基于時域分析法的裝配式結構減震設計與分析

李鵬飛 關 群 范傳祺

（合肥工業(yè)大學土木與水利工程學院，合肥230009）

0 引 言

預制構件間的連接部位力學性能差是裝配式結構的缺陷之一；規(guī)程［1］指出，采用干式節(jié)點連接的結構總體剛度低于現(xiàn)澆結構。雖然一些學者對各自設計和改進的連接節(jié)點做過大量研究并且獲得了良好的力學性能［4-5］，但實際工程中的連接節(jié)點即使在承載力滿足設計要求的情況下，仍然是抗震分析和計算中最薄弱的部位。這主要是由于構件連接部位的后澆混凝土和預制混凝土在受力時交界面上容易出現(xiàn)劈裂面并且會加快其擴展，表現(xiàn)出顯著的脆性［6］；此外，國內(nèi)目前裝配式混凝土結構連接部位的誤差較大，施工質量難以保證。因此僅依靠結構柱和剪力墻等抗側力構件并不能使結構達到抗震設計的要求，必須對結構進行減震設計方能達到抗震的目標。在減震設計方面，甘鳳玲等［3］采用規(guī)范提出的應變能估算公式計算附加等效阻尼比的精度雖然較高，但是以能量作為減震量指標計算較為不便，而且裝配式結構連接節(jié)點受力性能及破壞特征較為復雜，以能量指標為該種結構進行減震設計并不合適，從工程設計實用的角度講，最好能以位移等易于測量和計算的指標進行減震設計。

本文基于線彈性設計，將結構的簡化地震反應分析模型視為一個控制系統(tǒng)，結合狀態(tài)空間法直觀、簡潔的優(yōu)勢［7］和傳遞函數(shù)法參數(shù)優(yōu)化方面的特點，根據(jù)傳遞函數(shù)模型和狀態(tài)空間控制模型能相互轉化的原理［10］，采用時域分析法，確定裝配式混凝土結構附加剛度和附加阻尼等參數(shù)的最優(yōu)設置，對其進行減震設計。

1 減震措施的選擇與論證

與現(xiàn)澆結構相比，由于裝配式結構的連接節(jié)點具有顯著的脆性破壞特征，在抗側剛度相同的前提下，豎向構件頂部的位移限值要更小。從結構抗震設計的角度來看，既要保證裝配式結構能承受與同等情況下的現(xiàn)澆結構相同的地震作用，又要讓豎向構件頂部的位移限值低于其脆性破壞的要求，就必須增大結構各層的抗側剛度，并且只能基于線彈性分析對結構抗側力體系進行設計。

此外，結構在承受動力荷載時如果振動頻率過高會導致結構連接部位產(chǎn)生過度的疲勞荷載，增大其脆性破壞的可能性。根據(jù)結構動力學原理，在結構抗側剛度確定的前提下，采用附加阻尼來增大結構體系阻尼的措施，不僅能降低結構的自振頻率，還能減小結構在共振情況下的振幅，避免連接部位發(fā)生脆性破壞。

裝配式結構連接部位呈現(xiàn)出的脆性破壞特征，表明結構在受到地震作用時，既需要采用附加剛度措施來控制豎向構件的水平位移，又需要采用附加阻尼措施來降低結構的自振頻率和振幅大小，消耗地震輸入結構的能量，以此達到保護結構體系的目標。因此，裝配式混凝土結構需要的阻尼器不僅要附加剛度和附加阻尼系數(shù)明確，利于減震設計的把控，還要在地震發(fā)生時就能發(fā)揮耗能減震的作用，減小后澆連接節(jié)點的疲勞破壞程度。

綜合以上減震措施的論證，在具備附加剛度和阻尼功能的阻尼器中，金屬耗能阻尼器的附加剛度和阻尼系數(shù)等參數(shù)不太穩(wěn)定；摩擦阻尼器只有在達到一定形變量后才能產(chǎn)生摩擦阻尼；相比之下，黏彈性阻尼器則滿足以上各種要求，大、小震的情況下均能起到作用，是最符合裝配式混凝土結構減震的一種措施。

2 結構控制系統(tǒng)的建立

根據(jù)減震措施的選擇結果，建立如圖1 所示的結構振動分析模型，其中的黏彈性阻尼器計算模型采用最常用的開爾文模型［9］，其表達式如下:

圖1 結構振動分析模型Fig.1 Model for structural vibration analysis

根據(jù)結構動力學原理，得到圖1 所示結構的運動微分方程:

式中:M，C，K分別表示結構本身的質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；Ka，Ca分別表示設置在結構中的黏彈性阻尼器提供的附加剛度矩陣和附加阻尼矩陣分別表示結構在水平方向的相對位移、相對速度、相對加速度和地面運動的加速度；{l}表示一個n×1階的單位列向量。

控制的任務實際上就是形成控制作用的變化規(guī)律，使得不管是否存在擾動對象都能得到所期望的行為［10］。將結構視為一個系統(tǒng)，在地震作用下，各樓層產(chǎn)生位移、速度和加速度的過程可以視為系統(tǒng)在受到地震等輸入激勵后，輸出各樓層的位移、速度和加速度等響應，而附加阻尼和附加剛度對結構地震響應的影響則可以視為對系統(tǒng)的控制。由結構、附加阻尼和附加剛度共同構成的振動分析模型可以視為一個結構控制系統(tǒng)。因為附加阻尼和附加剛度是通過輸出響應來達到對系統(tǒng)的控制作用，所以結構控制系統(tǒng)是一個閉環(huán)控制系統(tǒng)，如圖2所示。

圖2 結構控制系統(tǒng)Fig.2 Control system of the structure

狀態(tài)空間模型是一種以時域分析為主的數(shù)學模型，著眼于系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)和內(nèi)部聯(lián)系，對于需要輸出各樓層的位移、速度及加速度等狀態(tài)變量的結構控制系統(tǒng)而言具有直觀簡潔和易于理解的優(yōu)點。傳遞函數(shù)模型是一種在拉氏變換的基礎上，以系統(tǒng)本身的參數(shù)所描述的線性定常系統(tǒng)輸入量和輸出量的關系式，對基于參數(shù)對系統(tǒng)進行調(diào)節(jié)等方面具有明顯優(yōu)勢［10］。在一定條件下，狀態(tài)空間模型和傳遞函數(shù)模型可以相互轉化，而對它們的輸入和輸出沒有影響，因此可以采用傳遞函數(shù)模型的參數(shù)控制思想來對狀態(tài)空間模型構成的控制系統(tǒng)進行控制和調(diào)節(jié)。

在圖2 所示的結構控制系統(tǒng)中，M，C，K模塊可以視為反映原結構特性的前向傳遞函數(shù)。由于結構輸出響應包含各樓層的位移xi(t)、速度和 加 速 度等多個輸出量，因此M，C，K模塊應采用具有多輸入、多輸出特性的狀態(tài)空間模型建模，其數(shù)學表達式為

式中:x，y、u分別表示輸出向量、狀態(tài)向量和輸入向量；A，B，C和D分別表示狀態(tài)矩陣、控制矩陣、輸出矩陣和聯(lián)系矩陣，對式（2）做數(shù)學變換，得到式（3）中原結構系統(tǒng)各個矩陣和向量分別為

其中，0 和I分別為n×n維零矩陣和單位矩陣，n表示結構的層數(shù)。

Ka，Ca模塊在結構控制系統(tǒng)中可以視為反映附加剛度和附加阻尼體系特性的反饋傳遞函數(shù)。由于Ka，Ca模塊在控制系統(tǒng)中是通過調(diào)整結構系統(tǒng)剛度和阻尼等參數(shù)起到控制狀態(tài)矩陣的作用，因此式（3）的狀態(tài)矩陣A加入黏彈性阻尼器后應該為

根據(jù)圖2 所示控制系統(tǒng)的結構圖，對式（4）的矩陣進行分離，得到Ka，Ca模塊的控制矩陣為

其中，Aa亦可作為M，C，K模塊的反饋傳遞矩陣。至此結構控制系統(tǒng)建立完畢。

3 結構控制系統(tǒng)的時域分析

結構控制系統(tǒng)是基于結構振動分析模型的受力特性提出的運動微分方程轉化為狀態(tài)空間模型所建立的。根據(jù)振型反應分解法的原理，模態(tài)坐標X(t)是一種廣義的位移坐標，它和物理位移坐標x(t)存在以下關系:

從矩陣理論的角度講，模態(tài)坐標X(t)經(jīng)過線性變換后得到物理坐標x(t)；由于是一個正交矩陣，因此的逆矩陣也是一個正交矩陣，并且，式（6）也可以表示為

所以也可以認為物理坐標x(t)經(jīng)過線性變換后得到模態(tài)坐標X(t)。因此，既可以認為各樓層產(chǎn)生的位移xi(t)是由各階處于獨立的二階系統(tǒng)之下的振型坐標Xi(t)經(jīng)過線性變換而得，也可以認為各階振型坐標Xi(t)是由各樓層基于獨立的二階系統(tǒng)產(chǎn)生的位移xi(t)經(jīng)過線性變換所成。

時域分析法是以拉普拉斯變換為工具，從傳遞函數(shù)出發(fā)，直接在時間域上研究自動控制系統(tǒng)性能的一種方法，它對系統(tǒng)的分析結果直接而全面；而時域響應是系統(tǒng)在外部輸入作用下的輸出過程［10］。地震作用對于結構控制系統(tǒng)而言屬于外部擾動輸入，單位階躍信號是一種能根據(jù)其響應評價系統(tǒng)暫態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)特性的典型輸入，而促使結構控制系統(tǒng)對輸入的設定值能快速反應和對輸入或產(chǎn)生的擾動能快速穩(wěn)定是結構減震設計的目標，因此，采用單位階躍信號來測定結構系統(tǒng)的性能，調(diào)整結構系統(tǒng)的剛度和阻尼，對裝配式結構進行減震設計是可靠合理的。

單自由度欠阻尼(0＜ξ＜1)結構振動系統(tǒng)屬于典型的二階系統(tǒng)［8］，研究其在地震作用下的響應特性，采用單位階躍信號輸入時的運動微分方程可以表示為

或

其中，m、c、k分別表示單自由度系統(tǒng)的質量、阻尼和剛度；ξ、ω分別表示單自由度系統(tǒng)的阻尼比和固有頻率。

式（10）所表示的物理意義即為單自由度欠阻尼系統(tǒng)基于地震作用分析的單位階躍信號輸入的響應，從該表達式的組成結構來看，典型的單位階躍響應（響應曲線圖如圖3 所示）乘于放大系數(shù)-m k后即可得到單自由度系統(tǒng)的單位階躍響應（響應曲線圖如圖4所示），該放大系數(shù)-m k則能反映系統(tǒng)響應穩(wěn)定時對輸入量的放大程度［8］。通過采集單自由度系統(tǒng)單位階躍響應曲線圖上相隔p個周期的波谷x值，根據(jù)階躍響應曲線對數(shù)衰減率的含義按下式計算阻尼比ξ:

式中:j表示階躍響應曲線上的第j個波谷；xj，xj+p，-m k分別可以在得到各層單位階躍響應曲線后從中提取出來用于各層ξi的計算。

圖3 典型單位階躍響應Fig.3 Typical unit step response

圖4 單自由度系統(tǒng)單位階躍響應Fig.4 Unit step response for single degree-of-freedom system

對于尚未附加阻尼的結構系統(tǒng)，建立其狀態(tài)空間模型，基于地震作用分析，采用單位階躍信號輸 入，即，所獲得的各樓層位移響應xi(t)可以視為一個獨立單自由度欠阻尼結構系統(tǒng)的響應，并且所有樓層位移的物理坐標x(t)經(jīng)過線性變換得到模態(tài)坐標X(t)。采用時域分析法，將每個樓層的單位階躍響應視為獨立單自由度欠阻尼結構的二階系統(tǒng)響應，根據(jù)每條響應曲線圖中獲得的相隔p個周期的波谷x值，計算出每個樓層視為獨立二階系統(tǒng)響應分析時的阻尼比為調(diào)整結構系統(tǒng)的阻尼進行減震設計做好準備。

4 基于時域分析的結構減震設計

裝配式混凝土結構的連接部位具有顯著的脆性破壞特征，和同等條件下的現(xiàn)澆結構相比，在層間抗側剛度相同的情況下，抗側構件層間位移達到開裂位移xc時即可認定失效。要保證裝配式混凝土結構能承受與同等條件下的現(xiàn)澆結構相同的地震作用限值fu，則需要通過增大結構各層的層間抗側剛度k，才能保證結構在線彈性變形范圍內(nèi)達到此目的。據(jù)此可以得到圖5 所示層間附加剛度ka的計算原理圖和表達式:

其中，fu(XJ)，fu(ZP)分別代表同等條件下的現(xiàn)澆結構和裝配式結構在地震作用下的層間抗側承載力，在設計工作中，fu(XJ)可按規(guī)范［2］第 6.2 節(jié)中剪力設計值的計算方法計算所得剪力值的0.9倍來?。?2］，fu(ZP)可以根據(jù)各層豎向構件上、下兩端達到開裂彎矩Mcr時，取其截面割線抗彎剛度 0.85EcI［11］，按下式計算:

式中:EcI表示截面的初始切線抗彎剛度；l表示豎向構件的長度；xc，xy(e)，xy(p)分別代表同等條件下的現(xiàn)澆結構在地震作用下的開裂位移、基于彈性分析時的屈服位移和基于彈塑性分析時的屈服位移，其中xc可按線彈性法及截面抗彎剛度為0.85EcI計算［11］。

圖5 裝配式混凝土結構層間附加剛度ka計算原理圖Fig.5 Calculation schematic diagram for added stiffness between layers of precast concrete structures

對于n層的裝配式混凝土結構，計算得到各層的層間附加剛度ka(i)后，可以形成結構控制系統(tǒng)反饋傳遞矩陣Aa中的附加剛度矩陣Ka:

圖6 結構初步控制系統(tǒng)和附加剛度前后的單位階躍響應Fig.6 Preliminary control system of the structure and unit step response for the condition of adding stiffness before and later

結構各層抗側剛度達到限制層間位移值的目的后，需要增大結構各層阻尼ca(i)來降低結構的固有頻率ω，抑制自振產(chǎn)生的擾動影響。要使結構控制系統(tǒng)達到“對外界輸入的響應既快又穩(wěn)”的目標，則需要結構各層都能達到臨界阻尼狀態(tài)，所表現(xiàn)出的單位階躍響應曲線如圖7 所示。根據(jù)模態(tài)坐標Xi(t)和物理坐標xi(t)之間的線性變換關系，將每個樓層的單位階躍響應視為獨立單自由度欠阻尼結構的二階系統(tǒng)響應，從每條響應曲線圖中計算出每個樓層的阻尼比ξi'。根據(jù)臨界阻尼的物理含義，附加剛度后的每個樓層基于獨立二階系統(tǒng)響應分析時的附加阻尼比ξ'a(i)的計算式為

每個樓層的ξ'a(i)雖然是基于獨立二階系統(tǒng)響應分析得到的附加阻尼比，但是從本質上講，各層的附加阻尼比ξ'a(i)是互相關聯(lián)的。實際上真正獨立的坐標是模態(tài)坐標X(t)，如果每階模態(tài)坐標Xi(t)所對應的獨立二階微分方程都達到了臨界阻尼狀態(tài)，那么由模態(tài)坐標對振型進行耦合后的物理坐標也會呈現(xiàn)出臨界阻尼的特性，反之亦然。

圖7 臨界阻尼狀態(tài)時第i層的單位階躍響應曲線Fig.7 Unit step response curve of layer i in critical damping state

計算得到各層的附加阻尼比ξ′a(i)后，根據(jù)阻尼比與阻尼系數(shù)的關系可以得到:

式中:c′a(i)'ξ′a(i)'ξ′(i)分別表示結構第i層基于獨立二階系統(tǒng)響應分析下的附加阻尼系數(shù)、附加阻尼比和阻尼比；c′(i)則是未附加剛度和阻尼時原結構阻尼系數(shù)形成的阻尼矩陣對角化后對應的第i層阻尼系數(shù)。

由于簡化后的減震結構模型（圖1）本質上是一個層間位移結構模型，各層附加阻尼器形成的附加阻尼矩陣為

若要使結構各層實際附加的阻尼系數(shù)ca(i)所形成的附加阻尼矩陣Ca和各層基于獨立二階系統(tǒng)響應分析時所需附加的阻尼系數(shù)形成的對角陣對結構產(chǎn)生的阻尼效果相同，那么從線性變換的角度講，矩陣Ca應該相似于對角陣，據(jù)此可以求解出矩陣Ca中的每個附加阻尼系數(shù)ca(i)，從而確定結構各層所需附加阻尼器的阻尼系數(shù)合理值。

5 計算實例

某6 層裝配式鋼筋混凝土結構，層高均為3.3 m，按8 度抗震設防考慮，采用瑞雷阻尼矩陣，取原結構第一、二階阻尼比分別為ξ1=0.05，ξ2=0.07。結構 1～5 層質量均為 2.19×105kg，6 層為2.85×105kg；1～4層抗側剛度均為k=87.65×107N/m，5層、6層抗側剛度分別為k=81.31×107N/m，78.26×107N/m；1～4層的開裂位移均為xc=9.1 mm，5層、6 層的開裂位移分別為xc=10.2 mm，11.5 mm；而同等情況下的現(xiàn)澆結構1～4 層的屈服位移均為xy(e)=15.8 mm，5 層、6 層的屈服位移分別為xy(e)=17.6 mm，18.7 mm。現(xiàn)在采用本文的減震設計方法，并以開裂即破壞為準，為該結構選定設置在各層的黏彈性阻尼器的相關參數(shù)；最后使用采樣周期為0.02 s的400 gal El Centro 罕遇地震波輸入結構，對比分析采取減震措施前后結構的減震效果。

按照本文的減震設計方法，首先根據(jù)式（12）和圖5計算各層的附加剛度ka(i)，如表1所示，然后計算結構附加剛度后的質量矩陣M、阻尼矩陣C、剛度矩陣K和附加剛度矩陣Ka，并建立該結構的控制系統(tǒng)。

表1 各層附加剛度ki及集中質量mi表Table 1 Table of Added stiffness ki and centralized quality mi of each layer

向結構控制系統(tǒng)輸入單位階躍信號獲得各層的單位階躍響應曲線，計算各層的阻尼比ξ'i和附加阻尼比ξ'a(i)，最終得到結構各層所需附加的阻尼系數(shù)ca(i)，如表2所示。

根據(jù)表1和表2的計算結果，以及附加阻尼矩陣Ca與C'a的相似關系，可以得到表3所示該裝配式結構需要在各層附加的剛度和阻尼系數(shù)等參數(shù)。

表2 結構各層的參數(shù)計算表Table 2 Calculation table for parameter of each layer

表2 結構各層的參數(shù)計算表Table 2 Calculation table for parameter of each layer

樓層i xi(1)／mm xi(6)／mm(-m/kinc)i／mm 1 2 3 4 5 6 c'i／（×106 N·s·m-1）c'a(i)／（×106 N·s·m-1）-8.113-5.349-4.310 0.041 3 0.958 7 0.337 5 7.83 ξ'i ξ'a(i)-2.099-1.404-1.169 0.043 7 0.956 3 9.130 7 199.71-3.938-2.610-2.152 0.043 3 0.956 7 7.409 7 163.78-5.473-3.607-2.949 0.0428 0.9572 5.3432 119.52-6.662-4.384-3.562 0.0422 0.9578 3.1591 71.64-7.552-4.975-4.021 0.041 7 0.958 3 1.362 1 31.33

表 3 結構各層需要附加的剛度 ka（i）和阻尼系數(shù) ca（i）表Table 3 Table for added stiffness ka（i）and damping ca（i）of each layer in need

圖8-圖10 分別為算例中裝配式結構在未附加剛度與阻尼、只附加剛度和附加了剛度與阻尼三種情況下輸入單位階躍信號后結構各層的相對位移隨時間變化的趨勢。從單位階躍位移響應曲線圖中可以看出，裝配式結構各層位移響應的穩(wěn)定值在附加剛度后均已降低，在附加阻尼后結構的自振響應已經(jīng)被消除，并且位移響應的穩(wěn)定值在附加阻尼前后均保持不變。以結構頂層為例，其位移響應穩(wěn)定值從未附加剛度和阻尼時的6.140 8 mm 減小到僅附加剛度時的4.310 1 mm，另外該層結構的響應曲線中由自振引起的振動響應部分也在附加阻尼后達到臨界阻尼穩(wěn)定狀態(tài)，其位移響應的穩(wěn)定值仍然保持不變。說明按本文方法計算的附加剛度和附加阻尼等參數(shù)設計的裝配式結構減震體系達到了既對輸入的設定值能快速反應又能快速穩(wěn)定擾動影響的目標。

圖8 原結構系統(tǒng)的單位階躍響應曲線圖Fig.8 Unit step response curve of the original system of the structure

圖9 附加剛度后的單位階躍響應曲線圖Fig.9 Unit step response curve of the condition of adding stiffness later

圖10 附加剛度和阻尼后的單位階躍響應曲線圖Fig.10 Unit step response curve of the condition of adding stiffness and damping later

圖11 為算例中的裝配式結構基于線彈性分析時在未附加剛度與阻尼、僅附加剛度和附加了剛度與阻尼三種情況下輸入地震波后頂層的位移響應曲線。該響應曲線中記錄到的以上三種情況下的位移最大值分別為54.424 3 mm、37.929 1 mm、12.021 2 mm，并且三種情況頂層振動的頻繁程度由高到低分別為僅附加了剛度、未附加剛度和阻尼、附加了剛度和阻尼。這說明了附加剛度和阻尼均能降低結構在地震作用下的位移響應值，特別是附加的阻尼能大幅降低結構振動的頻率，同時也說明了附加阻尼對裝配式混凝土結構減震設計的必要性。

圖11 結構頂層位移x-時間t圖Fig.11 Displacement x-time t of top layer of structure

圖12 為算例中的裝配式混凝土結構基于線彈性分析時在未附加剛度與阻尼、僅附加剛度和附加了剛度與阻尼三種情況下各層彈性層間位移角與樓層高度的關系圖。該圖顯示出了在8 度罕遇地震作用下，裝配式結構最大彈性層間位移角在未附加剛度和阻尼的情況下為θe（max）= 1 244，已經(jīng)超過了彈性層間位移角的規(guī)范［2］限值[θe]=1/550，需要進行彈塑性分析；而在僅附加了剛度的情況下θe（max）= 1 385，雖然各層的豎向構件側移量被控制在開裂破壞范圍內(nèi)，但仍然超過了規(guī)范［2］限值，不能按線彈性方法分析；只有在附加了剛度和阻尼的情況下θe(max)= 1 1427，結構各層不僅豎向構件側移量被控制在開裂破壞范圍內(nèi)，而且最大彈性層間位移角滿足規(guī)范［2］限值的要求，可以按線彈性方法分析；另外，以上三種情況下各層的彈性層間位移角只有附加了剛度和阻尼的這種情況分布比較均勻，說眀附加阻尼體系設計比較合理，這樣既可以充分發(fā)揮抗側構件材料的力學作用，又可以讓附加的阻尼體系充分發(fā)揮減震作用。所以本文的裝配式結構減震體系設計及計算方法是合理可靠的。

圖12 各層彈性層間位移角θ-樓層高度h圖Fig.12 Elastic interstory drift ratio θ-floor height h of each layer

6 結 論

本文針對裝配式結構的連接部位易發(fā)生脆性破壞的特性，基于線彈性分析對其進行減震設計，得出以下結論:

（1）裝配式混凝土結構減震設計不僅要考慮豎向抗側構件連接部位位移限值的大小，還要考慮連接部位脆性破壞特征的影響，合理選擇阻尼器。

（2）由于模態(tài)坐標X(t)和物理坐標x(t)之間的線性變換關系，基于物理坐標采用時域分析法設計的結構臨界阻尼體系完全可以讓結構各層的動力響應達到臨界阻尼狀態(tài)。

（3）基于時域分析法對裝配式結構進行減震設計的方法得到的附加剛度能準確控制結構各層的位移限值，得到的附加阻尼能最大限度地優(yōu)化結構阻尼體系，抑制結構自振產(chǎn)生的擾動，保護脆性破壞特征明顯的后澆連接部位，對裝配式結構的減震設計有借鑒指導的作用。