好雨知時(shí)節(jié)，當(dāng)春乃發(fā)生

邱亮

《小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出：數(shù)學(xué)課程內(nèi)容要反映社會(huì)的需要、數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。它不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果，也包括數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過(guò)程和蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法。

作為一名數(shù)學(xué)教師，我們都很重視讓學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，但是數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的精髓，是對(duì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，所以它是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵?！墩n標(biāo)》關(guān)于教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計(jì)方面提出：“教材可以編入一些拓寬知識(shí)的選學(xué)內(nèi)容，但增加的內(nèi)容應(yīng)注意數(shù)學(xué)思想方法，注重學(xué)生的發(fā)展，有利于學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的本質(zhì)與作用，增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣?！逼涑浞煮w現(xiàn)了數(shù)學(xué)教育研究工作者在數(shù)學(xué)課程發(fā)展中重視數(shù)學(xué)思想方法的共識(shí)。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要使學(xué)生掌握必要的基礎(chǔ)知識(shí)，更重要的是教給學(xué)生一種思想。也就是說(shuō)，數(shù)學(xué)教育的真諦在于構(gòu)建靈動(dòng)的思想，由“法”而破“題”，從而培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)。數(shù)學(xué)思想方法如此關(guān)鍵，那它該怎樣和學(xué)生的發(fā)展聯(lián)系起來(lái)呢？

1 增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)

數(shù)學(xué)思想是指人們對(duì)數(shù)學(xué)理論和內(nèi)容的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的具體化形式，實(shí)際上兩者的本質(zhì)是相同的，差別只是站在不同的角度看問(wèn)題。通?；旆Q為“數(shù)學(xué)思想方法”。數(shù)學(xué)思想方法是具有層次性的，較高層次的基本思想有三個(gè)：抽象思想、推理思想、模型思想。

1.1 抽象思想方法的認(rèn)識(shí)

例如符號(hào)化思想方法：數(shù)學(xué)符號(hào)是數(shù)學(xué)的語(yǔ)言，數(shù)學(xué)世界是一個(gè)符號(hào)化的世界，數(shù)學(xué)作為人們進(jìn)行表示、計(jì)算、推理和解決問(wèn)題的工具，符號(hào)起到了非常重要的作用。

如數(shù)字1，它可以表示現(xiàn)實(shí)生活中任何數(shù)量是一個(gè)的物體的個(gè)數(shù)，是一種高度的抽象概括，具有一定的抽象性。但是學(xué)生對(duì)物體數(shù)量的多少比較具有直觀性，而且從小對(duì)數(shù)字1認(rèn)識(shí)比較深刻。

使用符號(hào)可以進(jìn)行運(yùn)算和推理，如學(xué)生知道正方形的邊長(zhǎng)乘4等于它的周長(zhǎng)，邊長(zhǎng)乘邊長(zhǎng)等于它的面積;更進(jìn)一步，如果假設(shè)任何一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是a，那么4a就等于該正方形的周長(zhǎng)，a?就等于該正方形的面積。

《課標(biāo)》把符號(hào)意識(shí)作為課程內(nèi)容的十大核心概念之一，也可以看出符號(hào)意識(shí)的重要性。

1.2 推理思想方法的認(rèn)識(shí)

推理是從一個(gè)或幾個(gè)已有的命題得出另一個(gè)新命題的思維形式。推理分為兩種形式：演繹推理和合情推理。

我國(guó)數(shù)學(xué)教育幾十年來(lái)的主要優(yōu)勢(shì)或者說(shuō)成果就是重視培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力、推理能力和空間想象能力。在解決問(wèn)題的過(guò)程中，合情推理有助于探索解決問(wèn)題的思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論;演繹推理用于證明結(jié)論的正確性。由此可見(jiàn)推理在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要性。

例如歸納推理方法：歸納法在小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中應(yīng)用比較廣泛。小學(xué)數(shù)學(xué)中很多運(yùn)算法則、公式、定律等的推導(dǎo)，都是在列舉幾個(gè)特殊例子的基礎(chǔ)上得出的。

如整數(shù)的加減乘除的筆算，都是通過(guò)幾個(gè)有限的由易到難的例子，讓學(xué)生在理解算理和口算方法的基礎(chǔ)上探索計(jì)算的方法，最后進(jìn)行交流和算法的總結(jié)，這種法則的得出就是運(yùn)用了歸納法。如多位數(shù)乘一位數(shù)的法則的歸納總結(jié)，學(xué)生在已經(jīng)掌握乘法口訣、口算乘法、筆算加法的基礎(chǔ)上，通過(guò)利用豎式計(jì)算12×3、16×3、24×9等來(lái)探索、交流、歸納計(jì)算法則。

如商不變的性質(zhì)、小數(shù)的性質(zhì)、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)等，這些在小數(shù)數(shù)學(xué)中重要的性質(zhì)，它們的獲得都是先通過(guò)幾個(gè)例子，讓學(xué)生進(jìn)行探索、交流，最后歸納總結(jié)而得到的。如下圖：讓學(xué)生計(jì)算并觀察一組算式，探索并歸納規(guī)律。

以及小學(xué)生最早學(xué)習(xí)的運(yùn)算定律是關(guān)于整數(shù)加法和乘法的運(yùn)算定律，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)計(jì)算幾組算式來(lái)猜想并歸納規(guī)律。如根據(jù)40+56=56+40，28+37=37+28，120+80=80+120等幾個(gè)有限的例子，得出加法交換律。

1.3 模型思想方法的認(rèn)識(shí)

數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言概括地或近似地描述現(xiàn)實(shí)世界事物的特征、數(shù)量關(guān)系和空間形式的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。應(yīng)用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)分析數(shù)量關(guān)系和空間形式，經(jīng)過(guò)抽象建立模型，進(jìn)而解決各種問(wèn)題。

以植樹(shù)問(wèn)題為例，可以封閉圓圈植樹(shù)問(wèn)題為核心模型，再演變出其他模型。封閉圓圈植樹(shù)中的點(diǎn)與間隔一一對(duì)應(yīng)，長(zhǎng)度÷間隔=棵數(shù)。再根據(jù)實(shí)際情況演變出其他模型。如圖：

（1）一端栽一端不栽與封閉圓圈植樹(shù)模型相同：長(zhǎng)度÷間隔=棵數(shù)。

（2）兩端都栽：長(zhǎng)度÷間隔+1=棵數(shù)。

（3）兩端都不栽：長(zhǎng)度÷間隔-1=棵數(shù)。

2 在知識(shí)形成過(guò)程中體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法

我們現(xiàn)在大部分的教師在教學(xué)過(guò)程中有這樣一個(gè)現(xiàn)象，就是精講多練，急于把概念、公式、法則、定理等知識(shí)傳授給學(xué)生，然后按照考試的要求進(jìn)行技能訓(xùn)練，即輕視知識(shí)的形成過(guò)程，重視技能的訓(xùn)練。這種教學(xué)模式表面上對(duì)應(yīng)試有效果，實(shí)際上既浪費(fèi)時(shí)間、又沒(méi)有真正培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、思想方法和學(xué)習(xí)興趣，導(dǎo)致很多學(xué)生害怕數(shù)學(xué)。正是因?yàn)檫@種現(xiàn)象的極端化，《課標(biāo)》已經(jīng)針對(duì)這種現(xiàn)象提出了重視讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程的過(guò)程目標(biāo)。

如分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)是學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的重要基礎(chǔ)，教材為讓學(xué)生經(jīng)歷分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)過(guò)程作了很多鋪墊，如主題圖展示了許多同學(xué)在一起分享食物，例1通過(guò)把月餅分一半，即平均分，引出?，再把月餅平均分成4份，每份就是它的?，以及圖形中也有分?jǐn)?shù)，還可以讓學(xué)生通過(guò)折一折，畫(huà)一畫(huà)等多種方式去體驗(yàn)和感受分?jǐn)?shù)，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的直觀認(rèn)識(shí)，最后例3通過(guò)實(shí)際物體，來(lái)比較幾分之一的大小。整個(gè)教學(xué)過(guò)程非常豐富，有實(shí)物展示，觀察，操作，動(dòng)手，比較等多種方式，讓學(xué)生在已有的生活經(jīng)驗(yàn)和積累的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，初步的認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)。

3 加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用

課堂教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法，可以提高學(xué)生獨(dú)立獲取知識(shí)的能力。鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)去分析、解決有實(shí)際意義的和相關(guān)學(xué)科的數(shù)學(xué)問(wèn)題，以及解決生產(chǎn)和日常生活中的實(shí)際問(wèn)題，可以使學(xué)生在把實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，進(jìn)一步領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，促進(jìn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高。

例如四年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)廣角中的《雞兔同籠》問(wèn)題：“籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)有35只頭，從下面數(shù)有94只腳。雞和兔各有幾只？”題目出示之后，教師可以先讓學(xué)生進(jìn)行猜測(cè)，發(fā)現(xiàn)答案比較難猜對(duì)，接著提醒學(xué)生可以先從簡(jiǎn)單問(wèn)題入手，化繁為簡(jiǎn)，從中找尋規(guī)律，再來(lái)解決難一點(diǎn)的題目。教師將數(shù)字變小為8只頭，26只腳。引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)“用學(xué)具擺一擺、在紙上畫(huà)一畫(huà)、在表格中填一填”，在獨(dú)立實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的方法。在這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師充分尊重學(xué)生的個(gè)性特點(diǎn)，在課堂上呈現(xiàn)出解決同一問(wèn)題的多種策略。然而不同的方法蘊(yùn)含著同一數(shù)學(xué)思想方法，在學(xué)生經(jīng)歷了自主探究和集中展示后，教師啟發(fā)學(xué)生思考，“比一比，不同的方法有什么相同點(diǎn)？”學(xué)生通過(guò)對(duì)思維過(guò)程進(jìn)行回顧后發(fā)現(xiàn)，無(wú)論是擺學(xué)具、畫(huà)圖還是填表格都是先假設(shè)這8只都是雞，按照每只兩條腿計(jì)算，2×8=16（條）再看剩下多少條腿？26-16=10（條）因?yàn)槊恐煌米颖入u多兩條腿，所以，把剩下的10條，每個(gè)頭下再添兩條，10÷2=5（只）這樣看出兔子有5只，雞有3只。也可以先假設(shè)這8只都是兔子，4×8=32（條），32-26=6（條）這樣多出了6條腿，因?yàn)槊恐浑u比兔子少兩條腿，6÷2=3（只）這樣看出雞有3只，兔子有5只。不同的思路和方法都體現(xiàn)出了同一種數(shù)學(xué)思想，即假設(shè)。

在上面的教學(xué)活動(dòng)中，通過(guò)讓學(xué)生自主的探究，學(xué)生體驗(yàn)到了解決問(wèn)題的多種策略;在對(duì)不同解題策略的比較中，學(xué)生又體會(huì)到了假設(shè)的數(shù)學(xué)思想對(duì)于解答“雞兔同籠”這類問(wèn)題的獨(dú)特優(yōu)勢(shì)。既激發(fā)了學(xué)生思維的靈活性，又有效的滲透了假設(shè)這一思想方法。

4 堅(jiān)持對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練

數(shù)學(xué)思想方法猶如一把開(kāi)啟學(xué)生思維的金鑰匙，它不僅可以使學(xué)生獲得知識(shí)，還有利于學(xué)生提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)。教學(xué)中要適時(shí)恰當(dāng)?shù)貙?duì)數(shù)學(xué)方法給予提煉和概括，讓學(xué)生有明確的印象。如在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的過(guò)程，可以在本節(jié)課、本知識(shí)塊、或本單元的小結(jié)、復(fù)習(xí)中滲透數(shù)學(xué)思想方法，有意識(shí)地畫(huà)龍點(diǎn)睛，適度點(diǎn)撥，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行概括和強(qiáng)化;對(duì)它的名稱、內(nèi)容、規(guī)律、運(yùn)用等有意識(shí)地進(jìn)行形象、適當(dāng)?shù)闹v解，以使學(xué)生從數(shù)學(xué)思想方法的高度把握知識(shí)的本質(zhì)和內(nèi)在的規(guī)律，使學(xué)生逐步體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法的優(yōu)越性，并在學(xué)習(xí)和生活中自覺(jué)地運(yùn)用。在循序漸進(jìn)的學(xué)習(xí)過(guò)程中體會(huì)到掌握數(shù)學(xué)思想方法的優(yōu)勢(shì)，思維能力不斷獲得提升。

正如杜甫的詩(shī)句“好雨知時(shí)節(jié)，當(dāng)春乃發(fā)生。隨風(fēng)潛入夜，潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲……”所表達(dá)的心境一樣，數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)也應(yīng)該像春雨一樣，不斷地滋潤(rùn)學(xué)生的心田。讓學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的思想方法的不斷積累，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的真正提高，為以后的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。

（作者單位：廣東省東莞市塘廈鎮(zhèn)中心小學(xué)）