平面向量數(shù)量積課堂教學(xué)的反思與重構(gòu)

程仕然

[摘 ?要] 文章對向量數(shù)量積課堂教學(xué)中內(nèi)容銜接問題、物理背景引入問題和如何發(fā)展學(xué)生抽象素養(yǎng)問題進(jìn)行反思. 在反思的基礎(chǔ)上，重塑概念產(chǎn)生的過程，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，“落實(shí)四基，發(fā)展四能”來進(jìn)行課堂重構(gòu)，并對課堂教學(xué)進(jìn)行實(shí)錄.

[關(guān)鍵詞] 課堂教學(xué);反思;重構(gòu);向量數(shù)量積

問題研究緣起

我校特級教師蔣智東老師曾上過一節(jié)“平面向量數(shù)量積”的公開課，并寫了篇實(shí)錄及反思文章[1]（下稱文1），至今仍被同行所津津樂道. 今年筆者在上這節(jié)課前，向蔣老師進(jìn)行了請教和交流.蔣老師認(rèn)為，新的課程標(biāo)準(zhǔn)更關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展，更重視學(xué)生學(xué)習(xí)的過程. 所以，上過的那節(jié)課還有很多地方需要反思改進(jìn)，建議重塑概念產(chǎn)生的過程，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，本著“落實(shí)四基，發(fā)展四能”來進(jìn)行重構(gòu).

關(guān)于本節(jié)教學(xué)內(nèi)容的若干反思

針對本節(jié)內(nèi)容，筆者再次認(rèn)真學(xué)習(xí)了教材，學(xué)習(xí)了課程標(biāo)準(zhǔn).結(jié)合蔣老師的文1，重點(diǎn)對向量知識板塊的內(nèi)部銜接及數(shù)學(xué)文化滲透、物理背景引入、如何培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)等方面進(jìn)行了反思和研究.

1. 關(guān)于向量知識板塊的內(nèi)部銜接及數(shù)學(xué)文化滲透的思考

文1的“情景創(chuàng)設(shè)”部分：

問題1：物理學(xué)中，向量的運(yùn)算比較多，比如求位移、速度、合力的大小等，用到了向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算，那么，物理中還有沒有其他的向量運(yùn)算呢？

設(shè)計意圖：本課通過物理學(xué)中的求功運(yùn)算來創(chuàng)設(shè)教學(xué)情景，使學(xué)生自然提出問題：求功運(yùn)算與數(shù)學(xué)知識有怎樣的聯(lián)系？

蔣老師緊扣課程標(biāo)準(zhǔn)，通過向量豐富的物理背景，從位移、速度、合力的大小等實(shí)際情境入手，理解向量的概念與運(yùn)算法則，快速進(jìn)入主題. 在實(shí)際的課堂教學(xué)中，這種方式是實(shí)用有效的，也是值得學(xué)習(xí)和借鑒的.

2. 關(guān)于教材向量數(shù)量積概念的物理背景引入的思考

在實(shí)際的教學(xué)實(shí)踐中，向量這一部分內(nèi)容往往放在高一下學(xué)期進(jìn)行學(xué)習(xí)，課本上，這節(jié)課是以物理上功的運(yùn)算這一物理模型進(jìn)行引入展開的. 但這個時候?qū)W生物理上對功的學(xué)習(xí)也是剛剛展開，并且物理課本上是這樣介紹功的：用F表示力的大小，用l表示位移的大小，用W表示力F所做的功，……，當(dāng)力F的方向與運(yùn)動方向成某一角度（α），……，所以W=Flcosα，這就是說，力對物體所做的功，等于力的大小、位移的大小、力與位移夾角的余弦這三者的乘積[2].

用物理背景引入，存在物理學(xué)科描述和數(shù)學(xué)學(xué)科描述的符號及說法上的不同.如上面所說，物理中，用“F”表示力的大小，用“l(fā)”表示位移的大小，而沒有用F和l表示，這在學(xué)習(xí)之初，多少給學(xué)生帶來困擾.

3. 關(guān)于本節(jié)內(nèi)容在課堂教學(xué)中培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的思考

文1關(guān)于數(shù)學(xué)抽象部分：

問題4從求功的運(yùn)算中，可以抽象出什么樣的數(shù)學(xué)運(yùn)算？

教師指出數(shù)學(xué)抽象的方向：舍棄抽象原型的物理意義，抽取其中的數(shù)量關(guān)系.

平面向量的數(shù)量積

（1）最初的認(rèn)識

學(xué)生討論：把力F和位移S抽象地看成兩個向量a和b，把力F和位移S的夾角θ看作向量a和b的夾角，就可以得到一種新的運(yùn)算，它是從向量a，b得到一個數(shù)量（即abcosθ）的運(yùn)算.

（2）進(jìn)一步表述

引進(jìn)“向量的數(shù)量積”等術(shù)語后，就可以把上面的結(jié)果進(jìn)一步表述為：

已知兩個向量a和b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量abcosθ叫做a和b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作a·b，即a·b=abcosθ.

蔣老師以問題驅(qū)動思考，步步深入，從物理“功”抽象出數(shù)學(xué)平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)概念的自主建構(gòu)，也讓學(xué)生領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)的發(fā)展源于實(shí)踐.這種學(xué)習(xí)方式是建立在從物理到數(shù)學(xué)的“聯(lián)想”基礎(chǔ)上的.

我們知道，數(shù)學(xué)抽象是指通過對數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)研究對象的素養(yǎng). 主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并用數(shù)學(xué)語言予以表征[3].

與前面所學(xué)的向量運(yùn)算結(jié)果不同，向量的數(shù)量積的結(jié)果不再是向量而是數(shù)量，學(xué)生是首次接觸像這樣運(yùn)算結(jié)果與運(yùn)算對象不是同一范圍的運(yùn)算. 如果設(shè)計一個微探究，讓學(xué)生自己在熟悉的數(shù)學(xué)內(nèi)容中抽象出新的數(shù)學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生充分經(jīng)歷和體驗(yàn)“發(fā)現(xiàn)定義”的過程，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)部需求，不是更能激發(fā)學(xué)生的探究興趣和積極性嗎？

向量數(shù)量積課堂教學(xué)重構(gòu)

1. 向量數(shù)量積課堂教學(xué)重構(gòu)的指導(dǎo)思想

（1）重塑概念產(chǎn)生的過程，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，“落實(shí)四基，發(fā)展四能”;

（2）多一點(diǎn)數(shù)學(xué)文化熏陶，多一點(diǎn)數(shù)學(xué)本質(zhì)探索，多一點(diǎn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)培養(yǎng).

2. 重構(gòu)后向量數(shù)量積課堂教學(xué)實(shí)錄

師：同學(xué)們，通過前面的學(xué)習(xí)，我們知道向量兼具“數(shù)”與“形”的雙重形態(tài)，是溝通幾何與代數(shù)的橋梁. 其實(shí)，前面，我們已學(xué)習(xí)了向量的概念及表示、線性運(yùn)算和坐標(biāo)表示，這些內(nèi)容的產(chǎn)生和發(fā)展經(jīng)歷了漫長的時間. 大致可以分為三個階段：向量1.0原始版：古希臘的亞里士多德已經(jīng)知道兩個力的合成，可以用平行四邊形的法則得到，這點(diǎn)向量知識，形成不了多少有意義的問題，只是向量的原始萌芽形態(tài)[4]. 向量2.0社會版：牛頓第一次用有向線段表示向量;平面向量基本定理的出現(xiàn)，使得向量可以用兩個非零向量進(jìn)行分解，形成了一簇向量，相當(dāng)于一個社會. 向量3.0高科技版：當(dāng)時間進(jìn)入十九世紀(jì)時，哈密爾頓引進(jìn)新運(yùn)算，溝通了代數(shù)、幾何與三角函數(shù)，諸多幾何問題都可以用向量方法“一攬子”解決了，向量進(jìn)入了“高科技時代”.

我們將通過下面的學(xué)習(xí)來揭開“高科技版”的面紗.

師：類比實(shí)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，填寫表1，探索向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì).

教后反思及小結(jié)

數(shù)學(xué)的大廈不是一天建成的，數(shù)學(xué)知識的生成是有跡可循的，重塑概念產(chǎn)生的過程，更能讓學(xué)生感受到：數(shù)學(xué)不是高不可攀，與生俱來的，是與人類生活和社會發(fā)展緊密關(guān)聯(lián)的，是承載著思想和文化的.

運(yùn)算是代數(shù)的核心，研究向量的運(yùn)算也是研究向量的一條主線. 我們可以通過對三角形的數(shù)量關(guān)系運(yùn)算問題的微探究，在已有三角知識的基礎(chǔ)上進(jìn)行簡單的不算完備的探究，在探究運(yùn)算中進(jìn)行新概念的數(shù)學(xué)抽象，從而實(shí)現(xiàn)概念的重塑，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的目的. 這個過程中，學(xué)生通過運(yùn)用基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想進(jìn)行探究，探究的過程中獲得基本活動經(jīng)驗(yàn). 培養(yǎng)了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的能力、提出問題的能力、分析問題的能力以及解決問題的能力.

參考文獻(xiàn)：

[1] ?蔣智東. 以問題驅(qū)動思考，實(shí)現(xiàn)概念的自主建構(gòu)——“向量的數(shù)量積”教學(xué)實(shí)錄與反思[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2015（02）.

[2] ?人民教育出版社編著. 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書物理2（必修）[M]. 北京：人民教育出版社，2016.

[3] ?中華人民共和國教育部制定. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[4] ?張奠宙，袁震東. 話說向量[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)，2007（09）.