軸承滾子的有限元簡(jiǎn)化模擬研究

顧僉

隨著現(xiàn)代機(jī)械工業(yè)的精細(xì)化發(fā)展和計(jì)算機(jī)軟硬件技術(shù)的飛速進(jìn)步，有限元方法已經(jīng)非常普遍地應(yīng)用于機(jī)械結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)計(jì)算。在有限元分析中，經(jīng)常會(huì)遇到多個(gè)部件之間的非線性連接。例如，軸承、萬(wàn)向節(jié)、鉸鏈等連接結(jié)構(gòu)通常具有復(fù)雜的內(nèi)部接觸，如果對(duì)每個(gè)內(nèi)部組件都詳細(xì)建模，就要?jiǎng)澐趾芗?xì)致的網(wǎng)格，耗費(fèi)大量計(jì)算時(shí)間，因此，在實(shí)際的工程應(yīng)用中，通常會(huì)在模型中對(duì)它們進(jìn)行簡(jiǎn)化處理，以此來(lái)提高計(jì)算效率。

以軸承為例，目前常用的簡(jiǎn)化方式是用多組非線性桿單元或者彈簧單元來(lái)模擬軸承中的滾動(dòng)體，將單元屬性設(shè)置為只受壓。由于去除了滾子的實(shí)體網(wǎng)格，滾道與滾子之間也不需要做接觸運(yùn)算，所以這種簡(jiǎn)化對(duì)于計(jì)算速度的提升很顯著。但是在這種模擬方式下，如何設(shè)置單元的剛度值，才能準(zhǔn)確體現(xiàn)軸承滾子的真實(shí)剛度，是一個(gè)經(jīng)常讓工程師們感到困擾的問(wèn)題。

通常來(lái)說(shuō)，用實(shí)驗(yàn)的方式來(lái)獲取剛度信息是最準(zhǔn)確的方法。但是對(duì)于一些大尺寸的重載軸承，需要制造專(zhuān)門(mén)的工裝來(lái)做實(shí)驗(yàn)，成本非常高。而且實(shí)驗(yàn)所得到的結(jié)果，一般是一個(gè)軸承結(jié)構(gòu)的整體剛度，而不是每個(gè)滾子的剛度值，在計(jì)算中要把它反算到每個(gè)滾子上。對(duì)于一條非線性結(jié)果曲線來(lái)說(shuō)，這種反向推導(dǎo)本身就會(huì)包含一些誤差。因此，本文嘗試用有限元方法來(lái)計(jì)算和驗(yàn)證軸承滾子的剛度值。

圓柱滾子模擬

本文所使用的有限元計(jì)算軟件為ANSYS 17.2，前處理工具為Hypermesh 14.0。模型默認(rèn)單位體系：毫米（mm）、牛頓（N）、秒（s）、開(kāi)爾文（K）及由此衍生的其他單位。

首先以一款簡(jiǎn)單的圓柱滾子軸承（其模型如圖1所示）為例，該軸承的內(nèi)徑為900mm，滾子直徑為75mm，應(yīng)用于某款直驅(qū)型風(fēng)力發(fā)電機(jī)組，位于主轉(zhuǎn)軸后側(cè)，是尺寸較大、轉(zhuǎn)速偏低的重載軸承。

由于本文研究的是單個(gè)滾子的剛度，因此在有限元建模時(shí)，只劃分單個(gè)滾子的實(shí)體單元模型：將軸承內(nèi)外圈按照截面形狀展平，在滾子與滾道之間建立標(biāo)準(zhǔn)接觸，取摩擦系數(shù)為0.06，將接觸位置附近的單元細(xì)化。

在實(shí)體單元有限元模型（圖2）中，對(duì)內(nèi)圈滾道內(nèi)表面所有節(jié)點(diǎn)約束Y方向位移，內(nèi)外圈單側(cè)截?cái)嗝嫠泄?jié)點(diǎn)約束X方向位移，單側(cè)端面約束Z方向位移。在此約束條件下，內(nèi)圈沒(méi)有剛體位移自由度，外圈有整體沿Y方向上下移動(dòng)的自由度。對(duì)滾子兩端面中心點(diǎn)約束X方向自由度，側(cè)邊中點(diǎn)約束Z方向自由度，用于模擬軸承保持架對(duì)滾子的整體限位作用。滾子在YZ平面內(nèi)不能整體平移和轉(zhuǎn)動(dòng)，但是滾子本身的彈性變形不受限制。

加載時(shí)對(duì)外圈滾道外表面所有節(jié)點(diǎn)施加強(qiáng)制的均勻位移，分析滾子受壓時(shí)產(chǎn)生的反力?？偽灰?mm，分十步均勻加載。

圖3顯示了最終分析步下，滾子與滾道之間的接觸狀態(tài)和接觸應(yīng)力。由于本模型未考慮工藝倒角和滾子修形，所以在端面邊緣處出現(xiàn)了應(yīng)力集中現(xiàn)象，不過(guò)該局部并不影響整體剛度結(jié)果。如果要精確計(jì)算滾子和滾道的接觸應(yīng)力，那么還是建議把倒角和修形因素全部加入有限元模型。

有限元計(jì)算結(jié)果與根據(jù)ISO/TS 16281―2008標(biāo)準(zhǔn)提供的公式計(jì)算的理論結(jié)果如圖4所示，由圖可以看到，兩條曲線數(shù)值比較相近。這證明在整體剛度的計(jì)算上，實(shí)體單元的有限元模型與解析算法的結(jié)論基本一致。

得到位移與反力的關(guān)系曲線后，就可以用簡(jiǎn)化的方式來(lái)模擬軸承滾子。具體的方法是把一個(gè)滾子簡(jiǎn)化為一排非線性彈簧單元（例如，ANSYS軟件中的Combin39單元），這些單元必須平行、均布（圖5）。將彈簧單元的拉伸剛度設(shè)為0，壓縮剛度按圖4中的計(jì)算結(jié)果均分設(shè)置，注意位于兩端的單元?jiǎng)偠戎狄O(shè)置成中間單元?jiǎng)偠戎档囊话搿?/p>

由簡(jiǎn)化后的有限元模型（圖5）可知，在網(wǎng)格數(shù)量上，該模型比實(shí)體滾子有限元模型要少得多。而且去除了接觸計(jì)算，模型的計(jì)算速度極大提升。在本文的算例中，使用同一臺(tái)計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算，實(shí)體滾子接觸模型的計(jì)算時(shí)間大約是1小時(shí)7分鐘，簡(jiǎn)化模型只有3秒。

然而在統(tǒng)計(jì)計(jì)算結(jié)果后發(fā)現(xiàn)彈簧單元產(chǎn)生的反力比預(yù)想值低40%左右，這是由于在設(shè)置彈簧剛度時(shí)，使用的是整個(gè)系統(tǒng)的位移與反力關(guān)系（圖4中的藍(lán)色曲線），軸承內(nèi)外圈的彈性變形并沒(méi)有被分離出去。用這種模型模擬軸承計(jì)算顯然會(huì)造成太大的誤差，因此必須對(duì)彈簧單元的剛度值進(jìn)行修正。

修正前后的剛度結(jié)果如圖6所示，由圖可以看到，修正的效果是非常明顯的。但是，需要特別注意的是，由于各型號(hào)軸承的內(nèi)外圈厚度與滾子直徑比例不同，修正系數(shù)公式（1）不能直接用于其他軸承模擬。在模擬其他型號(hào)軸承時(shí)，需要建立一個(gè)對(duì)應(yīng)的單滾子模型重新試算，以確定公式（1）中的線性放大系數(shù)和冪指數(shù)，或者采用其他的數(shù)學(xué)模型對(duì)剛度值進(jìn)行修正，以計(jì)算結(jié)果的位移與反力曲線判斷精度。

以上是關(guān)于圓柱滾子軸承的簡(jiǎn)化模擬方式，類(lèi)似圓柱形狀的滾子也可以用這種方法，比如錐角不超過(guò)30度的錐滾子軸承和鼓形滾子的調(diào)心軸承。不過(guò)球形滾子的軸承顯然不能用這種方式來(lái)簡(jiǎn)化，下面就討論一下球形滾子的有限元簡(jiǎn)化模擬方式。

球形滾子模擬

本文使用的球形滾子軸承模型（圖7），直徑約3m，滾子直徑60mm，應(yīng)用于某款風(fēng)力發(fā)電機(jī)組的偏航系統(tǒng)。

圖8顯示了以實(shí)體單元模擬滾球的局部有限元模型，其中的接觸設(shè)置與上一算例完全一致。與圓柱滾子軸承不同，滾珠軸承除徑向力外，還可以承受一定的軸向力和彎矩，因此在加載方式上，本算例分別采用了徑向位移和軸向位移兩種載荷。圖9顯示了兩個(gè)方向上最終載荷步下滾子與滾道之間的接觸壓力，整體剛度計(jì)算結(jié)果如圖10所示。

從位移與反力曲線可以看到，對(duì)于單個(gè)球形滾子，徑向剛度大概是軸向剛度的2倍左右。由于各個(gè)型號(hào)的球滾子軸承在設(shè)計(jì)時(shí)預(yù)留的接觸角不同，滾道形狀差異較大，因此，剛度計(jì)算公式并不統(tǒng)一，只能按照實(shí)際的接觸位置進(jìn)行建模計(jì)算。

對(duì)于球形滾子的簡(jiǎn)化模擬，同樣是用一組非線性彈簧單元來(lái)代替實(shí)體滾子，這些單元全部穿過(guò)球心，在接觸位置與滾道共節(jié)點(diǎn)（圖11）。根據(jù)球形結(jié)構(gòu)的幾何特性，將彈簧剛度的初始值設(shè)置為徑向總剛度值除以彈簧份數(shù)后所得數(shù)值的兩倍。

簡(jiǎn)化后的模型，計(jì)算時(shí)間同樣是秒級(jí)的，大幅度提高了計(jì)算效率。但是和圓柱滾子的算例一樣，將球形滾子簡(jiǎn)化成彈簧后，同樣會(huì)造成壓力過(guò)于集中，需要修正剛度。

經(jīng)過(guò)試算，針對(duì)徑向剛度進(jìn)行修正，得到修正公式（2），修正后的整體剛度結(jié)果如圖12所示。從結(jié)果中可以看到，針對(duì)徑向結(jié)果進(jìn)行修正的剛度值，在軸向剛度上的擬合結(jié)果并不是特別精確，和實(shí)體模型結(jié)果大約有5%的差異。

從數(shù)值中可以看出，公式（2）與公式（1）的修正系數(shù)差距非常大，這說(shuō)明圓柱滾子和球形滾子簡(jiǎn)化后，在整體剛度表現(xiàn)上有較大的差別。如果不進(jìn)行試算的話，不能直接套用其他類(lèi)型軸承的修正公式。

全軸承模擬

通過(guò)上面的方法，得到單個(gè)滾子的簡(jiǎn)化模型和適合的剛度設(shè)置值之后，就可以進(jìn)行全軸承的模擬了。在建模計(jì)算中，盡量保持內(nèi)外圈實(shí)體網(wǎng)格與試算模型的網(wǎng)格一致?；蛘叻催^(guò)來(lái)說(shuō)，先建立應(yīng)用于計(jì)算的全軸承簡(jiǎn)化模型，然后用同樣的截面網(wǎng)格來(lái)拉伸試算模型，這樣能盡量保證試算數(shù)據(jù)的有效性。

在建模過(guò)程中還要注意一點(diǎn)，彈簧單元的復(fù)制份數(shù)一定要和實(shí)際滾子數(shù)對(duì)應(yīng)，也就是說(shuō)內(nèi)外圈的環(huán)向掃掠網(wǎng)格數(shù)，必須是滾子個(gè)數(shù)的整數(shù)倍，否則無(wú)法做成共節(jié)點(diǎn)。圖13顯示了本文第一個(gè)算例的全軸承簡(jiǎn)化模型，該軸承的滾子數(shù)量是37個(gè)。

建立好軸承整體模型之后，就可以將它裝配到組件結(jié)構(gòu)的有限元模型中，進(jìn)行計(jì)算分析。運(yùn)用這種簡(jiǎn)化方式，可以極大程度地減小模型規(guī)模，提高計(jì)算效率，但是有以下幾點(diǎn)使用限制：

（1）利用彈簧單元簡(jiǎn)化模擬軸承滾子，滾道的實(shí)體單元與彈簧單元之間是共享節(jié)點(diǎn)的，一旦內(nèi)圈和外圈發(fā)生較大的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，就會(huì)導(dǎo)致彈簧單元傾斜，無(wú)法正確計(jì)算反力。因此，內(nèi)外圈軸承所連接的部件，必須用直接或間接的方式約束相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)的自由度。而且在后處理過(guò)程中，要檢查彈簧單元首尾節(jié)點(diǎn)的環(huán)向相對(duì)位移，當(dāng)位移超過(guò)滾子直徑一定比例時(shí)，反力結(jié)果不再可信。這一比例可由分析人員根據(jù)計(jì)算結(jié)果的精確度要求自行設(shè)定。

（2）本文介紹的軸承滾子簡(jiǎn)化方式，可以用于靜態(tài)或準(zhǔn)靜態(tài)下軸承剛度、反力、滾子承載分布等方面的有限元計(jì)算，但是不適用于動(dòng)態(tài)或瞬態(tài)計(jì)算。計(jì)算結(jié)果中的滾子和滾道應(yīng)力也是不真實(shí)的，不能直接用于軸承本身的強(qiáng)度分析。

（3）試算中的變形范圍設(shè)置，取決于軸承應(yīng)用環(huán)境的實(shí)際載荷。本文算例中使用的都是1mm，在實(shí)體接觸壓力結(jié)果中，局部壓應(yīng)力達(dá)到6800MPa，已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)軸承滾子的承受范圍，在設(shè)計(jì)工況中不可能應(yīng)用這么大的載荷。因此，在針對(duì)實(shí)際工程問(wèn)題時(shí)，可以先對(duì)載荷工況做一個(gè)大致的判斷，然后設(shè)定合理的變形范圍進(jìn)行剛度擬合，以得到更精確的結(jié)果。

總結(jié)與展望

本文通過(guò)兩個(gè)不同形式的軸承算例，論述了一種用于有限元計(jì)算的簡(jiǎn)化建模方式。該方式利用彈簧單元代替實(shí)體滾子，可以極大地簡(jiǎn)化模型規(guī)模，提高計(jì)算效率。為了得到與實(shí)體單元計(jì)算相近的軸承剛度，文中對(duì)彈簧單元?jiǎng)偠冗M(jìn)行了修正。修正后的軸承整體剛度，與實(shí)體模型的結(jié)果差距不超過(guò)5%，符合大部分工程計(jì)算的精度要求。

但是在采用該方式簡(jiǎn)化計(jì)算之前，還是需要先建立單個(gè)滾子的實(shí)體單元局部模型和對(duì)應(yīng)的簡(jiǎn)化單元局部模型進(jìn)行對(duì)比計(jì)算，以確定彈簧剛度值和修正系數(shù)。因此，如果能通過(guò)一系列不同尺寸軸承的計(jì)算，設(shè)計(jì)一個(gè)通用的計(jì)算公式，將使這一簡(jiǎn)化方法更加方便實(shí)用。另外，本文中使用的剛度修正系數(shù)公式，在修正精度上并不是非常高，需要通過(guò)進(jìn)一步的探索和嘗試，找到一種更適合的數(shù)學(xué)模型。

（作者單位：北京鑒衡認(rèn)證中心有限公司）