新型猶豫不確定Z-Numbers熵及其多準(zhǔn)則群決策分析

鄒 斌

(安徽廣播電視大學(xué) 文法與教育學(xué)院，安徽 合肥 230022)

為處理模糊信息，Zadeh[1]提出了模糊集理論。在考慮決策問(wèn)題[2]、模式識(shí)別[3]以及模糊推理時(shí)[4]，模糊集都是非常有用的工具。然而單憑模糊集中的隸屬度無(wú)法精確的描述信息。在解決非隸屬度的不確定性問(wèn)題上，Atanassov[5]介紹了直覺(jué)模糊集，并應(yīng)用到多準(zhǔn)則決策問(wèn)題中[6]。猶豫模糊集作為傳統(tǒng)模糊集的拓展，這個(gè)概念首次被Torra和Narukawa提出[7]。允許元素的隸屬度是幾個(gè)可能值的集合，但這些經(jīng)典模糊集提出的決策信息的可靠性存在一定的局限性[8]。因此，Zadeh提出了一種新的模糊集理論Z-Numbers。Z-Numbers是一個(gè)有序的模糊數(shù)對(duì)，Z=(A,B)是由兩個(gè)簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu)組成，即約束A和可靠性B。

考慮到Z-Numbers的廣泛適用性及語(yǔ)言模型的有效性，本文討論Z-Numbers的一個(gè)特殊分支猶豫不確定語(yǔ)言型Z-Numbers。使用一個(gè)區(qū)間語(yǔ)言值來(lái)描述模糊限制比使用單一的語(yǔ)言值更加合適，因?yàn)樵诂F(xiàn)實(shí)中由決策者提供的語(yǔ)言限制也就是Z-Numbers的第一部分，決策者通常會(huì)在幾種可能的語(yǔ)言值之間波動(dòng)。

因而一些連續(xù)或離散的語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)可用來(lái)描述這種猶豫性，HULZNs有效地展現(xiàn)這種不完全信息，更充分地表示決策信息。在找到能夠完整有效的表示語(yǔ)言信息的模糊數(shù)對(duì)還無(wú)法據(jù)此作出最終的決策，本文給出了一種新的語(yǔ)言尺度函數(shù)用于度量HULZNs。

文獻(xiàn)[9]把交叉熵應(yīng)用于區(qū)間二型模糊集上，為改進(jìn)距離相似度公式的缺陷提出了對(duì)稱交叉熵。本文針對(duì)猶豫不確定語(yǔ)言型Z-Numbers，提出猶豫不確定語(yǔ)言型Z-Numbers的熵。在處理多準(zhǔn)則群決策問(wèn)題[10]時(shí)，首先，從文獻(xiàn)[11]關(guān)于Z-Number的公理化定義出發(fā)，構(gòu)造一種語(yǔ)言尺度函數(shù)；其次，在語(yǔ)言尺度函數(shù)基礎(chǔ)上，構(gòu)造猶豫不確定語(yǔ)言型Z-Numbers的熵，建立決策者權(quán)重與準(zhǔn)則權(quán)重的模型，通過(guò)排序公式得出最優(yōu)方案；最后，通過(guò)一個(gè)算例與文獻(xiàn)[12]作比較，說(shuō)明該決策步驟的有效性和可行性。

1 基本概念

這部分內(nèi)容主要介紹語(yǔ)言型集合，不確定語(yǔ)言變量，語(yǔ)言尺度函數(shù)及其性質(zhì)，猶豫不確定語(yǔ)言型Z-Numbers的概念及運(yùn)算。

1.1 語(yǔ)言型集合[12]

1.2 不確定語(yǔ)言變量[12]

1.3 語(yǔ)言尺度函數(shù)

本節(jié)將介紹兩種量化語(yǔ)言的尺度函數(shù)。尺度函數(shù)能夠直觀有效地將語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為確定的數(shù)值，是運(yùn)用模型作出決策的基礎(chǔ)。

例：令

注：為合理精確地表示HULZNs,本文中LSF1是集合Az(x)的尺度函數(shù)，LSF2是集合Bz(x)的尺度函數(shù)。

語(yǔ)言尺度函數(shù)LSF1、LSF2滿足以下3個(gè)性質(zhì)：

1.4 猶豫不確定語(yǔ)言型Z-Numbers

1.4.1 定義[12]Z-Number 是有序的模糊數(shù)對(duì)，記為。其中是對(duì)不確定變量X的限制，是對(duì)的可靠性的度量。

1.4.2 定義[12]設(shè)X是一個(gè)論域，

1.4.3 定義[12]設(shè)任意兩個(gè)

1)加法算子

2)數(shù)乘算子

3)冪算子

4)否定算子

2 猶豫不確定語(yǔ)言型Z-numbers (HULZNs)的交叉熵與熵

在HULZN的模糊環(huán)境中度量?jī)蓚€(gè)模糊數(shù)之間的關(guān)系在實(shí)際應(yīng)用中具有十分重要的作用。本文提出的HULZNs的相對(duì)交叉熵及熵，主要從其模糊性、猶豫性來(lái)度量?jī)蓚€(gè)HULZNs之間的不確定信息，并用于求權(quán)重以及相關(guān)的決策排序。

2.1 HULZNs的交叉熵

2.1.2 定義設(shè)任意兩個(gè)猶豫不確定Z-numberzi，zi。相對(duì)于zj的相對(duì)交叉熵公式定義如下：

在討論具體問(wèn)題時(shí)，相對(duì)交叉熵公式不具備對(duì)稱性。因此，定義相應(yīng)完整的交叉熵公式。

2.1.3 定義設(shè)任意兩個(gè)猶豫不確定Z-numberzi，zi；與zj的交叉熵公式定義如下：

2.2 HULZNs的熵

1)E(zi)=0當(dāng)且僅當(dāng)，zi是一個(gè)確定集，其中=0；

2)對(duì)任意的HULZNzi，；

證明：如果zi是一個(gè)確定集，即zi=z*，=1，=0得證畢。

3 猶豫不確定語(yǔ)言型Z-numbers的多準(zhǔn)則群決策方法

本節(jié)主要構(gòu)造用于確定決策者權(quán)重和準(zhǔn)則權(quán)重的優(yōu)化模型，通過(guò)猶豫不確定語(yǔ)言型Z-numbers的交叉熵和熵來(lái)創(chuàng)建一種新型的多準(zhǔn)則群決策方法。

猶豫不確定語(yǔ)言型Z-numbers的多準(zhǔn)則群決策問(wèn)題是由一組可供選擇的方案構(gòu)成。準(zhǔn)則的權(quán)重滿足；

3.1 構(gòu)建最優(yōu)模型確定權(quán)重

決策者權(quán)重和準(zhǔn)則權(quán)重是未知待定或是部分未知的。由此，構(gòu)建兩個(gè)基于HULZNs熵度量的最優(yōu)模型，用于計(jì)算決策者權(quán)重和準(zhǔn)則權(quán)重。依據(jù)不同個(gè)體決策矩陣間的距離來(lái)計(jì)算決策者權(quán)重，決策個(gè)體權(quán)重越大表明其在決策過(guò)程中越重要。具體模型如下：

下面給出確定準(zhǔn)則權(quán)重的最優(yōu)模型：

3.2 決策步驟

其中z*是一個(gè)確定集。

步驟5 計(jì)算各方案的擬合度得分并排序，得分最高即為最優(yōu)方案

4 實(shí)例分析

某企業(yè)計(jì)劃購(gòu)進(jìn)一種綜合性能最優(yōu)的企業(yè)資源規(guī)劃系統(tǒng)，其選擇標(biāo)準(zhǔn)分為四類：系統(tǒng)功能(c1)，供應(yīng)商能力和信譽(yù)(c2)，系統(tǒng)合適度(c3)，系統(tǒng)靈活性(c4)。經(jīng)3個(gè)專家的初步篩選，現(xiàn)有4個(gè)可供選擇的企業(yè)資源規(guī)劃系統(tǒng)。在激烈討論后，給出關(guān)于決策者和標(biāo)準(zhǔn)的部分權(quán)重信息：

HULZNs的評(píng)估值見(jiàn)表1、2和3。

步驟2 根據(jù)公式(5)得到交叉熵矩陣：

表1 專家d1的性化推薦矩陣

表2 專家d2的性化推薦矩陣

表3 專家d3的性化推薦矩陣

步驟3 根據(jù)上文給出的最優(yōu)化模型，得到?jīng)Q策者權(quán)重與標(biāo)準(zhǔn)權(quán)重分別是 ，

步驟4 結(jié)合求得的決策者權(quán)重和公式(6)，綜合熵決策矩陣表示為：

5 結(jié)論

本文給出了新的語(yǔ)言尺度函數(shù)及猶豫模糊不確定語(yǔ)言型Z-Numbers的熵，并提出基于語(yǔ)言尺度函數(shù)的距離公式，其簡(jiǎn)練且具有高分辨度，一定程度上解決了計(jì)算的復(fù)雜性和誤差。 在最終的排序結(jié)果，本文得出的最優(yōu)方案同文獻(xiàn)[12]相同，但其他方案的排序略有不同。說(shuō)明了本文決策步驟的可行性與有效性。