論分析過程中，在度量跟蹤誤差時(shí)，上述文獻(xiàn)主要采用λ范數(shù)。但是，當(dāng)參數(shù)λ取值比較大時(shí)，雖然能夠滿足控制算法的收斂條件，但在系統(tǒng)重復(fù)運(yùn)行時(shí)，暫態(tài)跟蹤誤差的最大值落在實(shí)際工程應(yīng)用的容許范圍之外，導(dǎo)致系統(tǒng)崩潰[14-15]。在文獻(xiàn)[16-17]中，阮小娥等利用Lebesgue-p(Lp)范數(shù)研究了線性時(shí)不變系統(tǒng)P型和PD型迭代學(xué)習(xí)控制算法的收斂性，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的收斂條件不依賴參數(shù)λ的取值，主要取決于系統(tǒng)本身屬性和學(xué)習(xí)增益矩陣。進(jìn)一步，在Lp范數(shù)意義下，文獻(xiàn)[18-20]討論了分?jǐn)?shù)階線性系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階迭代學(xué)習(xí)控制算法的收斂性問題。受此啟發(fā)，在對(duì)線性廣義系統(tǒng)進(jìn)行非奇異變換的基礎(chǔ)上，利用Lp范數(shù)對(duì)一、二階P型迭代學(xué)習(xí)控制算法的收斂條件進(jìn)行分析；然后，利用Qp因子方法對(duì)兩種控制算法的收斂速度進(jìn)行對(duì)比，并通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證理論的正確性。

1 數(shù)學(xué)知識(shí)

下面列出理論分析需要的一些相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)。

2 問題描述及分析

考慮如下連續(xù)線性廣義系統(tǒng)：

(1)

式(1)中，x(t)∈Rn、u(t)∈Rm、y(t)∈Rq分別為系統(tǒng)狀態(tài)量、控制輸入量和系統(tǒng)輸出量；A∈Rn×n、B∈Rn×m、C∈Rq×n為定常矩陣；E∈Rn×n是一奇異矩陣，即rank(E)=r

(2)

其中，A11∈Rr×r，A12∈Rr×(n-r)，A21∈R(n-r)×r，A22∈R(n-r)×(n-r)，B1∈Rr×m，B2∈R(n-r)×m。

則式(2)變?yōu)?/p>

(3)

為了證明方便，下面給出算法的合理假設(shè)。

假設(shè)1對(duì)于在[0,T]上可微的期望輸出yd(t)，有唯一的理想控制輸入ud(t)，使得系統(tǒng)的狀態(tài)和輸出為xd(t)和yd(t)。

假設(shè)2A22可逆。

設(shè)初次的控制輸入u1(t)(t∈[0,T])為一任意值。二階P型迭代學(xué)習(xí)控制算法LP(γ1,γ2)的表達(dá)式如下：

(4)

式(4)中，Γ1和Γ2表示比例學(xué)習(xí)增益矩陣，加權(quán)系數(shù)γ1和γ2滿足：0≤γ1≤1、0≤γ2≤1且γ1+γ2=1；ek(t)=yd(t)-yk(t)，表示第k次迭代時(shí)系統(tǒng)的跟蹤誤差。

當(dāng)γ1→1-時(shí)，LP(γ1,γ2)趨于一階P型控制算法LP(1)，其表達(dá)式如下：

uk+1(t)=uk(t)+Γ1ek(t),k=1,2,3,…

(5)

證明：由式(3)和假設(shè)2，可得：

(6)

(7)

所以：

(8)

記：

Δxk(t)=xd(t)-xk(t)

(9)

Δuk(t)=ud(t)-uk(t)

(10)

由于：

(11)

根據(jù)假設(shè)3，可得：

(12)

(13)

因此：

ek(t)=yd(t)-yk(t)=CΔxk(t)=

(14)

由式(4)，可得：

(15)

式(15)兩端取Lp范數(shù)，并應(yīng)用卷積的推廣Young不等式，得：

(16)

由定理?xiàng)l件，可知：

γ1ρ1+γ2ρ2<1

(17)

根據(jù)引理2，可得：

(18)

由式(14)，可得：

(19)

式(19)兩端取Lp范數(shù)，并應(yīng)用卷積的推廣Young不等式，得：

(20)

當(dāng)γ1→1-時(shí)，二階P型控制算法LP(γ1,γ2)趨于一階算法LP(1)，當(dāng)LP(1)施加于線性廣義系統(tǒng)[式(1)]時(shí)，有如下結(jié)論。

根據(jù)Qp因子的大小，可判斷控制算法收斂速度[16]。利用Qp因子方法，比較了兩種P型控制算法[式(4)、式(5)]的收斂速度，獲得以下結(jié)論：

注：從定理證明過程可知，在Lp范數(shù)意義下，跟蹤誤差的度量和控制算法的收斂性分析不受λ取值的影響。

3 數(shù)值仿真

考慮如下線性廣義系統(tǒng)：

(21)

在二階P型控制算法(4)中，取Γ1=0.25，Γ2=0.6，γ1=0.5，γ2=0.5，計(jì)算可得ρ1=0.589 8<1，ρ2=0.175 6<1，滿足定理的條件。在控制算法[式(4)]作用于下，廣義系統(tǒng)[式(21)]的第4次、第6次的實(shí)際輸出與期望輸出yd(t)如圖1所示。發(fā)現(xiàn)，當(dāng)?shù)螖?shù)逐漸增大時(shí)，可以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)實(shí)際輸出對(duì)期望輸出的完全跟蹤。

當(dāng)二階P型控制算法[式(4)]作用于廣義系統(tǒng)[式(21)]時(shí)，圖2給出了在上確界范數(shù)和L2范數(shù)的意義下，系統(tǒng)跟蹤誤差曲線的變化趨勢(shì)。從圖2中可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)?shù)螖?shù)逐漸增加時(shí)，在兩種范數(shù)意義下，跟蹤誤差都單調(diào)趨于0。

圖1 系統(tǒng)輸出的跟蹤效果Fig.1 Tracking effect of system output

圖2 兩種范數(shù)意義下的跟蹤誤差Fig.2 Tracking errors in the sense of two norms

圖3 跟蹤誤差對(duì)比Fig.3 Comparison of tracking errors

4 結(jié)論

在對(duì)線性廣義系統(tǒng)進(jìn)行非奇異變換的基礎(chǔ)上，在Lp范數(shù)意義下，本文利用卷積的推廣Young不等式，研究了一、二階P型迭代學(xué)習(xí)控制算法的收斂性，獲得其收斂的條件，并利用Qp因子方法比較了兩種控制算法的收斂速度。結(jié)果表明，控制算法的收斂條件、收斂速度與學(xué)習(xí)增益矩陣以及系統(tǒng)本身屬性有關(guān)；如果選取合適的學(xué)習(xí)增益矩陣，則二階P型控制算法的收斂速度要比一階的快。這種研究方法，可用于繼續(xù)分析非線性廣義系統(tǒng)的收斂性態(tài)。