核磁共振陀螺信號仿真及噪聲分析

張 燚，汪之國，江奇淵，羅 暉，楊開勇

（國防科技大學(xué)前沿交叉學(xué)科學(xué)院，長沙410073）

0 引言

核磁共振陀螺（Nuclear Magnetic Resonance Gyroscope，NMRG）是當(dāng)今新型原子陀螺中的一種。與微機電陀螺相比，NMRG具有精度高、耐沖擊性強、加速度不敏感等優(yōu)勢［1-5］；與激光陀螺、光纖陀螺相比，NMRG具有體積小、易集成化等特點［1-5］；與其它類型原子陀螺相比，如無自旋交換弛豫（Spin Exchange Relaxation Free， SERF）原子自旋陀螺［6］、 原子干涉陀螺（Atom Interferometry Gyroscope， AIG）［7-8］， NMRG 又具有結(jié)構(gòu)簡單、 容易實現(xiàn)等優(yōu)點。因此，核磁共振陀螺具有十分廣泛的應(yīng)用前景。其研究工作始于20世紀(jì)60年代末［9］，到 20世紀(jì) 80年代，美國的 Litton公司［10-11］、Singer-Kearfott公司［11-12］、 Stanford 大學(xué)［13］和英國的海軍研究院［14］、 Sussex 大學(xué)［11］等多家單位已開展了相關(guān)研究工作，并制成了原理樣機［15］。目前，在美國國防高級研究計劃局（Defense Advanced Research Projects Agency，DARPA）支持下的核磁共振陀螺處于世界領(lǐng)先水平［16-17］。

典型核磁共振陀螺的基本原理是：利用堿金屬原子磁力儀測量轉(zhuǎn)動時惰性氣體原子核磁矩Larmor進動頻率的改變來得到系統(tǒng)轉(zhuǎn)動信息［3］。與傳統(tǒng)機械陀螺和激光陀螺相比，NMRG的結(jié)構(gòu)復(fù)雜，包含多種光學(xué)、電學(xué)、熱學(xué)器件，具有多種噪聲來源，如激光器功率與波長的噪聲、磁場噪聲（包括磁場線圈電流不穩(wěn)定引起的磁場噪聲、由屏蔽桶效能有限引起的環(huán)境剩余磁場噪聲、屏蔽桶本身及桶內(nèi)其它器件的磁噪聲）、溫度漂移噪聲、機械結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定引起的噪聲（如力學(xué)及熱脹冷縮效應(yīng)引起的光路不穩(wěn)定）、信號處理量化噪聲、電路噪聲以及由測不準(zhǔn)原理引起的量子噪聲（如光子散粒噪聲、光位移噪聲、自旋投影噪聲）等。且由于NMRG的體積限制，各種噪聲彼此間存在較強的耦合，對陀螺信號的影響十分復(fù)雜。

但是，目前對NMRG中噪聲特性的研究并不完善。由于決定NMRG敏感轉(zhuǎn)動核磁矩的Bloch方程具有非線性特性，故難于解析求解。一般都是在Bloch公式的基礎(chǔ)上采用穩(wěn)態(tài)近似與旋波近似等手段獲得理論公式的近似解，然后在近似結(jié)果的基礎(chǔ)上分析系統(tǒng)的噪聲特性［18-19］。這樣雖能得到一些主要的噪聲特性，但往往忽略了系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)等重要性能，分析結(jié)果存在一定誤差。另一方面，也有一些研究直接采用數(shù)值求解微分方程的方法來研究NMRG的系統(tǒng)特性［20］。該方法雖能克服近似解析方法對系統(tǒng)動態(tài)特性考慮不足的弊端，但是由于數(shù)值求解本身的收斂性問題，該方法一般只能獲得較短時間內(nèi)的系統(tǒng)特性。對于弛豫時間較長且需考慮長時間漂移的系統(tǒng)，處理起來就比較困難了。

因此，本文兼顧了解析與數(shù)值方法的優(yōu)勢：在理論模型基礎(chǔ)上，對系統(tǒng)動力學(xué)方程進行時間離散化，在不采用穩(wěn)態(tài)近似與旋波近似等手段的前提下推導(dǎo)出每一時間微元內(nèi)的解析結(jié)果，并建立仿真模型，該模型不僅能夠充分考慮NMRG系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)特性，還能避免長時間數(shù)值求解的收斂性問題。并在此基礎(chǔ)上，利用該模型分析了幾種主要噪聲來源對陀螺性能的影響，其結(jié)果對NMRG的研制與性能的提升具有重要參考意義。

1 理論模型

NMRG的基本原理如圖1所示。

圖1 NMRG的基本原理Fig.1 Principle of NMRG

首先，Xe原子核通過與Rb原子的自旋交換作用被極化后用來探測系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動角速度。Xe原子核磁矩K＝［KxKyKz］T滿足如下動力學(xué)方程［18］

Ω由外界磁場B、Rb原子磁矩產(chǎn)生磁場bKSS及系統(tǒng)轉(zhuǎn)動角速度ωr組成。 式（1）、 式（2）中，γXe為Xe原子核旋磁比；Γ1、Γ2分別為縱向與橫向弛豫率，包含自旋破壞碰撞、原子與氣室內(nèi)壁碰撞、磁場梯度等弛豫效應(yīng)；K0與自旋交換極化強度有關(guān)。

進一步令K＋＝Kx＋iKy＝K⊥e-iφ， 代入式（1）可得

式（3）中， Re［·］為括號中復(fù)數(shù)的實部。 在NMRG工作時，利用鎖相環(huán)跟蹤核磁矩繞z軸的轉(zhuǎn)動相位，并在x方向施加與磁矩轉(zhuǎn)動相差固定為β的激勵磁場Ωx＝γXeB1cos（φ-β）， 且有Ωy＝0，可得

式（4）中，約等號使用了旋波近似，即忽略掉頻率為2的項。

先考慮穩(wěn)態(tài)解，令K⊥、Kz達(dá)到穩(wěn)態(tài)，即⊥＝0、0，可得

通過式（2）和式（5）可以看出， Xe核磁矩繞z軸轉(zhuǎn)動的角速度ω與外磁場、Rb原子磁矩磁場、系統(tǒng)轉(zhuǎn)動角速度、橫向弛豫率以及鎖相環(huán)輸出相位差有關(guān)。

進一步考慮實時解，旋波近似下，式（4）分離變量后可得

式（6）所示的二階常微分方程具有通解

式（7）中，C1、C2由初值條件決定。 由式（7）可以看出，Xe原子磁矩的橫向與縱向強度都以指數(shù)形式趨近于穩(wěn)態(tài)，它們達(dá)到穩(wěn)態(tài)的時間受橫向和縱向的弛豫強度、鎖相環(huán)輸出相位以及橫向激勵磁場強度的影響，且弛豫越強，達(dá)到穩(wěn)態(tài)越快。

由上述包含轉(zhuǎn)動信息的Xe原子核磁矩產(chǎn)生的磁場信號可被NMRG中的內(nèi)嵌Rb原子磁力儀探測，實現(xiàn)磁力儀功能的Rb原子電子自旋磁矩滿足如下動力學(xué)方程

式（8）中，S＝［SxSySz］T為 Rb 原子自旋磁矩，S0為光泵浦與弛豫作用下Rb原子的穩(wěn)態(tài)自旋磁矩，ΓA1和ΓA2分別為Rb原子的縱向與橫向馳豫強度，γRb為Rb原子的旋磁比，Bx、By、Bz分別為系統(tǒng)感受到的x、y、z三個方向的磁場分量。在NMRG內(nèi)嵌磁力儀中，Bz＝B0＋Bccosωct，Bx與By為探測到的Xe原子橫向核磁矩產(chǎn)生的磁場。與Xe原子磁矩處理方法類似，令S＋＝Sx＋iSy， 可得

Jn為n階第一類Bessel函數(shù)，化簡后可得

實驗時，通常只對Sx的特定模式進行測量，將正負(fù)頻合并后有

進一步，由Faraday旋光效應(yīng)，沿x方向線偏振探測光的偏振面轉(zhuǎn)動角度θ與Rb原子沿x方向的磁矩Sx，n，p≥0成比例［18］

式（14）中，nAσ0為氣室光學(xué)深度的倒數(shù)，L為氣室特征長度，W為光躍遷線寬，Δ為共振偏移，P∞對應(yīng)探測光的圓偏振二色性。實際測量時，是將通過氣室后的線偏振探測光再通過一個偏振分光棱鏡（PBS），利用通過棱鏡后的光強來測量探測光偏振面的改變

式（15）中，I1、I2為PBS后光電探測器探測到的兩束光強，I0為通過氣室后的探測光光強，θ0為探測光的初始偏振面夾角。測量時為抑制共模噪聲，采用平衡探測的方法。調(diào)節(jié)探測光路，使θ0＝45°， 于是有

若進一步取共振條件ωc≈γRbB0， 式（16）與cosωct解調(diào)后，可得最終測得的光強信號

再代入式（5）的穩(wěn)態(tài)結(jié)果后，可得NMRG的最終輸出理論模型

由式（19）可知，陀螺最終輸出信號與探測光強、氣室大小、探測光頻率、Rb與Xe的弛豫強度、極化強度、磁場大小頻率以及鎖相環(huán)相位等諸多因素有關(guān)，這些參數(shù)的任何非理想波動都會對陀螺信號造成影響。另外，需要注意的是，式（19）沒有考慮實際鎖相環(huán)的延遲，且對Xe原子磁矩采用了穩(wěn)態(tài)近似。

2 仿真模型

根據(jù)上節(jié)理論分析，可以建立NMRG仿真模型，其程序流程如圖2所示。

首先，為了進一步在仿真模型中考慮Xe原子核磁矩與鎖相環(huán)的實時特性，需要對決定Xe原子核磁矩運動的Bloch方程進行時間離散化。考慮任意離散化后的時間微元，可以認(rèn)為微元內(nèi)除了核磁矩外其它物理量保持不變，于是有Bloch方程

求高階導(dǎo)數(shù)分離變量后可得

圖2 NMRG仿真模型程序流程圖Fig.2 Program flowchart of NMRG simulation model

常數(shù) {c1，c2，…，c9}由初值條件決定。不失一般性，進一步假設(shè)時間微元內(nèi)的初值條件K0＝［Kx0Ky0Kz0］T， 由式（20）可得

將式（23）的微分方程通解簡記為K＝H＋c1ex1t＋c2ex2t＋c3ex3t， 其滿足初值方程

代入初值K0＝［Kx0Ky0Kz0］T及式（25）、式（26）后，即可得到一個時間微元內(nèi)Xe原子核磁矩的運動情況。

對于現(xiàn)實中一段時間內(nèi)實時改變的物理量，可以先將其對時間微分，利用以上諸式考慮單個微元內(nèi)的核磁矩運動，再將運動后的磁矩作為下一微元核磁矩運動的初值條件，進而得到任意時變物理量下的核磁矩運動情況。

然后，由式（17）可知，Xe核磁矩產(chǎn)生的磁場可被Rb磁力儀探測，并最終轉(zhuǎn)換為光檢信號輸入到信號處理系統(tǒng)。這里，仿真模型處理Rb磁力儀信號沒有采用時間離散化的方法，而是直接采用了式（17）的解析結(jié)果。這是因為Rb原子弛豫時間比Xe原子弛豫時間短得多，在Xe原子核磁共振特征時間范圍內(nèi)可以認(rèn)為Rb原子磁矩能夠?qū)崟r達(dá)到平衡狀態(tài)。

最后，類似式（19）的光檢信號通過鎖相環(huán)測得Xe核磁矩進動相位后，再通過橫向激勵場Ωx＝γXeB1cos（φ-β）反饋給Xe原子核磁矩的動力學(xué)系統(tǒng)。仿真時采用一個典型的二階鎖相環(huán)，其原理如圖3所示。

圖3 二階鎖相環(huán)原理Fig.3 Principle of second-order PLL

與前面理論分析不同的是：前面認(rèn)為鎖相環(huán)響應(yīng)沒有時延，能夠及時得到核磁矩相位；而這里仿真用到的實際鎖相環(huán)對相位的跟蹤具有有限的跟蹤速度。在仿真模型中，設(shè)置鎖相環(huán)參數(shù)K1、K2， 如表1所示。由圖4可知，此時鎖相環(huán)能在1s內(nèi)跟蹤1Hz的頻率突變，鎖相環(huán)性能能夠基本滿足陀螺需求。為了更貼近實驗，這里及后文的仿真都采用Labview程序進行。

表1 陀螺仿真參數(shù)Table 1 Simulation parameters of gyroscope

圖4 鎖相環(huán)對1Hz階躍信號的響應(yīng)Fig.4 PLL response to 1 Hz step signal

利用如圖2所示的仿真模型，按表1設(shè)置仿真參數(shù)，對未出現(xiàn)的參數(shù)進行歸一化處理，并令時間微元長度為1ms，即程序運行的采樣率為1kHz，可得陀螺輸出信號頻譜分析結(jié)果，如圖5所示。

由圖5可知，陀螺輸出信號頻率在118.6Hz左右，信號幅度約為0.01V。同時，由于計算誤差，陀螺信號中存在較小的噪聲基底。根據(jù)陀螺信號，可以計算得到此時陀螺基于Allan方差的角隨機游走、零偏不穩(wěn)定性基本性能指標(biāo)，具體如表2所示。

表2 各種來源噪聲對陀螺性能的影響Table 2 Effects of noise from different sources

3 噪聲分析

NMRG實際工作時主要受到磁場、激光、溫度以及信號處理系統(tǒng)時鐘頻率的影響，故下面利用仿真模型分別考慮磁場B0、 探測光強、溫度以及由時鐘頻率引起的鎖相環(huán)相位噪聲對陀螺信號及性能指標(biāo)的影響。為了便于比較，且考慮到一般儀器精度，下面將各種來源的噪聲都統(tǒng)一為初始設(shè)定值為1×10-5的均方根幅度、0Hz～500Hz帶寬的均勻白噪聲。

3.1 磁場B0噪聲

對于磁場B0噪聲，可能來自于產(chǎn)生磁場的線圈電流波動，也可能來自于外磁場波動。由表1可知，B0＝10μT。 因此，1×10-5的噪聲幅度對應(yīng)磁場為0.0001μT，其噪聲譜如圖6所示。

圖6 磁場B0噪聲譜Fig.6 FFT spectrum of B0noise

此噪聲通過仿真模型后產(chǎn)生的信號噪聲譜如圖7所示。

圖7 磁場B0噪聲下的陀螺信號譜Fig.7 FFT spectrum of gyroscope signal with B0noise

由圖7可知，磁場的均勻白噪聲對陀螺信號118.6Hz附近影響更大，這可能來自于鎖相環(huán)鑒相（PD）濾波器的影響。此外，陀螺噪聲對低頻的影響略大于高頻，且對信號幅度本身沒有顯著影響。如此噪聲對陀螺指標(biāo)的影響如表2所示，可以看出，其對角隨機游走、零偏不穩(wěn)定性都有嚴(yán)重影響。

3.2 探測光強噪聲

為了簡便，這里只考慮了探測光強噪聲的影響。由于探測光強已采用歸一化參數(shù)，其具體噪聲譜如圖8所示。

此噪聲通過仿真模型后產(chǎn)生的信號噪聲譜如圖9所示。

圖8 探測光強噪聲譜Fig.8 FFT spectrum of detection intensity

圖9 探測光強噪聲下的陀螺信號譜Fig.9 FFT spectrum of gyroscope signal with detection intensity noise

由圖9可知，探測光強的均勻白噪聲對陀螺信號各頻段的影響相同，且對118.6Hz信號幅度本身沒有顯著影響。如此噪聲對陀螺指標(biāo)的影響如表2所示，其對角隨機游走、零偏不穩(wěn)定性的影響都比磁場B0噪聲小了3個量級左右。

3.3 溫度噪聲

溫度噪聲主要通過Rb原子密度對陀螺信號造成影響，Rb原子密度的改變會影響Rb原子的極化率、極化磁場、弛豫時間以及Xe原子的極化率、弛豫時間等多種因素。這里溫度的影響主要考慮式（2）中Rb原子極化磁場bKSS的影響，具體參數(shù)可參考文獻(xiàn)［19］。其余極化率、弛豫時間等的影響，這里只取了簡單的比例關(guān)系。一般Rb-Xe的NMRG運行時，溫度需要保持在100℃左右，1×10-5的溫度波動相當(dāng)于1mK的溫度波動，其噪聲譜如圖10所示。

圖10 溫度噪聲譜Fig.10 FFT spectrum of temperature noise

此噪聲通過仿真模型后產(chǎn)生的信號噪聲譜如圖11所示。

圖11 溫度噪聲下的陀螺信號譜Fig.11 FFT spectrum of gyroscope signal with temperature noise

由圖11可知，溫度的均勻白噪聲對陀螺信號各頻段的影響相同，且對118.6Hz信號幅度本身沒有顯著影響。如此噪聲對陀螺指標(biāo)的影響如表2所示，其對角隨機游走、零偏不穩(wěn)定性的影響介于磁場B0噪聲與探測光強噪聲之間。

需要注意的是，真實系統(tǒng)中溫度的擴散傳播都需要一定的時間，而不是這里仿真模型中簡單的參數(shù)改變，故真實系統(tǒng)對溫度噪聲的響應(yīng)應(yīng)該具有一定的低通特性。要更加準(zhǔn)確的考慮溫度的影響，需要通過有限元方法考慮溫度的空間分布與傳遞，這已超出了本文所建立模型的范圍。

3.4 鎖相環(huán)相位噪聲

真實陀螺信號處理系統(tǒng)的時鐘頻率也可能會有波動，這里將時鐘頻率的波動簡化為式（25）中鎖相環(huán)反饋相位β的波動。時鐘每秒1×10-5的波動對于頻率118.6Hz左右的信號可以等效為0.427°的相位波動，此時的相位噪聲譜如圖12所示。

圖12 鎖相環(huán)相位噪聲譜Fig.12 FFT spectrum of PLL phase noise

此噪聲通過仿真模型后產(chǎn)生的信號噪聲譜如圖13所示。

由圖13可知，鎖相環(huán)相位的均勻白噪聲對陀螺信號118.6Hz附近影響更大，且以此頻率為界，噪聲對低頻的影響略低于高頻。此外，鎖相環(huán)相位噪聲也使陀螺信號幅度有明顯下降。如此噪聲對陀螺指標(biāo)的影響如表2所示，與其它來源噪聲相比，其對角隨機游走、零偏不穩(wěn)定性的影響最為嚴(yán)重。

圖13 鎖相環(huán)相位噪聲下的陀螺信號譜Fig.13 FFT spectrum of gyroscope signal with PLL phase noise

4 結(jié)論

本文首先在現(xiàn)有理論基礎(chǔ)上，比較全面地考慮了NMRG中理想鎖相環(huán)作用下的Xe原子敏感角速度的動力學(xué)方程、Rb原子磁力儀動力學(xué)方程以及基于Faraday旋光效應(yīng)的平衡探測等內(nèi)容，并構(gòu)建出比較完備的陀螺信號理論模型。然后，在此理論模型基礎(chǔ)上，結(jié)合時間離散化與解析求解等方法，在非旋波近似條件下建立起能夠充分考慮NMRG動態(tài)特性的仿真模型。最后，利用該仿真模型重點研究分析了鎖相環(huán)相位、磁場B0、溫度以及探測光強在1×10-5幅度下均勻白噪聲對陀螺信號的影響，發(fā)現(xiàn)它們對角隨機游走、零偏不穩(wěn)定性影響依次減小，且都具有自身獨特的頻率響應(yīng)特性。在實際應(yīng)用中，可以根據(jù)這些特性尋找主要噪聲來源。

需要注意的是，本文的溫度影響沒有考慮實際溫度傳遞擴散時間?？稍谶M一步研究中將模型拓展為有限元模型，從而可以更加準(zhǔn)確地研究溫度以及其它物理場對陀螺信號的影響。此外，本文也未考慮雙同位素的影響，但雙同位素影響可在本文基礎(chǔ)上簡單拓展實現(xiàn)。實際上，雙同位素可以有效抑制時鐘頻率波動或鎖相環(huán)相位波動對陀螺信號的影響。