限制性三體問題共線平動(dòng)點(diǎn)軌道近似解析解

周 敬，胡 軍，張 斌

（北京控制工程研究所，北京 100190）

引 言

近年來，隨著航天技術(shù)的快速發(fā)展，深空探測(cè)越來越受到世界各航天大國與組織的重視。按照我國航天事業(yè)發(fā)展的指南，未來航天的3個(gè)重點(diǎn)方向之一就是深空探測(cè)[1]。因此，與深空探測(cè)密切相關(guān)的各項(xiàng)基礎(chǔ)和應(yīng)用研究便成為了我國航天事業(yè)中的一個(gè)熱點(diǎn)研究方向。

不同于經(jīng)典二體問題下的近地空間航天活動(dòng)，深空探測(cè)所涉及的運(yùn)動(dòng)模型更多的是三體問題。由于動(dòng)力學(xué)本質(zhì)上的區(qū)別，使得三體問題相對(duì)于二體問題更加復(fù)雜。首先，從數(shù)學(xué)的角度上，三體問題是一個(gè)強(qiáng)非線性時(shí)變系統(tǒng)，所以必然存在強(qiáng)非線性系統(tǒng)所具有的共性問題，即狀態(tài)終值對(duì)初值具有極高的敏感性與不確定性，導(dǎo)致三體下的航天器運(yùn)動(dòng)具有很強(qiáng)的“混沌”性；其次，在三體問題中，航天器的運(yùn)動(dòng)，尤其是在共線平動(dòng)點(diǎn)附近的運(yùn)動(dòng)，極易受到外界環(huán)境攝動(dòng)因素的影響，導(dǎo)致其后的運(yùn)動(dòng)呈指數(shù)發(fā)散趨勢(shì)，使得運(yùn)動(dòng)具有強(qiáng)不穩(wěn)定性；最后，在三體問題中共有18個(gè)自由度，而目前只找到13個(gè)運(yùn)動(dòng)積分，這使得三體問題下的航天器運(yùn)動(dòng)不存在類似二體問題那樣的精確解析解[2]。所以，退而求其次，為獲得三體問題下運(yùn)動(dòng)的近似解析解，通常需要對(duì)三體問題進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化，其中最基本、最常用的模型依次是圓型限制性三體問題（Circular Restricted Three-body Problem，CRTBP）模型和橢圓型限制性三體問題（Elliptic Restricted Threebody Problem，ERTBP）模型。

在CRTBP和ERTBP的研究中，平動(dòng)點(diǎn)及其附近的周期/擬周期軌道由于其獨(dú)特的位置優(yōu)勢(shì)使其在深空探測(cè)任務(wù)設(shè)計(jì)中占據(jù)著重要的地位。距離地球最近的三體系統(tǒng)是日-地/月三體系統(tǒng)和地-月三體系統(tǒng)，這兩個(gè)三體系統(tǒng)的平動(dòng)點(diǎn)軌道一直是許多已經(jīng)提出或完成了的深空探測(cè)計(jì)劃的工作軌道，如美國國家航空航天局（National Aeronautics and Space Administration，NASA）的ISEE、NGST計(jì)劃，歐洲航天局（European Space Agency，ESA）的GAIA、DARWIN計(jì)劃，以及我國的“夸父”計(jì)劃、“鵲橋”通信中繼衛(wèi)星計(jì)劃等。通常情況下，對(duì)平動(dòng)點(diǎn)及其附近運(yùn)動(dòng)的研究多依靠數(shù)值方法實(shí)現(xiàn)，如數(shù)值積分、微分修正、數(shù)值優(yōu)化等，然而，數(shù)值方法本身具有其固有的劣勢(shì)，即其本質(zhì)上是一個(gè)試錯(cuò)過程，不能完全體現(xiàn)運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)和規(guī)律，并且很大程度上依賴于設(shè)計(jì)者的經(jīng)驗(yàn)。與數(shù)值方法相反，解析方法卻能夠幫助更加深入地研究平動(dòng)點(diǎn)附近的運(yùn)動(dòng)，探究運(yùn)動(dòng)的特性和規(guī)律，為后續(xù)的深空探測(cè)任務(wù)軌道設(shè)計(jì)提供一定的先驗(yàn)信息，因此三體問題下平動(dòng)點(diǎn)附近運(yùn)動(dòng)的解析研究變得日益重要。

CRTBP是最簡(jiǎn)單的三體運(yùn)動(dòng)模型，其沒有考慮主天體公轉(zhuǎn)軌道的偏心率以及各種環(huán)境攝動(dòng)力，主要用來研究三體軌道最基本的動(dòng)力學(xué)特征。目前關(guān)于CRTBP平動(dòng)點(diǎn)及其附近運(yùn)動(dòng)的解析研究已經(jīng)較為全面，Gómez[3]研究了CRTBP中平動(dòng)點(diǎn)位置、平動(dòng)點(diǎn)附近軌道的一階近似解析解，如Lissajous軌道、Lyapunov軌道、halo軌道；Richardson[4]利用Lindstedt-Poincaré方法構(gòu)造了CRTBP下共線平動(dòng)點(diǎn)halo軌道的三階近似解析解；Masdemont[5]研究了CRTBP下共線平動(dòng)點(diǎn)附近運(yùn)動(dòng)的雙曲形態(tài)和中心形態(tài)，將不變流形擴(kuò)展成雙曲振幅和中心振幅的冪級(jí)數(shù)形式；Jorba等[6]同樣采用Lindstedt-Poincaré方法并結(jié)合Normal Form Scheme方法半解析地構(gòu)造了CRTBP下共線平動(dòng)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)方程的解；Rithwik等[7]使用基于優(yōu)化技術(shù)的梯度和非梯度方法研究了halo軌道的設(shè)計(jì)問題；劉剛等[8]以CRTBP中的周期軌道作為迭代初值，用星歷表數(shù)據(jù)對(duì)軌道進(jìn)行拼接獲得了所需的擬周期軌道；陶雪峰等[9]在CRTBP框架內(nèi)，針對(duì)不同類型平動(dòng)點(diǎn)軌道的特點(diǎn)，通過設(shè)定軌道特征點(diǎn)，以軌道閉合程度為目標(biāo)函數(shù)，提出了一種基于優(yōu)化算法的平動(dòng)點(diǎn)軌道生成方法；Lara等[10]使用攝動(dòng)方法和歸一化方法來代替Lindstedt-Poincaré方法，獲得了平動(dòng)點(diǎn)附近Hill問題的解析解；鄭越等[11]建立了一種改進(jìn)型龐加萊截面圖，結(jié)合狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和打靶法，提出了一種計(jì)算周期軌道的新方法；Lei等[12]構(gòu)建了CRTBP下三角平動(dòng)點(diǎn)附近運(yùn)動(dòng)的高階解析解，并詳細(xì)討論了解的收斂性；Liang等[13]利用改進(jìn)的參數(shù)變分方法，獲得了三角平動(dòng)點(diǎn)附近運(yùn)動(dòng)的高階近似解析解；Qian等[14]受振動(dòng)動(dòng)力學(xué)中的非線性模態(tài)啟發(fā)，結(jié)合多項(xiàng)式展開和微分修正方法獲得了三角平動(dòng)點(diǎn)附近垂直周期軌道的解析解和數(shù)值解；翟冠嶠等[15]從模態(tài)運(yùn)動(dòng)的角度出發(fā)，分析了三角平動(dòng)點(diǎn)附近周期軌道，通過多項(xiàng)式展開法構(gòu)建出了周期軌道3個(gè)運(yùn)動(dòng)方向之間的漸近關(guān)系。

雖然在一些問題的分析中，CRTBP能夠滿足應(yīng)用背景的要求，但是在研究平動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性以及航天器在平動(dòng)點(diǎn)附近運(yùn)動(dòng)的控制問題等方面，CRTBP顯然無法滿足要求[16]。相比之下，ERTBP由于考慮了主天體公轉(zhuǎn)軌道的偏心率，因此能夠更準(zhǔn)確地描述三體系統(tǒng)內(nèi)的航天器運(yùn)動(dòng)情況，同時(shí)也使得對(duì)ERTBP的基礎(chǔ)研究更具有研究意義和工程應(yīng)用價(jià)值。然而，相比于CRTBP，ERTBP下平動(dòng)點(diǎn)附近的運(yùn)動(dòng)研究更為復(fù)雜，主要體現(xiàn)在：①CRTBP對(duì)應(yīng)的是自治系統(tǒng)，而ERTBP對(duì)應(yīng)的是非自治系統(tǒng)；②CRTBP下的動(dòng)力學(xué)方程為定常系統(tǒng)，而ERTBP下的動(dòng)力學(xué)方程為時(shí)變系統(tǒng)，運(yùn)動(dòng)積分（Jacobi積分）不再存在[17]；③CRTBP中平動(dòng)點(diǎn)附近存在周期軌道，而在ERTBP中平動(dòng)點(diǎn)附近不存在周期軌道，只存在相應(yīng)的擬周期軌道[18]。上述因素直接導(dǎo)致目前有關(guān)ERTBP下共線平動(dòng)點(diǎn)附近運(yùn)動(dòng)的研究相對(duì)較少，國際上普遍認(rèn)為對(duì)ERTBP的研究還不夠深入[19]。

目前有關(guān)ERTBP下平動(dòng)點(diǎn)附近運(yùn)動(dòng)的解析研究主要有：雷漢倫[20]推導(dǎo)了ERTBP下的無量綱運(yùn)動(dòng)方程，并指出在ERTBP中同樣存在5個(gè)平動(dòng)點(diǎn)，也同樣分為3個(gè)共線平動(dòng)點(diǎn)和2個(gè)三角平動(dòng)點(diǎn)；Hou等[21]半解析地研究了ERTBP下共線平動(dòng)點(diǎn)附近的Lissajous軌道和halo軌道的高階解，并且將該級(jí)數(shù)解應(yīng)用于地-月三體系統(tǒng)和日-地/月三體系統(tǒng)；Lei等[22]利用Lindstedt-Poincaré方法，以CRTBP下的一階近似解析解為初值，構(gòu)造了脈動(dòng)會(huì)合坐標(biāo)系下ERTBP共線平動(dòng)點(diǎn)halo軌道和Lissajous軌道對(duì)應(yīng)的不變流形的高階解析解；Hou等[23]研究了ERTBP下三角平動(dòng)點(diǎn)附近的擬周期運(yùn)動(dòng)；Lei等[24]同樣利用Lindstedt-Poincaré方法構(gòu)造了ERTBP下三角平動(dòng)點(diǎn)附近運(yùn)動(dòng)的高階解析解，并將其應(yīng)用于地球至地月三角平動(dòng)點(diǎn)周期軌道的低能轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計(jì)中；Gong等[25]在脈動(dòng)會(huì)合坐標(biāo)系下設(shè)計(jì)了ERTBP下的太陽帆航天器的周期軌道，并對(duì)其穩(wěn)定性進(jìn)行了研究，最后利用時(shí)變線性二次型調(diào)節(jié)器實(shí)現(xiàn)了周期軌道的穩(wěn)定控制；Koh等[26]研究了平面ERTBP下的姿軌耦合情況下的運(yùn)動(dòng)周期解；Gómez等[27]提出了多點(diǎn)打靶方法，用于求解限制性三體問題下的擬周期軌道。

除此之外，相關(guān)文獻(xiàn)也對(duì)攝動(dòng)情況下的CRTBP和ERTBP平動(dòng)點(diǎn)及其附近的運(yùn)動(dòng)解析解進(jìn)行了研究。Narayan等[28]利用基于特征指數(shù)的攝動(dòng)技術(shù)研究了考慮主天體輻射壓下ERTBP三角平動(dòng)點(diǎn)附近運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性；Farquhar等[29]構(gòu)建了考慮太陽引力和月球軌道的偏心率時(shí)的地-月三體系統(tǒng)L2平動(dòng)點(diǎn)附近的擬周期運(yùn)動(dòng)的三階解析解；Singh等[30]利用Lindstedt-Poincaré方法研究了主天體扁率和輻射壓下的平面限制性三體問題共線平動(dòng)點(diǎn)周圍Lyapunov軌道的三階近似解析解；Hou等[31]解析地研究了JPL星歷下真實(shí)地月系統(tǒng)共線平動(dòng)點(diǎn)和三角平動(dòng)點(diǎn)的擬周期運(yùn)動(dòng)；Ansari[32]研究了考慮主天體扁率和輻射壓下的圓型限制性四體問題平動(dòng)點(diǎn)附近的周期軌道；Papadakis[33]通過平面軌道的分岔方法研究了圓型限制性四體問題中的三維對(duì)稱周期軌道；Jagadish等[34]研究了考慮主天體輻射的攝動(dòng)限制性三體問題共線平動(dòng)點(diǎn)附近周期運(yùn)動(dòng)的半解析解和數(shù)值解；Howell等[35]提出了兩層微分修正方法，用來求解真實(shí)力學(xué)模型下的擬周期軌道。

雖然上述參考文獻(xiàn)已經(jīng)獲得了ERTBP下平動(dòng)點(diǎn)附近周期軌道及對(duì)應(yīng)流形的高階近似解析解，但均是以CRTBP下的一階近似解析解（而非ERTBP下的一階近似解析解）為初值，經(jīng)過Lindstedt-Poincaré 方法迭代或者打靶法、微分修正等數(shù)值方法迭代獲得的。然而，如果能夠獲得ERTBP下平動(dòng)點(diǎn)附近運(yùn)動(dòng)的一階近似解析解，不僅相比CRTBP下的解析解更具一般性[20]，也能取代CRTBP下的近似解析解，為ERTBP下共線平動(dòng)點(diǎn)附近運(yùn)動(dòng)的高階解析解研究（如文獻(xiàn)[22]）提供一個(gè)更加精確的初值，使得迭代次數(shù)減少、收斂速度加快，同時(shí)也必將有利于進(jìn)一步完善ERTBP下平動(dòng)點(diǎn)附近運(yùn)動(dòng)的解析研究，為ERTBP的研究奠定更加堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)?；诖耍疚膮⒖冀梃bCRTBP中的研究方法，對(duì)ERTBP共線平動(dòng)點(diǎn)附近運(yùn)動(dòng)的近似解析解展開了相關(guān)研究。

1 限制性三體問題

限制性三體問題研究的是一個(gè)小天體或航天器在兩個(gè)大天體（主天體）引力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，其中小天體或航天器的質(zhì)量相比于兩主天體可忽略不計(jì)，不會(huì)對(duì)兩主天體之間的相互運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生影響。當(dāng)主天體圍繞公共質(zhì)心作圓軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)，稱為CRTBP；當(dāng)主天體圍繞公共質(zhì)心作橢圓軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)，稱為ERTBP，下面分別進(jìn)行介紹。

1.1 圓型限制性三體問題（CRTBP）

CRTBP是最簡(jiǎn)單的三體運(yùn)動(dòng)模型，其沒有考慮主天體公轉(zhuǎn)軌道的偏心率以及各種環(huán)境攝動(dòng)力，主要用來研究三體軌道最基本的動(dòng)力學(xué)特征。為描述航天器運(yùn)動(dòng)的方便和計(jì)算的簡(jiǎn)化，在CRTBP中通常需要對(duì)相關(guān)物理量進(jìn)行無量綱化處理，并以時(shí)間作為獨(dú)立變量。相應(yīng)的質(zhì)量 [M]、長(zhǎng)度[L]和時(shí)間[T]的歸一化單位取為

其中：m1、m2為兩主天體質(zhì)量；L12為兩主天體之間的距離；G為萬有引力常數(shù)。

為了更直觀、更清晰地描述航天器在CRTBP中的運(yùn)動(dòng)，通常選擇在會(huì)合坐標(biāo)系（也稱為質(zhì)心旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系）下進(jìn)行研究。如圖1所示，會(huì)合坐標(biāo)系的原點(diǎn)位于兩主天體的公共質(zhì)心，x軸由較大主天體指向較小主天體，z軸與主天體系統(tǒng)角動(dòng)量方向平行，y軸滿足右手定則[19]。

圖1 質(zhì)心旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系 O -XYZ 和平動(dòng)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系L2-xyzFig.1 Barycentric rotating coordinate system O -XYZ and libration-poin centered rotating coordinate systemL2-xyz

假設(shè)x=[x,y,z]T為航天器在會(huì)合坐標(biāo)系中的位置矢量，則CRTBP下航天器運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型為

根據(jù)文獻(xiàn)[36],CRTBP下共線平動(dòng)點(diǎn)附近運(yùn)動(dòng)δx=[δx,δy,δz]T的近似解析解為

式中，Ai(i=1,···,6)是由初始條件確定的積分常數(shù)，參數(shù)k1,k2,λ1,λ3,λ5的詳細(xì)計(jì)算公式可以參考文獻(xiàn)[36]。

1.2 橢圓型限制性三體問題（ERTBP）

ERTBP考慮了主天體公轉(zhuǎn)軌道的偏心率，相比CRTBP可以更精確地描述三體系統(tǒng)內(nèi)航天器的運(yùn)動(dòng)情況。當(dāng)兩主天體圍繞公共質(zhì)心作橢圓軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)，二者之間的距離呈現(xiàn)周期性變化，不再為一固定值，此時(shí)仍以時(shí)間作為獨(dú)立變量不再適合，轉(zhuǎn)而以主天體公轉(zhuǎn)軌道的真近點(diǎn)角f作為獨(dú)立變量。相應(yīng)的質(zhì)量[M]、長(zhǎng)度[L]和時(shí)間[T]的歸一化單位取為

在ERTBP中，為研究和計(jì)算的方便，通常選擇在脈動(dòng)坐標(biāo)系下進(jìn)行研究。脈動(dòng)坐標(biāo)系的原點(diǎn)同樣位于兩主天體的質(zhì)心，三軸指向與會(huì)合坐標(biāo)系的三軸指向相同，但由于此坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)角速率是變化的，且單位長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)的真實(shí)物理長(zhǎng)度也是時(shí)變的，為體現(xiàn)該坐標(biāo)系的這種脈動(dòng)特性，故稱為脈動(dòng)坐標(biāo)系[19]。因此，在脈動(dòng)坐標(biāo)系下的航天器運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型為

其中：Ω為ERTBP下的有效勢(shì)函數(shù)，定義如下

而Ωx,Ωy,Ωz為勢(shì)函數(shù) Ω關(guān)于三軸的偏導(dǎo)數(shù)，具體表達(dá)式為

將上述偏導(dǎo)數(shù)代入動(dòng)力學(xué)方程（5）可得

為獲得ERTBP下平動(dòng)點(diǎn)附近的航天器運(yùn)動(dòng)近似解析解，首先需要計(jì)算ERTBP下平動(dòng)點(diǎn)的位置。由于平動(dòng)點(diǎn)為三體系統(tǒng)的動(dòng)平衡點(diǎn)，在平動(dòng)點(diǎn)處滿足速度、加速度為零，即

將此條件代入式（8），可得

由于在Z軸上存在如下約束關(guān)系

因此必有

故ERTBP中的平動(dòng)點(diǎn)位置和CRTBP一樣，均在XY平面內(nèi)，更具體的有

這與CRTBP下平動(dòng)點(diǎn)的計(jì)算公式完全相同。據(jù)此可知，在每一瞬時(shí)，ERTBP中的真近點(diǎn)角f為一定值時(shí)，在脈動(dòng)坐標(biāo)系下的ERTBP平動(dòng)點(diǎn)位置與會(huì)合坐標(biāo)系下的CRTBP平動(dòng)點(diǎn)位置完全相同，這也與文獻(xiàn)[16]中的論述相符合，具體的平動(dòng)點(diǎn)位置計(jì)算公式可以參考文獻(xiàn)[36]，本文不再贅述。

為獲得ERTBP下平動(dòng)點(diǎn)附近運(yùn)動(dòng)的近似解析解，需要在平動(dòng)點(diǎn)xLi處將ERTBP下的航天器運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行線性化

其中，H.O.T(High-Order-Terms)表示線性化過程中的高階項(xiàng)。將線性化動(dòng)力學(xué)模型式（14）按照三軸位置、速度展開可得式（15）。其中，Ωi,j(i,j=x,y,z)是勢(shì)函數(shù) Ω關(guān)于三軸的二階偏導(dǎo)數(shù)，具體表達(dá)式為

對(duì)于共線平動(dòng)點(diǎn)，滿足y=z=0，將此條件代入上述線性化動(dòng)力學(xué)模型式（15），化簡(jiǎn)后可得

其中：參數(shù)g，，k的表達(dá)式如式（18）所示

通過線性系統(tǒng)理論方法，計(jì)算得到線性化常微分方程組式（15）的6個(gè)特征值 為λi(i=1,···,6)

其中，η1,η2,η3,η4的計(jì)算公式如式（21）所示

由于上述6個(gè)特征向量線性無關(guān)，由此得到了線性化常微分方程組式（15）的6個(gè)線性無關(guān)的解，結(jié)合6個(gè)特征值，構(gòu)成了線性化動(dòng)力學(xué)模型的基本解集，方程組的通解可表示為

其中，Ai(i=1,···,6)同樣是由初始條件確定的積分常數(shù)，參數(shù)k1，k2的取值為

式（22）即為本文研究的ERTBP下共線平動(dòng)點(diǎn)附近運(yùn)動(dòng)的近似解析解。

通過對(duì)比發(fā)現(xiàn)ERTBP下平動(dòng)點(diǎn)附近運(yùn)動(dòng)的近似解析解與CRTBP下的近似解析解形式完全相同，二者的區(qū)別僅僅是特征值 λ1,λ3,λ5和相關(guān)系數(shù)k1,k2的計(jì)算公式不同而已，這也在某種程度上體現(xiàn)了CRTBP與ERTBP的一致性。

2 仿真分析

為驗(yàn)證所推導(dǎo)的ERTBP下的共線平動(dòng)點(diǎn)附近運(yùn)動(dòng)近似解析解的正確性和精度，本文將推導(dǎo)的近似解析解式（22）與經(jīng)典的CRTBP下的近似解析解式（3）進(jìn)行了仿真對(duì)比。

首先對(duì)解析解的正確性進(jìn)行驗(yàn)證。具體過程如下所述。由于ERTBP是更為一般的三體模型，可以在一定條件下退化為CRTBP這一特殊情況，因此只需要將式（22）中的主天體公轉(zhuǎn)軌道的偏心率e設(shè)置為0，即e=0，這樣便將ERTBP退化為CRTBP，然后將退化的ERTBP平動(dòng)點(diǎn)附近運(yùn)動(dòng)近似解析解式（22）與經(jīng)典的CRTBP平動(dòng)點(diǎn)附近運(yùn)動(dòng)近似解析解式（3）進(jìn)行同樣參數(shù)[A1，A2，A3，A4，A5，A6]下的仿真對(duì)比，便可以驗(yàn)證本文推導(dǎo)的近似解析解的正確性。

本文以地-月系統(tǒng)L2平動(dòng)點(diǎn)附近的Lissajous軌道作為仿真對(duì)象，在歸一化單位DU下，相應(yīng)的參數(shù)[A1，A2，A3，A4，A5，A6]設(shè)置為[0，0，0.05，0.05，0.01，0.01]，仿真時(shí)間設(shè)置為 [0，10]。仿真結(jié)果如圖2和圖3所示。

根據(jù)仿真結(jié)果可知，退化后的ERTBP共線平動(dòng)點(diǎn)附近運(yùn)動(dòng)近似解析解與經(jīng)典的CRTBP共線平動(dòng)點(diǎn)附近運(yùn)動(dòng)近似解析解高度一致，體現(xiàn)在Lissajous軌道的仿真結(jié)果上，本文推導(dǎo)的近似解析解的三軸最大絕對(duì)位置誤差為[0，1.110 2 × 10-16，0]，最大相對(duì)位置誤差為[0，3.979 6 × 10-14，0]，最大絕對(duì)速度誤差為[0，1.110 2 × 10-16，0]，最大相對(duì)速度誤差為[0，8.183 7 × 10-14，0]。仿真結(jié)果證明了本文推導(dǎo)的ERTBP共線平動(dòng)點(diǎn)附近運(yùn)動(dòng)近似解析解的正確性。

圖2 ERTBP下的近似解析解與CRTBP下的近似解析解生成的Lissajous軌道對(duì)比Fig.2 The comparison of Lissajous orbits generated by solutions in ERTBP and CRTBP

圖3 ERTBP下的近似解析解相對(duì)CRTBP下的近似解析解的精度Fig.3 The precision of the solutions in ERTBP relative to the solutions in CRTBP

為進(jìn)一步分析ERTBP解析解與CRTBP解析解的精度差別，需要將主天體公轉(zhuǎn)軌道的偏心率e考慮進(jìn)來。對(duì)于地月系統(tǒng)，真實(shí)偏心率e=0.054 88，但為了定性地突出兩解析解之間的精度差別，將偏心率e人為設(shè)置為更大的值e=0.3，參數(shù)[A1，A2，A3，A4，A5，A6]同樣設(shè)置為[0，0，0.05，0.05，0.01，0.01]，仿真時(shí)間設(shè)置為 [0,0.5]。仿真結(jié)果如圖4和圖5所示，由于篇幅限制，這里僅給出XY平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)情況。

圖4 CRTBP解析解精度Fig.4 The precision of CRTBP analytical solutions

圖5 ERTBP解析解精度Fig.5 The precision of ERTBP analytical solutions

從圖4和圖5可以看出，分別利用CRTBP解析解和ERTBP解析解提供的初值，對(duì)非線性動(dòng)力學(xué)模型（5）進(jìn)行數(shù)值積分，均會(huì)出現(xiàn)發(fā)散現(xiàn)象，這是由三體問題的本質(zhì)所決定的。然而，ERTBP解析解提供的初值經(jīng)過數(shù)值積分后發(fā)散趨勢(shì)更小，數(shù)值積分生成的“真實(shí)”軌道可以更好地維持在解析解生成的“理論”軌道附近。仿真結(jié)果證明了ERTBP解析解提供的初值相比CRTBP解析解提供的初值具有更高的精度。

3 結(jié) 論

為了更好地為未來深空探測(cè)任務(wù)服務(wù)和進(jìn)一步完善橢圓型限制性三體問題下平動(dòng)點(diǎn)附近運(yùn)動(dòng)的解析研究，本文參考借鑒圓型限制性三體問題下共線平動(dòng)點(diǎn)附近運(yùn)動(dòng)近似解析解的研究方法，首先根據(jù)平動(dòng)點(diǎn)的動(dòng)平衡性質(zhì)獲得了平動(dòng)點(diǎn)的位置信息，然后將橢圓型限制性三體問題下的非線性動(dòng)力學(xué)模型在共線平動(dòng)點(diǎn)處線性化，最后結(jié)合線性系統(tǒng)理論求解線性常微分方程組，獲得了比圓型限制性三體問題更具一般性的橢圓型限制性三體問題下共線平動(dòng)點(diǎn)附近運(yùn)動(dòng)的近似解析解。最后以地-月三體系統(tǒng)L2平動(dòng)點(diǎn)Lissajous軌道為例，與經(jīng)典的圓型限制性三體問題下的近似解析解進(jìn)行仿真對(duì)比，結(jié)果證明了本文推導(dǎo)的橢圓型限制性三體問題下的共線平動(dòng)點(diǎn)附近運(yùn)動(dòng)的近似解析解的正確性，同時(shí)也表明橢圓型限制性三體問題近似解析解相比圓型限制性三體問題近似解析解具有更高的精度。