粗糙勢能對Frenkel-Kontorova晶格熱傳導性能的影響

周步云， 艾保全

(華南師范大學物理與電信工程學院， 廣州510006)

近20年來，低維熱傳導機理的研究引起了廣泛關注，低維熱傳導也表現(xiàn)出與宏觀材料不同的特性，最大區(qū)別是在低維系統(tǒng)中傅里葉定律是否有效. 一般來說，一維模型可以分為3類[1-2]：(1)可積分系統(tǒng),例如關于諧波鏈的研究[3]表明在這一類系統(tǒng)中不存在溫度梯度，并且熱導率是發(fā)散的；(2)不可積分系統(tǒng),Frenkel-Kontorova模型[4-5]和Lorentz氣體模型[6]都是經典的例子，傅立葉定律在此類系統(tǒng)中有效；(3)特殊的不可積分系統(tǒng)，例如Fermi-Pasta-Ulam鏈[7-8]和雙原子Toda鏈[9]等，該鏈中存在溫度梯度，但熱導率隨熱力學極限發(fā)散. 對低維材料的理論研究不僅增加了對熱傳導機理的認識，而且為設計各種熱裝置開辟了道路. 一些研究提出了有趣且實用的熱學器件，例如整流器[10-13]、熱二極管[14]、晶體管[15]、熱邏輯門[16]、隔熱斗篷[17-18]、熱記憶[19]、熱泵[20-21]、熱限流器[22]和恒熱源[22]等，這些研究關注非線性響應機制. 在非線性響應狀態(tài)下，負微分熱阻(NDTR)是一種違反直覺的、特殊的物理現(xiàn)象，其熱流隨溫度差的增加而減小，這可能成為某些熱器件的物理機制，近年來引起了廣泛關注.

目前對Frenkel-Kontorova模型的研究集中于標準Frenkel-Kontorova晶格模型[5,23]、由2段Frenkel-Kontorova晶格組成的模型[10,14]和由3段Frenkel-Kontorova晶格組成的模型[24]，但是對原子所處的粗糙勢能對熱傳導影響的研究尚少.

1 研究方法

具有粗糙周期性的FK鏈哈密頓量可描述為：

其中，pi表示第i個原子的瞬時動量；xi表示第i個原子偏離平衡位置的瞬時位移.V(xi+1-xi)表示最近相鄰原子的交互勢能：

其中，K0為FK鏈的彈簧常數.U(xi)表示粗糙周期勢能：

其中，V0為勢能的高度；r為粗糙勢能的高度；ω為粗糙部分勢能的頻率. 如圖1所示，當選擇r=0時，則標準的FK鏈勢能曲線光滑；當r≠0時，勢能變得粗糙并帶有凹槽. 增大ω會使總勢能的粗糙度增大，因此可以通過改變r或ω來改變粗糙勢.

圖1 V0 = 5時粗糙勢能U(x)隨x的變化

Figure1 The rough potentialU(x) as the function of displacementxin the case ofV0= 5

在數值模擬中，F(xiàn)K鏈的兩端分別固定在T+和T-溫度下，以實現(xiàn)穩(wěn)定的熱流. 鏈兩端的溫度由Langevin heat baths提供. 為了固定鏈，x0和xN+1都作固定邊界條件，取值為零.

其他原子的運動方程為：

其中，m是原子質量.γi和ξi的定義如下:

γi=γ(ξ+δ1,i+ξ-δi,N)，

ξi=(ξ+δ1,i+ξ-δi,N)，

其中，γ表示摩擦系數；δ表示狄拉克δ函數；ξ表示高斯白噪聲. 其耗散關系為：

〈ξ(t)ξ(t′)〉=2γkBTδtt′，

〈ξ(t)〉=0，

其中，kB是玻耳茲曼常數；〈…〉表示一段時間內的總體平均值.

為便于計算，將玻爾茲曼常數和原子質量設為1，即kB=γ=1. 計算局部熱流的方程為：

計算局部溫度的方程為：

經過長時間的模擬，系統(tǒng)達到穩(wěn)定狀態(tài)，局部熱流ji與原子位置i無關，因此總熱流可以通過J=Nj計算.

通過聲子態(tài)密度(PDOS)解釋熱傳遞性質是一種有效方法. PDOS是在給定頻率間隔內變化的動能分布. 通過計算速度自相關函數的傅立葉變換，PDOS可描述為[25]：

其中，ω是聲子的頻率；vj表示第j個原子的速度矢量，〈…〉表示所有原子和所有時間的平均值.

2 結果與討論

2.1 粗糙勢能對負微分熱阻的影響

2.1.1 負微分熱阻與粗糙高度的關系 在ω=3、T-=0.001、V0=5、K0=0.5、N=32條件下，不同r=0～0.10時，繪制總熱流與T+的函數圖像(圖2).

圖2 不同r取值時總熱流J隨T+的變化

注:T-=0.001，ω=3，V0=5，K0=0.5，N=32.

在一定溫度范圍，如果出現(xiàn)溫差較大而產生的總熱流較小，則說明出現(xiàn)NDTR. 當r<0.05時，NDTR 出現(xiàn)；當r>0.05時，NDTR消失. 與r=0的情況相比，當r<0.05時，增加r會使NDTR的范圍變小. 圖2還說明存在一個臨界溫度Tc，當溫度T+>Tc時J隨r的增加而增大. 這是因為高溫使顆粒易于克服勢能，原子更加趨向遠離x=0處的勢能凹槽中，勢能凹槽的深度隨r的增加而增大，增加r可使槽中的原子比標準FK鏈中的原子獲得更多的動能，故增加r時熱流J增大.

當r=0.01和T-=0.001時，NDTR出現(xiàn)規(guī)模效應(圖3). NDTR的范圍變得更小，最終隨著系統(tǒng)大小N的增大而消失. 這是因為NDTR可能是某種邊界機制的結果，例如聲子邊界散射或邊界熱阻，當N增加時，邊界機制的影響減小. 在T+=0.070、0.154、T-=0.001情況下，得到PDOS圖(圖4). 與T+=0.154的情況相比，當T+=0.070時，PDOS在低頻下較高，因此，熱流在T+=0.070時比在T+=0.154情況下的大，NDTR出現(xiàn). 當r=0.05時，在T+=0.154情況下，PDOS的低頻部分大于T+=0.070的情況，因此NDTR消失.

圖3 不同系統(tǒng)大小(N)條件下總熱流J 隨T+的變化

Figure 3 The change of total heat fluxJas a function ofT+for different system sizes (N).

注:T-=0.001，ω=3，V0=5，K0=0.5.

圖4 PDOS與頻率的函數圖像

2.1.2 負微分熱阻與粗糙頻率的關系 由總熱流J與T+的關系(圖5)可知，當固定T-=0.001，而對ω取不同值時，NDTR出現(xiàn)，但隨著ω的增加，NDTR逐漸消失. 隨T+增大，ω對熱流的影響減小，最后熱流趨向相同，這是因為溫度升高原子運動劇烈，粗糙勢能對原子的作用力比熱源的作用力小，因此改變ω熱流的變化不大. 當T+=0.154時聲子態(tài)密度的低頻部分比T+=0.070時的大，NDTR消失(圖5).

圖5 不同ω與T+時的總熱流和PDOS圖像

2.2 粗糙勢能對熱導率的影響

對于不同的ω，熱導率κ與粗糙勢能高度r的關系如圖6所示.r對熱導率κ的影響隨粗糙度頻率ω的不同而變化. 當ω=1時，κ與r單調增加，這是由于總勢能高度r降低所致. 當ω從1開始增加時，κ會增加，然后隨著r的增加而減少，即存在一個峰值κm，κm是ω的函數.

圖6 熱導率κ與r的關系

當ω=1時，粗糙勢可以寫成

其中，

φ=arctan(r-1)，

它表明增加r會降低勢能的最大值，因此熱流增大. 由圖1可知，當ω>1時，粗糙勢能會引起溝槽. 與r=0的情況相比，當r≠0時處在凹槽底部的原子將獲得較少的勢能，并且隨著r的增加，凹槽越深，獲得的勢能越小，勢能越小原子獲得的動能越大. 當r較小時，原子可以穿過x=0附近的凹槽到達遠離x=0的凹槽，增加r可使處在槽中的原子比處在標準勢能的原子獲得更多的動能，在這種情況下，增加r意味著原子更容易傳導熱流. 當r增加時，原子被困在接近x=0的凹槽中，這使得熱流變小.

由圖7可知，κ隨ω的增加而單調減少，并且設置不同的r可以控制κ的下降速度. 這是因為隨著ω的增大，勢能作用在原子上的力增大，導致原子運動的速度和范圍變小. 因此，熱流更難以從高溫區(qū)域傳遞到低溫區(qū)域，熱導率減小. 由系統(tǒng)尺寸對熱導率κ的影響(圖8)可知，當系統(tǒng)大小N=64、128時，隨r的增加，熱導率κ先增大后減小，也具有最大值.

圖7 熱導率κ與ω的關系

圖8 熱導率κ與r的關系

3 結論

研究了Frenkel-Kontorova晶格處于粗糙勢能下的熱傳導性能. 結果表明：當粗糙勢能的高度、粗糙度的頻率增加時，NDTR的范圍變小，最終消失. 研究了熱導率與粗糙勢能高度和頻率之間的關系，結果表明：在不同頻率ω下，存在一個粗糙高度r最優(yōu)值，熱導率κ在該處取最大值. 隨著系統(tǒng)尺寸的增加，粗糙勢能仍可以對熱導率起作用. 粗糙勢能的頻率增大可以使熱導率單調降低. 粗糙勢能的高度或頻率增大將縮小NDTR的范圍，這可能是導致在實際材料中幾乎找不到NDTR的原因，因為在現(xiàn)實中建立標準勢能場是一項較難的操作. 本文提出了一種可能的方法，即通過改變粗糙度FK勢的高度和頻率來控制低維晶格中的熱導率.