高中數(shù)學(xué)直觀想象素養(yǎng)能力的培養(yǎng)與研究

張舒

[摘? 要] 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)能力，就是高中數(shù)學(xué)教師的一項(xiàng)重要任務(wù). 直觀想象素養(yǎng)能力的培養(yǎng)，需要重視學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中表現(xiàn)出來(lái)的思維特點(diǎn)，只有學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中能夠讓生活經(jīng)驗(yàn)有效地變成先行組織者，能夠有效地讓自己的元認(rèn)知去監(jiān)控、調(diào)節(jié)并設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)內(nèi)容，那么學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)能力的培養(yǎng)也就有了一個(gè)比較堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ). 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，尤其是在涉及圖形或者圖像的時(shí)候，要意識(shí)到這就是一個(gè)重要的直觀想象素養(yǎng)能力培養(yǎng)的契機(jī). 高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的每一個(gè)要素的落地，都需要放在核心素養(yǎng)的體系中來(lái)理解與實(shí)施.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);直觀想象;素養(yǎng)能力;培養(yǎng)研究

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，核心素養(yǎng)的培育已經(jīng)成為當(dāng)前的主題，而根據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的界定，高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括六個(gè)核心素養(yǎng)要素，即數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、運(yùn)算能力、直觀想象、數(shù)據(jù)分析等. 其中，直觀想象原本是指幾何直觀和空間想象，在當(dāng)前的語(yǔ)境下又被理解為借助空間想象感知事物的形態(tài)與變化，并利用幾何圖形理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力素養(yǎng). 通常認(rèn)為，幾何直觀是發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)命題、理解數(shù)學(xué)命題、探索論證思路的重要輔助手段，是建構(gòu)抽象結(jié)構(gòu)和進(jìn)行邏輯推理的思維基礎(chǔ)，是建立數(shù)學(xué)直覺(jué)的基本途徑. 因此在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)能力，就是高中數(shù)學(xué)教師的一項(xiàng)重要任務(wù). 筆者在教學(xué)中，基于高中數(shù)學(xué)直觀想象素養(yǎng)能力的培養(yǎng)，進(jìn)行了理論與實(shí)踐兩個(gè)方面的探究，取得了非常重要的認(rèn)識(shí).

作為素養(yǎng)的直觀想象的理論建構(gòu)

作為高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)六個(gè)要素中的重要的組成部分，直觀想象與其他要素不同的地方在于，其既涉及具體的數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)——幾何直觀（當(dāng)然包括了數(shù)形結(jié)合的思想在內(nèi)），也涉及思維的重要組成部分——想象是重要的思維能力，基于已有的現(xiàn)實(shí)進(jìn)行有效的想象，是學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ). 這一結(jié)論得到了理論的充分證明，有關(guān)直觀想象能力發(fā)展的幾何學(xué)習(xí)理論主要有范希爾的幾何思維發(fā)展模型和杜瓦爾的幾何認(rèn)知關(guān)系模型. 直觀想象能力的培養(yǎng)除了應(yīng)重視關(guān)鍵期的數(shù)學(xué)教學(xué)，還要提供恰當(dāng)?shù)摹跋刃薪M織者”，激發(fā)學(xué)生的元認(rèn)知監(jiān)控、調(diào)節(jié)，設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)奶骄啃詥?wèn)題.

所以從很大程度上來(lái)看，直觀想象素養(yǎng)能力的培養(yǎng)，需要重視學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中表現(xiàn)出來(lái)的思維特點(diǎn)，只有學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中能夠讓生活經(jīng)驗(yàn)有效地變成“先行組織者”，能夠有效地讓自己的元認(rèn)知去監(jiān)控、調(diào)節(jié)并設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)內(nèi)容，那么學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)能力的培養(yǎng)，也就有了一個(gè)比較堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

眾所周知，函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，函數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)直觀素養(yǎng)能力有著非常密切的關(guān)系. 雖然說(shuō)函數(shù)的特征，相當(dāng)一部分內(nèi)容是由語(yǔ)言公式來(lái)表示的，但是函數(shù)的圖像，卻是學(xué)生理解函數(shù)特征的一個(gè)重要載體. 也恰恰是函數(shù)的圖像，是學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)知識(shí)的一個(gè)難點(diǎn)，尤其是在遇到復(fù)雜函數(shù)的時(shí)候，相當(dāng)一部分學(xué)生無(wú)法寄予函數(shù)的解析式或其他知識(shí)，去迅速而有效地反映出該函數(shù)的圖像是什么樣子.

以對(duì)數(shù)函數(shù)為例，如果說(shuō)學(xué)生能夠通過(guò)機(jī)械記憶等方式去記住對(duì)數(shù)函數(shù)的概念與解析式的話，那么在理解對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像時(shí)，只靠機(jī)械記憶顯然是沒(méi)有任何用處的. 很多時(shí)候教師都會(huì)用習(xí)題訓(xùn)練或者重復(fù)記憶的方法，來(lái)幫學(xué)生進(jìn)行所謂的鞏固. 嚴(yán)格來(lái)講，這其實(shí)不是一種有效的教學(xué)策略，只是用學(xué)生在學(xué)習(xí)中表現(xiàn)出來(lái)的比較低級(jí)的重復(fù)記憶的方法，來(lái)讓學(xué)生對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像形成刻板的記憶. 相反，如果能夠有效地借助于直觀想象素養(yǎng)能力，那么就可以引導(dǎo)學(xué)生在認(rèn)識(shí)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像時(shí)，走入佳境. 同時(shí)在這樣的一個(gè)過(guò)程中，又為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了一個(gè)直觀想象素養(yǎng)能力培養(yǎng)的契機(jī)，于是對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與直觀想象素養(yǎng)能力的培養(yǎng)就形成了一個(gè)相互促進(jìn)的關(guān)系.

從理論的角度來(lái)看，這一思路是有效的. 因?yàn)榧热灰灾庇^想象素養(yǎng)能力作為重要的思路，那就可以有效地讓學(xué)生的元認(rèn)知去監(jiān)控自己的學(xué)習(xí)過(guò)程，同時(shí)讓大腦中的“先行組織者”充分地發(fā)揮作用.

指向能力的直觀想象的實(shí)踐探究

基于上述理論分析的思路，筆者在教學(xué)實(shí)踐中進(jìn)行了積極的探究. 上面以對(duì)數(shù)函數(shù)的教學(xué)為例，來(lái)談?wù)勅绾卧趯?duì)數(shù)函數(shù)圖像的學(xué)習(xí)過(guò)程中，讓學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)能力得到有效的培養(yǎng)，同時(shí)又以直觀想象素養(yǎng)能力，來(lái)為對(duì)數(shù)函數(shù)圖像的學(xué)習(xí)提供有力的支撐. 需要指出的是，在實(shí)踐探究的過(guò)程中，筆者還積極借鑒他人的研究思路，從而嘗試讓自己站在別人的肩膀上，能夠看得更遠(yuǎn). 有同行認(rèn)為，基于直觀想象素養(yǎng)能力的培養(yǎng)，可以結(jié)合課堂教學(xué)從培養(yǎng)學(xué)生建立數(shù)形聯(lián)系呈現(xiàn)幾何直觀、借助特殊模型積累空間想象以及理解圖像特征迸發(fā)直觀洞察三個(gè)方面闡述如何培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)，并促進(jìn)學(xué)生各種數(shù)學(xué)能力的提升.

其實(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像學(xué)生學(xué)起來(lái)之所以覺(jué)得困難，一個(gè)很重要的原因就在于：相對(duì)于基本函數(shù)而言，作為指數(shù)函數(shù)的逆函數(shù)，學(xué)生在學(xué)習(xí)的時(shí)候，需要對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義、解析式等進(jìn)行綜合的加工，然后在此基礎(chǔ)上，有效地形成直觀性的認(rèn)識(shí)，進(jìn)而再進(jìn)行有效的想象. 這樣，直觀想象素養(yǎng)能力的提升，就有了一個(gè)可靠的載體. 在具體的教學(xué)過(guò)程中，可以分成這樣的幾個(gè)環(huán)節(jié)：

第一個(gè)環(huán)節(jié)：以一個(gè)簡(jiǎn)單的對(duì)數(shù)函數(shù)為例，如y=log2x，讓學(xué)生結(jié)合這個(gè)例子，對(duì)照對(duì)數(shù)函數(shù)的概念與定義，尤其是在定義域內(nèi)，通過(guò)想象與計(jì)算，去確定一些基本的同時(shí)具有一定代表性的點(diǎn). 如果不出意外，這個(gè)時(shí)候絕大部分學(xué)生都會(huì)通過(guò)心算的方法，在大腦里面去選出一些簡(jiǎn)單的、基本的數(shù)據(jù)，然后確認(rèn)這些點(diǎn)就在函數(shù)的圖像上. 調(diào)查研究表明，盡管找到了這些點(diǎn)，這個(gè)時(shí)候相當(dāng)一部分學(xué)生仍然無(wú)法想象出對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像是什么樣子. 于是就要下一步設(shè)計(jì).

第二個(gè)環(huán)節(jié)：這個(gè)環(huán)節(jié)的主要任務(wù)是讓學(xué)生進(jìn)行對(duì)比，對(duì)比的對(duì)象就是指數(shù)函數(shù)，因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的冪函數(shù)，而經(jīng)過(guò)此前一段時(shí)間的學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)指數(shù)函數(shù)的認(rèn)識(shí)已經(jīng)比較充分，尤其是對(duì)指數(shù)函數(shù)的圖像，已經(jīng)有了一個(gè)清晰的表象. 所以這個(gè)時(shí)候，讓學(xué)生進(jìn)行比較，實(shí)際上就是用學(xué)生的元認(rèn)知，去監(jiān)控指揮學(xué)生自身的學(xué)習(xí). 這個(gè)環(huán)節(jié)在實(shí)施的時(shí)候，可以讓學(xué)生去比較y=2x和y=log2x，比較的過(guò)程中學(xué)生會(huì)逐步發(fā)現(xiàn)，同一個(gè)坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的兩個(gè)不同函數(shù)的點(diǎn)，似乎存在著一種對(duì)應(yīng)的關(guān)系. 等到學(xué)生有這個(gè)認(rèn)識(shí)的時(shí)候，教師就鼓勵(lì)學(xué)生大膽地進(jìn)行想象——這個(gè)想象其實(shí)就是基于直觀的想象，是學(xué)生在大腦中基于指數(shù)函數(shù)的圖像去構(gòu)思對(duì)數(shù)函數(shù)圖像的過(guò)程.

教師此時(shí)要觀察學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程，筆者在巡視學(xué)生學(xué)習(xí)的時(shí)候，見(jiàn)不少學(xué)生在草稿紙上能夠初步的作出比較粗糙的指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像，且學(xué)生已經(jīng)猜想出兩者之間可能存在著某種對(duì)稱關(guān)系時(shí)，筆者再趁熱打鐵，借助于多媒體用Excel去生成圖形，結(jié)果發(fā)現(xiàn)電腦生成的圖形與自己的想象基本一致，這實(shí)際上也就確認(rèn)了學(xué)生的想象是正確的.

通過(guò)上述過(guò)程，學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)能力得到了培養(yǎng)，同時(shí)對(duì)數(shù)函數(shù)圖像的建構(gòu)又得到了有效的實(shí)施，因此這樣的一個(gè)教學(xué)過(guò)程是有效的.

在核心素養(yǎng)體系中培養(yǎng)直觀想象

反思以上這樣一則教學(xué)案例，筆者得出了一個(gè)重要的認(rèn)識(shí)，這就是在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，尤其是在涉及圖形或者圖像的時(shí)候，要意識(shí)到這就是一個(gè)重要的直觀想象素養(yǎng)能力培養(yǎng)的契機(jī). 無(wú)論是純粹的圖形或者圖像知識(shí)的學(xué)習(xí)，如幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)，還是數(shù)形結(jié)合相關(guān)的知識(shí)的學(xué)習(xí)，如函數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)，都孕育著豐富的直觀想象素養(yǎng)能力培養(yǎng)的機(jī)會(huì).

而結(jié)合高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，比較體會(huì)更深的一個(gè)認(rèn)識(shí)就是：高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的每一個(gè)要素的落地，都需要放在核心素養(yǎng)的體系中來(lái)理解與實(shí)施. 直觀想象素養(yǎng)能力，作為與數(shù)和形直接相關(guān)的一種能力素養(yǎng)，將其置于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的體系當(dāng)中，可以發(fā)現(xiàn)他與其他的要素，實(shí)際上也是存在許多密切的關(guān)系的. 比如說(shuō)其與邏輯推理之間的關(guān)系，就與思維中的邏輯思維與直覺(jué)思維的關(guān)系非常類(lèi)似，這也就給直觀想象素養(yǎng)能力的培育提供了一個(gè)新的視角.

同時(shí)在數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)這個(gè)體系中，還需要高度重視學(xué)生的主體地位. 在建立以學(xué)生為主體、教師為輔的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中，直觀想象有利于促進(jìn)學(xué)生的知識(shí)與能力形成，有利于提高學(xué)生分析和解決問(wèn)題能力，從而養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣、創(chuàng)新意識(shí)以及應(yīng)用數(shù)學(xué)意識(shí)與欣賞數(shù)學(xué)之美. 很顯然，這是一種綜合性的描述，在數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)體系的背景之下，無(wú)論是選擇哪個(gè)要素作為突破口，都可以有效地帶動(dòng)其他要素的落地.

以上是筆者基于高中數(shù)學(xué)直觀想象素養(yǎng)能力的培養(yǎng)與研究所形成的一些淺顯認(rèn)識(shí)，所總結(jié)的內(nèi)容如果存在一些不妥當(dāng)?shù)牡胤?，還希望得到專(zhuān)家同行的批評(píng)指正.