高超聲速飛行器底層性能評價指標(biāo)的可行性分析

朱鴻緒，劉燕斌，曹瑞，陸宇平，湯佳駿，衣春輪

1. 南京航空航天大學(xué) 自動化學(xué)院，南京 211106 2. 南京航空航天大學(xué) 航天學(xué)院，南京 210016 3. 北京航空航天大學(xué) 虛擬現(xiàn)實技術(shù)與系統(tǒng)國家重點實驗室，北京 100083

高超聲速飛行器的強耦合性、強不確定性、飛行環(huán)境復(fù)雜和強非線性等特點，對控制性能提出了很高的要求[1]。若缺乏有效的控制性能評價，則可能會導(dǎo)致嚴(yán)重的后果，例如美國X-43A驗證機的首次試飛失控是由于不確定性超出控制系統(tǒng)穩(wěn)定性邊界[2]。控制性能評價不但可以輔助控制系統(tǒng)設(shè)計，提高控制性能，進而有效地降低故障發(fā)生率[3]，而且還能在飛行器研制初期彌補實物仿真周期長、成本高的缺陷。因此，面向?qū)嶋H飛行任務(wù)，合理地評價高超聲速飛行器的控制性能具有極為重要的意義。

高超聲速飛行器的控制性能評價包括兩部分：分析飛行任務(wù)對控制性能提出的要求和制定合適的評價方法。目前，對于控制性能要求的研究已取得很大的進展。文獻[4]計算了下一代高超聲速運輸機再入段顫振邊界并分析了穩(wěn)定性，為控制系統(tǒng)的設(shè)計提出了明確的要求。文獻[5]提出了高超聲速飛行器再入段飛行品質(zhì)分析的標(biāo)準(zhǔn)化框架，可用于多種類型高超聲速飛行器多個飛行階段的飛行品質(zhì)分析。文獻[6]研究了輸入飽和及帶寬限制下的閉環(huán)性能邊界問題，對合理的飛行任務(wù)規(guī)劃具有重要的意義。根據(jù)性能要求設(shè)計控制器[7-8]及優(yōu)化飛行器[9]等工作正在同步展開。此外，控制性能評價方法的研究目前也取得一定進展，文獻[10]基于層次化分析的思想，結(jié)合定性分析和定量評估，提出了制導(dǎo)與姿態(tài)控制性能綜合評估驗證系統(tǒng)的框架。文獻[11]在文獻[10]提出的層次分析基礎(chǔ)上，將其和熵值法相結(jié)合進行定量的性能評估，進一步提高評價結(jié)果的可信度。

需要指出的是，目前高超聲速飛行器控制性能評價的研究主要集中于評價方法的建立，對評價方法的有效性驗證缺乏足夠的重視。從現(xiàn)有研究成果可以看出，研究者更關(guān)注評價指標(biāo)體系的建立和底層指標(biāo)權(quán)值的賦予，卻忽略了以下幾個問題：底層指標(biāo)是否能夠完全涵蓋飛行任務(wù)要求？參數(shù)不確定性的攝動是否會造成底層指標(biāo)評價結(jié)果變化過于劇烈？為此，本文提出了檢驗底層指標(biāo)合理性的分析方法，并設(shè)計了適合高超聲速飛行器的分析流程。

為了判斷底層指標(biāo)是否可用于控制性能評價，需要確立底層評價指標(biāo)和任務(wù)要求之間的映射關(guān)系，這是可行性分析的難點之一。底層指標(biāo)應(yīng)該是飛行任務(wù)執(zhí)行之前可以測量或估計的參數(shù)，由于飛行器閉環(huán)模型的復(fù)雜性和不確定性，底層指標(biāo)到任務(wù)要求的映射并不一定能夠解析表示。運用近似解析的方法研究高超聲速飛行器運動特性在巡航段和無動力再入段已經(jīng)取得了一定的進展[12-13]，但若要將其推廣到更為一般的飛行任務(wù)，還有諸多技術(shù)問題需要解決。相比之下，應(yīng)用統(tǒng)計實驗分析的方法揭示映射關(guān)系，不但適合一般飛行任務(wù)，而且操作相對簡單?；A(chǔ)的統(tǒng)計實驗分析是借助仿真實驗獲得包含任務(wù)性能和對應(yīng)底層指標(biāo)的數(shù)據(jù)集，進而利用擬合等數(shù)值方法分析映射關(guān)系。定量刻畫映射規(guī)律是分析的難點所在，需要用到各種數(shù)據(jù)處理方法，機器學(xué)習(xí)是其中的一類代表。機器學(xué)習(xí)在系統(tǒng)科學(xué)中的應(yīng)用主要是基于實驗數(shù)據(jù)學(xué)習(xí)系統(tǒng)的內(nèi)部規(guī)律，它可以在樣本數(shù)據(jù)集內(nèi)對映射關(guān)系進行較高準(zhǔn)確率的擬合，目前已經(jīng)在飛行器的相關(guān)研究中取得良好的成果。文獻[14]構(gòu)建貝葉斯最優(yōu)網(wǎng)絡(luò)估計高超聲速飛行器動壓和氣動加熱模型。文獻[15]結(jié)合貝葉斯優(yōu)化與深度高斯過程預(yù)測空天飛行器非平穩(wěn)超參數(shù)。然而，不論是機器學(xué)習(xí)還是其他方法，基于數(shù)據(jù)的分析由于缺乏物理可解釋性等原因，一直被認(rèn)為是復(fù)雜系統(tǒng)研究的輔助工具，暫時難以在工程應(yīng)用中實現(xiàn)大范圍推廣。在解析法可用的條件下，應(yīng)該優(yōu)先選擇解析法求取底層評價指標(biāo)到任務(wù)要求的映射關(guān)系。

本文首先針對高超聲速飛行器的模型特性進行分析，從運動模態(tài)、飛行約束和不確定性3個方面說明了高超聲速飛行器和常規(guī)飛行器的差異?？紤]到常規(guī)飛行器的性能評價方法可能不適用于高超聲速飛行器，本文提出底層指標(biāo)應(yīng)滿足的要求，將問題轉(zhuǎn)化為研究從任務(wù)變量到底層評價指標(biāo)的映射。進一步，針對可能存在的映射關(guān)系難以給出解析形式的情形，本文首先提出了一種統(tǒng)計實驗分析的方法。然后，基于高超聲速飛行器的特點，拓展了統(tǒng)計實驗分析方法的功能，并以此為基礎(chǔ)，設(shè)計了適合高超聲速飛行器的底層指標(biāo)評價可行性的分析流程，進而將阻尼頻率特性用于高超聲速飛行器靜穩(wěn)定性評價的可行性分析作為示例，展示了流程的設(shè)計步驟。然后，將分析方法拓寬到特定飛行任務(wù)，提出時域性能指標(biāo)的可行性檢驗方法。最后，設(shè)計仿真實驗驗證頻域指標(biāo)評價靜態(tài)性能的可行性，得到和軍標(biāo)MIL-F-8785C[16]一致的結(jié)論。

1 高超聲速飛行器模型特性分析

在常規(guī)飛行領(lǐng)域，已經(jīng)形成了包括飛行品質(zhì)規(guī)范在內(nèi)的完整開環(huán)/閉環(huán)性能評價體系。然而常規(guī)飛行器的性能評價方法不一定適用于高超聲速飛行器，這是因為兩者在結(jié)構(gòu)外形、飛行空域、是否有人駕駛、運動模態(tài)組成以及不確定性來源與影響上都存在較大的差異。為了合理地評價高超聲速飛行器的控制性能，不斷有新的評價方法被提出。無論是何種評價方法，都要立足于高超聲速飛行器本身，分析包括本體的穩(wěn)定性和配平能力，以及在不穩(wěn)定的條件下判別所設(shè)計控制系統(tǒng)的好壞。因此，高超聲速飛行器的模型特性分析是必不可少的，在建立控制性能評價方法時，需要重點考慮其與常規(guī)飛行器的差異。本文將從模態(tài)特性、飛行約束以及不確定性3個方面闡述高超聲速飛行器模型的獨特之處。

1.1 縱向模態(tài)特性

根據(jù)定義可知，劃分高超聲速飛行器和常規(guī)飛行器的基準(zhǔn)是飛行馬赫數(shù)，高超聲速飛行器要求飛行馬赫數(shù)達到5以上。更高的速域造成兩者在模態(tài)特性上存在較大的差異。高超聲速飛行器除了沉浮模態(tài)和短周期模態(tài)以外，還多出一個額外的高度模態(tài)[17]。高度模態(tài)由高度變化引入，是一種非周期性的運動模態(tài)。對于低速飛行器，由于其高度變化相對緩慢，因此高度模態(tài)在常規(guī)飛行器的研究中是被忽略的。高度模態(tài)對高超聲速飛行器的速度和高度響應(yīng)產(chǎn)生較大的影響，因此是不可忽略的。常規(guī)飛行器的飛行品質(zhì)規(guī)范僅對短周期模態(tài)和沉浮模態(tài)做出要求，從高度模態(tài)的角度而言，這種評價方法至少是需要補充的。

事實上，就算是高超聲速飛行器和常規(guī)飛行器共有的沉浮模態(tài)，不同速域下其模態(tài)特性也不盡相同。沉浮模態(tài)的主要影響因素是高度和速度，而常規(guī)飛行器的沉浮模態(tài)僅需考慮速度的影響。這是因為低速飛行時，空氣的壓縮效應(yīng)不夠明顯，而且由于高度變化比較緩慢，大氣密度梯度也可以不用考慮。在這種條件下，高超聲速飛行器是否仍然可以采用常規(guī)飛行器的評價方法，需要進一步討論。

1.2 飛行約束

相比常規(guī)飛行器，高超聲速飛行器需要考慮更多更復(fù)雜的約束，包括動壓約束、熱流約束、過載約束、迎角約束、執(zhí)行機構(gòu)約束，等等。這些約束里，有一部分屬于高超聲速飛行器所特有，比如迎角約束；另一部分雖然兩者都考慮，但方式是不一樣的，比如執(zhí)行機構(gòu)約束。

本文所討論的高超聲速飛行器為吸氣式高超聲速飛行器，其推進系統(tǒng)為超燃沖壓發(fā)動機。它使得高超聲速飛行器具有推進-氣動耦合的特點。具體來說，迎角會影響進氣道內(nèi)氣體流動，進而影響發(fā)動機的工況；而超燃沖壓發(fā)動機的燃?xì)馕擦髋蛎洸ǔ颂峁┩屏Γ€將產(chǎn)生升力或者俯仰力矩，這樣又會反過來影響飛行狀態(tài)。為了避免進氣道未起動，高超聲速飛行器的迎角需要維持在一定范圍內(nèi)，即所謂的迎角約束。

高超聲速飛行器的縱向控制機構(gòu)包括升降舵和油門，通常將升降舵偏轉(zhuǎn)角δe和燃油當(dāng)量比φ作為控制輸入。由于高超聲速飛行器的飛行包線大，當(dāng)飛行高度很高時，升降舵的效能下降很明顯。因此，無論是設(shè)計飛行軌跡還是控制器，都要預(yù)留一定的控制裕度，防止升降舵偏轉(zhuǎn)飽和。此外，文獻[18]還指出，為防止超燃沖壓發(fā)動機的熱壅塞，油門的開度需要維持在容許的范圍內(nèi)。

高超聲速飛行器在加速爬升和再入的過程中，存在強烈的大氣壓縮及機體摩擦，使得飛行器的表面溫度會很高。與此同時，大氣壓也會對飛行器的外形產(chǎn)生影響。為了保證飛行器在爬升和再入過程中機體不受損壞，必須對的動壓、熱流率、過載做一定的約束。動壓約束是具有上下界的，其上界是由飛行器表面防熱材料決定的，其下界則取決于發(fā)動機進氣道起動的要求。熱流密度應(yīng)維持在飛行器表面溫度不超過防熱材料允許的范圍。過載約束則是為了保證高超聲速飛行器的布局結(jié)構(gòu)不被破壞。

綜上，高超聲速飛行器的飛行約束是相當(dāng)復(fù)雜的，它和常規(guī)飛行器存在明顯的差異。常規(guī)飛行器的評價體系并不能完全用于對高超聲速飛行器的評價。

1.3 不確定性

高超聲速飛行器的另一顯著特點是具有強不確定性，它會影響狀態(tài)觀測、性能預(yù)判以及飛行約束。不確定性根據(jù)其來源包括但不限于以下幾類，即未建模不確定性，模型結(jié)構(gòu)不確定性、數(shù)值不確定性和模型參數(shù)不確定性。未建模不確定性是指人們對于物理原理本身存在認(rèn)識上的欠缺，在建模時難以考慮，從而造成模型和實際系統(tǒng)的偏差，例如，高超聲速飛行器在氣體流動方面還存在物理原理的認(rèn)知缺乏，部分動態(tài)特性在模型中沒有得到體現(xiàn)。模型結(jié)構(gòu)不確定性指的是建模過程中，出于簡化的目的，提出一些近似假設(shè)，從而造成所建立的模型和真實系統(tǒng)的偏差，例如，為設(shè)計線性控制器，對高超聲速飛行器非線性系統(tǒng)進行線性化處理，所得到的線性系統(tǒng)就存在模型結(jié)構(gòu)不確定性。數(shù)值不確定性包括數(shù)值計算中的誤差以及人為因素導(dǎo)致的取值偏差，例如，高超聲速飛行器存在輸入飽和約束，當(dāng)控制輸入的理論值超出執(zhí)行器范圍時，實際輸入會和理論輸入產(chǎn)生偏差，引入數(shù)值不確定性。模型參數(shù)不確定性的來源包括精確數(shù)據(jù)或相關(guān)模型參數(shù)的缺乏，例如，由于缺乏相關(guān)氣動數(shù)據(jù)，高超聲速飛行器的氣動參數(shù)就存在模型參數(shù)不確定性。

需要注意的是，當(dāng)采用給定的評價方法分析高超聲速飛行器開環(huán)或閉環(huán)性能時，因為存在強不確定性，評價結(jié)果可能會受到干擾。如何克服強不確定性的影響，也是建立評價方法需要考慮的問題。

1.4 底層指標(biāo)可行性的表述

高超聲速飛行器的模型特性分析表明，常規(guī)飛行器的性能評價方法可能未必適用于高超聲速飛行器。在引入新的性能評價方法的同時，需要分析其可行性。完整的高超聲速飛行器控制性能評價體系需要考慮比常規(guī)飛行器更多的底層性能指標(biāo)，根據(jù)實際任務(wù)需求，對底層指標(biāo)進行加權(quán)，得到頂層評價指標(biāo)。頂層指標(biāo)因為任務(wù)不同而對底層指標(biāo)的側(cè)重有所不同，本文對此不做討論，重點研究底層性能評價指標(biāo)的有效性。合適的底層評價指標(biāo)應(yīng)滿足以下兩點：

1) 完全覆蓋：底層指標(biāo)應(yīng)完全覆蓋高超聲速飛行器包括飛行約束在內(nèi)的各項控制性能。

2) 抗不確定性擾動：所選擇的底層指標(biāo)受不確定性的干擾應(yīng)盡可能小。

底層評價指標(biāo)直接采用任務(wù)要求固然是一種思路，但必須要注意的是，這一做法存在多個問題。首先，不同的高超聲速飛行任務(wù)有不同側(cè)重點，在設(shè)計飛行器的初期，甚至在結(jié)構(gòu)外形尚未確定的情況下，將復(fù)雜的要求一一考慮是不現(xiàn)實的，此時設(shè)計者希望參考一些和系統(tǒng)相關(guān)的指標(biāo)，包括阻尼頻率特性、超調(diào)量和時延特性等。其二，任務(wù)執(zhí)行情況在進行飛行實驗之前是未知的，將其作為底層評價指標(biāo)就失去了預(yù)估的初衷。

2 底層指標(biāo)的可行性分析

為分析底層指標(biāo)對于高超聲速飛行器控制性能的評價可行性，本節(jié)提出一種研究思路：建立高超聲速飛行器的飛行任務(wù)性能到底層評價指標(biāo)的映射，將可行性分析轉(zhuǎn)化為對于映射的分析，如果該映射可以滿足雙映射檢驗，那么底層評價指標(biāo)是有效的，下面將說明這一思路的合理性。

2.1 雙映射檢驗方法

第1節(jié)指出，如果底層評價指標(biāo)是可行的，那么它首先需要滿足完全覆蓋控制性能這一要求。假設(shè)飛行任務(wù)對n個線性無關(guān)變量的取值做出要求，稱該任務(wù)為n元任務(wù)。高超聲速飛行器是強耦合、具有不確定性的非線性系統(tǒng)。假定任務(wù)對某些飛行狀態(tài)變量(如速度、高度、迎角等)做出要求，這些變量之間雖然存在耦合關(guān)系，但在滿足小擾動假設(shè)時可以進行線性化或分段線性化處理[19]。如果線性化后得到的狀態(tài)特征矩陣是非奇異的，這時，每個狀態(tài)變量都不能由其他狀態(tài)變量線性表出，那么狀態(tài)變量就滿足線性無關(guān)假設(shè)。記這n個狀態(tài)變量張成的線性空間Πn=span(W1,W2,…,Wn)，其中Wi(i=1,2,…,n)表示任務(wù)變量。對應(yīng)的，記底層評價指標(biāo)張成的線性空間為Λl=span(I1,I2,…,Il)，其中Ii(i=1,2,…,l)表示底層評價指標(biāo)。于是，可以得到底層評價指標(biāo)完全覆蓋高超聲速飛行器的控制性能要求的數(shù)學(xué)表述，即底層評價指標(biāo)空間Λl可以通過某種映射l，形成包含n元任務(wù)變量空間Πn的線性空間Π。

從包含與被包含角度來說，評價指標(biāo)的維度l一定不小于任務(wù)變量的維度n，而對于線性映射，評價指標(biāo)和任務(wù)變量同維是可以做到的。假設(shè)映射l具有連續(xù)性，根據(jù)拓?fù)渫叩挠^點[20]，在所有l(wèi)個底層評價指標(biāo)中，總存在n個底層評價指標(biāo)組合張成的線性空間Λn=span(Iλ1,Iλ2,…,Iλn)，與n元任務(wù)線性空間Πn線性同構(gòu),其中Iλi(i=1,2,…，n)是n個線性無關(guān)的底層評價指標(biāo)的線性組合。這樣，n元任務(wù)理論上只需要n個線性無關(guān)的底層評價指標(biāo)即可。本文主要考慮底層評價指標(biāo)和任務(wù)變量維度一致的情形，此時，如果從任務(wù)變量空間到底層指標(biāo)空間的映射(從底層指標(biāo)空間到任務(wù)變量空間的映射亦可)為雙映射，那么底層指標(biāo)確實涵蓋了高超聲速飛行器的各項任務(wù)性能。當(dāng)?shù)讓釉u價指標(biāo)的維度大于任務(wù)變量時，可采用機器學(xué)習(xí)等數(shù)據(jù)處理方法擬合映射關(guān)系，再檢驗映射是否為滿足完全覆蓋和抗不確定性擾動條件。

如1.4節(jié)所述，底層評價指標(biāo)還應(yīng)該滿足抗不確定性擾動的要求。這需要分析不確定性對映射的影響。如果映射關(guān)系可通過解析表達式明確給出，那么只需檢驗映射是否雙映射以及是否病態(tài)即可。然而，映射關(guān)系可能很難寫成解析形式。考慮到實際問題中，任務(wù)變量、控制律參數(shù)以及底層評價指標(biāo)的取值集合都是緊集，即取值范圍是可以度量的，于是本文采用一種統(tǒng)計實驗分析的方法來判斷映射是否為雙映射。在提出檢驗方法之前，首先給出下述定理。

定理 給定映射f:x→y,x∈σ,y∈Σ，σ和Σ分別是定義域和值域。σa是定義域σ的同維子集，記σa的補集為σb，且有f:σa→Σa，f:σb→Σb。若對于任意σa，都滿足:

(1)

則f:σ→Σ是雙映射。這里V(*)表示高維空間中封閉區(qū)域的體積。

證明 根據(jù)雙映射的定義，同時滿足單映射和滿映射即為雙映射，因此分2步證明。

1) 因為Σ是值域，所以f:x→y,x∈σ是滿映射。

2) 令Σa∩Σb=Σx，η=V(Σx)/V(Σ)。對于任意x1,x2∈σ，x1≠x2，存在σa，使得x1∈σa,x2∈σb。因為η≡0且η=V(Σx)/V(Σb)，所以Σx=?，即f(x2)?Σa。而f(x1)∈Σa，所以f(x1)≠f(x2)。這樣f:x→y,x∈σ是單映射。

綜上，f:σ→Σ是雙映射。

為了方便理解上述定理，圖1給出了二維向量空間映射的示意圖。定理可表述為，如果線性空間中任意兩個不存在交集的區(qū)域，映射后仍不存在交集，那么映射是雙映射。定理證明中的η表示Σa和Σb重疊部分Σx占Σ的比重，特別地，如果用樣本點來估計定義域σ中全體點的行為，η可用如下方法計算：

(2)

式中：nx為落在重疊部分實驗點的數(shù)目；nt為內(nèi)實驗點的總數(shù)。關(guān)于η的物理意義，可以從二分類問題的角度來考慮：記σa中實驗點為正例，σb中實驗點為反例，由于某種原因需要依據(jù)映射后Σ區(qū)域內(nèi)實驗點的分布來預(yù)測正反例，σa中實驗點經(jīng)過映射后，形成包絡(luò)Σa，對于任何落在Σa內(nèi)的實驗點都預(yù)測為正例，這樣，存在部分真實為反例的實驗點被錯誤預(yù)測，η就代表預(yù)測錯誤的實驗點在全體實驗點中的占比，即錯誤率[21]。

圖1 二維線性空間情形下的定理示意圖Fig.1 Application of theorem in two-dimensional linear space

錯誤率η不僅反映了是否雙映射，還反映了映射抗不確定性擾動的能力。雙映射應(yīng)滿足一一對應(yīng)的要求，而不確定性的介入，使得定義域子集σa內(nèi)的實驗點經(jīng)過映射后，與其補集σb內(nèi)的實驗點的混雜程度提高，即錯誤率η增大。若這種混雜程度越高，那么底層指標(biāo)對于參數(shù)不確定性越敏感。因此，可以通過上述定理設(shè)計分析底層評價指標(biāo)可行性的雙映射檢驗方法。

這里還存在一個問題：定理中要求σa是定義域中的“任意”同維子集，如何滿足“任意”這一條件。本文采用的解決思路如下：將定義域隨機劃分為若干子集，每次在其中選取部分子集構(gòu)成σa，剩余子集構(gòu)成σb，進行一次檢驗，每次檢驗完成后重新選擇σa和σb進行新一輪檢驗，如此重復(fù)多次。從理論上分析，劃分的子集越小，重復(fù)檢驗的次數(shù)越多，結(jié)果的真實性越高，但實際應(yīng)用中需要考慮計算成本以及σa和σb的物理含義，并不是重復(fù)實驗次數(shù)越多越好。需要注意的是，只有每次統(tǒng)計實驗的結(jié)果都能得到η?1，才認(rèn)為通過可行性分析；只要出現(xiàn)實驗結(jié)果得不到η?1，就認(rèn)為沒有通過可行性分析。這里η?1是定性分析的要求，定量實驗中的判別準(zhǔn)則需要指定錯誤率容許上界ε，可借鑒統(tǒng)計學(xué)中顯著性檢驗的思路：選擇0.05作為錯誤率的容許上界，η<0.05表明雙映射檢驗出現(xiàn)錯誤的可能性低于5%，屬于小概率事件。

綜上所述，針對復(fù)雜的映射關(guān)系是否雙映射，可設(shè)計如下統(tǒng)計實驗分析方法。

步驟1 選取變量可行域σ1，其補集即不可行域σ2。這里所說的可行域指的是定義域內(nèi)滿足任務(wù)要求的部分。

步驟2 在定義域σ內(nèi)隨機均勻選擇nt個實驗點，落在σ1內(nèi)的實驗點個數(shù)記為n1，落在σ2內(nèi)的實驗點個數(shù)記為n2。

步驟3 將所有nt個實驗點映射到值域Σ，根據(jù)σ1內(nèi)實驗點映射到Σ上的分布，繪制這n1個實驗點的包絡(luò)，此即σ1映射后形成的區(qū)域Σ1，統(tǒng)計σ2內(nèi)實驗點映射后落在Σ1的數(shù)目nx，則η=nx/nt。

步驟4 若η>ε，分析停止，未通過可行性分析；否則，重新選取變量可行域，重復(fù)步驟1～步驟3，直到循環(huán)次數(shù)達到事先設(shè)定的上限。

特別說明，如果f:σ→Σ是不連續(xù)映射，那么σ1映射后形成的Σ1可能由多個不連通的區(qū)域組成。此外，如果維度大于3，則無法通過可視化方法看到定義域和值域。

2.2 可行性分析流程設(shè)計

為將2.1節(jié)提出的控制性能評價的可行性分析方法更好地與高超聲速飛行器結(jié)合，需要針對高超聲速飛行器的特點設(shè)計相應(yīng)的分析流程。

考慮高超聲速飛行器縱向平面內(nèi)的二維運動，控制輸入包括升降舵偏轉(zhuǎn)角δe和燃油當(dāng)量比φ，質(zhì)心運動方程可表示為

(3)

式中：m為質(zhì)心質(zhì)量；v為速度；γ為軌跡角；h為高度；α為迎角；q為俯仰角速率；Iyy為轉(zhuǎn)動慣量；T為推力；D為阻力；L為升力;M為俯仰力矩。

針對在平衡點處線性化得到的線性模型，設(shè)計全狀態(tài)反饋控制器，實現(xiàn)高度、速度指令的良好跟蹤。工程實際中迎角α和軌跡角γ的測量存在困難，但文獻[22-23]已對α和γ的重構(gòu)做出深入的研究，提出了可行的重構(gòu)方法，因此本文研究中假設(shè)所有狀態(tài)全部可測并可用于狀態(tài)反饋。狀態(tài)空間方程為

(4)

動態(tài)模型僅僅是系統(tǒng)的簡化數(shù)學(xué)表示，因此不確定性的存在是不可避免的。本文主要討論模型參數(shù)不確定性，它包括氣動不確定性、狀態(tài)測量的不確定性、慣性因素引起的不確定性以及大氣密度的不確定性。考慮模型參數(shù)不確定性的線性系統(tǒng)狀態(tài)空間方程可表示為

(5)

式中：u*為配平狀態(tài)的輸入。

根據(jù)式(5)可以推斷，參數(shù)不確定性會直接影響控制輸入，從而導(dǎo)致任務(wù)變量到底層評價指標(biāo)的映射發(fā)生變動。在參數(shù)不確定性的攝動下，底層指標(biāo)的評價結(jié)果會呈現(xiàn)一定的隨機性，若底層指標(biāo)對參數(shù)不確定性攝動過于敏感，則對應(yīng)的評價方法不合適。為分析參數(shù)不確定性的影響，需要將映射關(guān)系按是否可解析分為2種情形：當(dāng)映射關(guān)系存在解析形式時，可采用解析方法分析底層指標(biāo)對于參數(shù)不確定性的敏感程度；當(dāng)映射關(guān)系難以解析分析時，可采用2.1節(jié)提出的錯誤率檢驗，從數(shù)值的角度分析不確定性的干擾。

基于上述討論，可以設(shè)計總體分析流程，如圖2所示。整體流程分為2個階段，第1階段為初始化，根據(jù)高超聲速飛行器的飛行任務(wù)需求，結(jié)合任務(wù)變量之間的耦合關(guān)系，將任務(wù)要求提煉出n個線性無關(guān)的任務(wù)變量，并給定對應(yīng)的取值范圍；設(shè)置控制律參數(shù)，以達到不同級別的任務(wù)要求；確定底層控制性能評價指標(biāo)，選擇用于可行性分析的n個底層指標(biāo)；設(shè)置統(tǒng)計實驗分析中容許的錯誤率上界以及循環(huán)次數(shù)。

流程的第2階段為雙映射檢驗，f為從任務(wù)變量線性空間Πn到底層評價指標(biāo)線性空間Λn的映射。首先判斷f是否存在確定的解析形式。如果存在顯式解析表達式，那么無論是雙映射關(guān)系還是不確定性擾動分析都可用解析方法確定。反之，如果映射關(guān)系很難寫成解析形式，那么需要通過數(shù)值方法先建立任務(wù)變量空間到底層指標(biāo)空間的映射f。具體方法是，調(diào)節(jié)控制律參數(shù)，進行飛行仿真實驗，記錄任務(wù)變量信息和底層評價指標(biāo)信息，經(jīng)過大量的飛行仿真實驗，可構(gòu)筑任務(wù)變量和底層指標(biāo)的數(shù)值對應(yīng)關(guān)系。在此基礎(chǔ)上，即可采用2.1節(jié)提出的統(tǒng)計實驗方法判斷是否為雙映射，以及映射對不確定性造成的參數(shù)擾動的敏感程度，依據(jù)η和ε的相對大小關(guān)系確定控制性能評價的底層指標(biāo)是否可用于高超聲速飛行器指定任務(wù)的評價。

圖2 分析流程設(shè)計Fig.2 Flowchart of analysis

2.3 傳統(tǒng)評價指標(biāo)的可行性分析

本文選擇高超聲速飛行器的靜穩(wěn)定度和受擾后的升降舵總偏轉(zhuǎn)角為任務(wù)變量，討論阻尼頻率特性能否作為靜態(tài)性能評價的底層指標(biāo)。

高超聲速飛行器多數(shù)是靜不穩(wěn)定的，其開環(huán)飛行品質(zhì)往往并不理想[15]，可以考慮加入增穩(wěn)系統(tǒng)作為控制器以滿足任務(wù)要求。本節(jié)的任務(wù)變量，靜穩(wěn)定度SM和升降舵偏轉(zhuǎn)角δe是線性無關(guān)的變量，為匹配任務(wù)變量，底層評價指標(biāo)的維度應(yīng)設(shè)置為2，選擇阻尼頻率特性中的短周期自然頻率ωnsp和短周期阻尼比ξnsp作為底層評價指標(biāo)。采用縱向比例式增穩(wěn)系統(tǒng)，選取俯仰角速率q和迎角α作為反饋信息。小擾動情形下的升降舵面偏轉(zhuǎn)滿足:

dδe=-Kqdq-Kαdα

(6)

式中：Kq和Kα為反饋增益，即控制律參數(shù)。

高超聲速飛行器本體的靜穩(wěn)定度和隨迎角變化的俯仰力矩有關(guān)，俯仰力矩對迎角的偏導(dǎo)數(shù)為

(7)

結(jié)合式(6)和式(7)，可得到加入控制器后的高超聲速飛行器俯仰力矩對迎角的偏導(dǎo)數(shù)：

(8)

式中：下標(biāo)“δ”表示對升降舵偏轉(zhuǎn)角的偏導(dǎo)數(shù)；下標(biāo)“aug”表示增穩(wěn)系統(tǒng)。

根據(jù)靜穩(wěn)定度的定義，在忽略次要項的條件下，增穩(wěn)后高超聲速飛行器的靜穩(wěn)定度可近似寫成

(9)

升降舵偏轉(zhuǎn)角可分解為平衡點處配平舵偏和擾動情形下的舵面偏轉(zhuǎn)，其表達式為

δe=δe, trim-Kqdq-Kαdα

(10)

式中：下標(biāo)“trim”表示配平狀態(tài)。

綜合上述分析，控制律參數(shù)到任務(wù)變量的映射f′-1關(guān)系可表示為

(11)

在小擾動情形下，該映射為線性映射，進一步，若矩陣A′非奇異，則該映射為雙映射，最終得到其逆映射f′為雙映射。下面檢驗不確定性對控制律參數(shù)的擾動幅度。

考慮不確定性對映射f′的影響，記不確定性干擾下的系數(shù)矩陣為A′+ΔA′，任務(wù)變量為b，則不確定性對映射的影響可轉(zhuǎn)化為線性方程組(A′+ΔA′)K=b-B′和A′K=b-B′-ΔB′解的差異性分析，即線性方程組解的擾動分析。通過計算線性方程組的條件數(shù)κ(A′)，分析解的穩(wěn)定性，即可了解不確定性對控制律參數(shù)的攝動。條件數(shù)的表達式為

(12)

(13)

給定容許的相對誤差范圍，可通過式(13)確定條件數(shù)κ(A′)的判定范圍。

本節(jié)考慮的底層評價指標(biāo)是閉環(huán)系統(tǒng)頻域指標(biāo)，其求取方法可以參考常規(guī)飛機飛行品質(zhì)評價中的等效系統(tǒng)法[25]。等效系統(tǒng)法包括頻域等效擬配和時域等效擬配。在指定的頻段內(nèi)，受同樣的外界激勵，若存在某確定形式的低階系統(tǒng)(LOES)和原高階系統(tǒng)(HOS)表現(xiàn)出近乎一致的頻率響應(yīng)特性，則此低階系統(tǒng)是高階系統(tǒng)的頻域低階等效系統(tǒng)。本文中底層指標(biāo)的求解過程如下：首先，根據(jù)狀態(tài)空間方程式(5)得到狀態(tài)變量[α,q]T關(guān)于控制輸入δe的閉環(huán)傳遞函數(shù)；然后采用頻域等效擬配的方法可得底層指標(biāo)[ωnsp,ξnsp]T。為了保持俯仰姿態(tài)和縱向軌跡之間的動態(tài)關(guān)系，采用俯仰角速率q和迎角α雙擬配。為了保證等效阻尼頻率特性的可行度，需要對等效擬配的結(jié)果進行驗證，驗證工作包括以下2點：

1) 失配度≤25代表擬配結(jié)果較好，失配度≤50代表擬配結(jié)果可接受[26]。

2) 高階系統(tǒng)和低階系統(tǒng)的幅值、相角差值都在失配包線[25]內(nèi)。

由此可見，控制律參數(shù)到底層指標(biāo)的映射ft比較復(fù)雜，ft的雙映射檢驗應(yīng)采用統(tǒng)計實驗分析。

2.4 特定飛行任務(wù)評價的可行性分析

對于特定的高超聲速飛行任務(wù)，如高度、速度指令跟蹤，目前缺乏詳細(xì)完整的控制性能評價方法。由于缺乏常規(guī)飛行器那樣大量的飛行實驗數(shù)據(jù)，考核指標(biāo)的量化、融合還停留在探索階段，并未形成規(guī)范。此外，高超聲速飛行器具有速度快、飛行包線大的特點，不同飛行階段對控制性能的要求也呈現(xiàn)較大差異。因此，現(xiàn)有的研究僅對飛行任務(wù)變量提出要求(例如執(zhí)行打擊任務(wù)的高超聲速飛行器存在終端約束)，并未規(guī)定底層評價指標(biāo)的精確范圍。本文以高度、速度指令跟蹤為特定飛行任務(wù)，以傳統(tǒng)時域性能評價指標(biāo)為底層評價指標(biāo)，展示評價的可行性分析流程。

本文控制系統(tǒng)的選擇參考文獻[27-28]給出的LQR控制器，其控制律的表達式為

Δu=u*-KxLxL-Krr

(14)

評價指標(biāo)的維度應(yīng)不小于任務(wù)變量的維度，而為了便于雙映射分析，底層評價指標(biāo)應(yīng)盡可能選取統(tǒng)一的維度。從控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的角度來看，它是比例-積分控制架構(gòu)，而從信息融合的角度來看，它包含飛行狀態(tài)、跟蹤誤差以及軌跡的實時信息，應(yīng)將系統(tǒng)響應(yīng)的快速性、準(zhǔn)確性、穩(wěn)定性納入考核指標(biāo)?？蛇x用的一組時域評價指標(biāo)[εv,εh,εα,ess,v,ess,h,ess,α,ts,v,ts,h,ts,α]T，其中ε、ess、ts分別表示飛行器在工作點附近，對階躍指令信號響應(yīng)的超調(diào)量、穩(wěn)態(tài)誤差和收斂時間，下標(biāo)v、h和α分別對應(yīng)速度、高度和迎角。

任務(wù)變量到底層評價指標(biāo)的映射f很難解析表示，只能采用統(tǒng)計實驗分析的方法進行雙映射檢驗。因為維數(shù)較高，無法應(yīng)用可視化方法確定可行域和不可行域內(nèi)的點，可采用以下方法：首先確定可行域中樣本點映射到值域中的位置，在此基礎(chǔ)上確定映射后的可行域頂點位置，依據(jù)頂點坐標(biāo)擬合出近似的超平面，若不可行域內(nèi)的實驗點映射到值域中所有超平面向內(nèi)的一側(cè)，則統(tǒng)計該類型的實驗點，且該類型點在全體實驗點中的比率即錯誤率η。從上述步驟可以看出，隨著數(shù)據(jù)維度提高，雙映射檢驗分析底層指標(biāo)可行性的效率顯著下降。

3 仿真分析

軍標(biāo)MIL-F-8785C認(rèn)為，對于飛行器本體或加入增穩(wěn)系統(tǒng)的閉環(huán)系統(tǒng)，其靜態(tài)性能應(yīng)滿足一定的阻尼頻率特性要求。本節(jié)將對2.3節(jié)實例進行仿真，以檢驗阻尼頻率特性是否可以作為高超聲速飛行器閉環(huán)系統(tǒng)靜態(tài)性能的評價指標(biāo)。選擇Bolender和Doman的高超聲速飛行器模型[29]作為實驗對象，設(shè)置巡航高度為25 908 m，馬赫數(shù)為8。迎角、俯仰角速率擾動分別設(shè)置為Δα=0.026 18 rad、Δq=0.052 36 rad/s，允許的錯誤率上界為5%。限定控制律參數(shù)的取值范圍Kα∈[-3.2,-0.8],Kq∈[-4,0]。不確定性因子對應(yīng)的拉偏范圍見表1，拉偏范圍參考文獻[30]。各不確定性因子在對應(yīng)的拉偏范圍內(nèi)，以標(biāo)稱值為中心，隨機生成服從正態(tài)分布的不確定性組合。

表1 不確定性因子拉偏范圍Table 1 Perturbation range of uncertainty factor

首先分析從任務(wù)變量到控制律參數(shù)的映射f′，給定參數(shù)下映射f′中矩陣A′的標(biāo)稱值為

控制律參數(shù)到底層評價指標(biāo)的映射f的檢驗需要基于數(shù)據(jù)分析，本文統(tǒng)計實驗分析方法要求選取不同的任務(wù)變量可行域進行多次重復(fù)實驗，這里列舉其中4次任務(wù)變量要求，如表2所示。

每次實驗在任務(wù)變量取值域內(nèi)隨機均勻選取500個實驗點，經(jīng)過f′映射后，在控制律參數(shù)線性空間Ω內(nèi)實驗點的包絡(luò)形成控制律參數(shù)的定義域，滿足任務(wù)變量要求的實驗點的包絡(luò)形成可行域，其補集即不可行域?？刂坡蓞?shù)定義域內(nèi)的實驗點都對應(yīng)于一個閉環(huán)系統(tǒng)，經(jīng)過頻域等效擬配，可得到對應(yīng)的等效阻尼頻率特性。而在進行統(tǒng)計實驗分析之前，需要先驗證等效擬配的合理性。仿真結(jié)果顯示，低階等效系統(tǒng)和原系統(tǒng)具有相近的頻率響應(yīng)特性。選取第一輪循環(huán)的一組反饋增益Kα=-2,Kq=-1.5為例，頻率響應(yīng)對比如圖3所示，失配包線檢驗如圖4所示。

表2 重復(fù)實驗的任務(wù)變量要求

等效擬配的合理性確保對映射ft進行統(tǒng)計實驗分析的可執(zhí)行性?？刂坡蓞?shù)定義域內(nèi)實驗點的分布如圖5所示，可行域σ1內(nèi)的點用圓圈表示，不可行域σ2內(nèi)的點用叉表示。這里的可行域指的是滿足任務(wù)要求的控制律參數(shù)的取值域，不可行域指的是控制律參數(shù)定義域內(nèi)可行域的補集。本文忽略執(zhí)行器的執(zhí)行能力，僅討論控制系統(tǒng)是否在理論上具有實現(xiàn)任務(wù)要求的可能性。通過對具有不確定性的參數(shù)按表1的要求進行拉偏，獲得控制律參數(shù)映射到底層指標(biāo)線性空間的實驗點分布，如圖6所示。繪制可行域σ1映射后形成的區(qū)域Σ1，并統(tǒng)計實驗點的分布如表3所示。結(jié)合圖6和表3可以看出，每輪分析結(jié)果均顯示錯誤率η<0.05，這表明從控制律參數(shù)到底層評價指標(biāo)的映射ft近似為雙映射，且底層指標(biāo)對參數(shù)不確定性的攝動不敏感。

圖3 高階系統(tǒng)和低階等效系統(tǒng)頻率響應(yīng)對比Fig.3 Comparison of frequency response between HOS and LOES

圖4 頻域等效擬配的失配包線驗證Fig.4 Mismatched envelope verification in frequency domain equivalent matching

圖5 控制律參數(shù)取值域內(nèi)實驗點分布Fig.5 Experimental points in control law parameter domain

綜合上述仿真結(jié)果，對于實例中給出的任務(wù)要求，采用阻尼頻率特性作為底層指標(biāo)評價高超聲速飛行器靜態(tài)閉環(huán)性能是可行的，這與軍標(biāo)MIL-F-8785C中關(guān)于常規(guī)飛行器的觀點一致。

圖6 實驗點在底層指標(biāo)取值域內(nèi)的分布Fig.6 Experimental points in underlying indicator domain

表3 實驗點分布統(tǒng)計Table 3 Statistical of exprimental points

4 結(jié) 論

本文研究了控制性能評價方法的底層指標(biāo)在高超聲速飛行任務(wù)評價方面是否具有可行性這一問題。將可行性分析問題轉(zhuǎn)化為特定映射的雙映射檢驗問題，提出了一種統(tǒng)計實驗分析方法，并進一步設(shè)計了可行性分析流程。按照設(shè)計的流程分析了高超聲速飛行實例，并設(shè)計仿真實驗進行驗證。仿真結(jié)果表明：

1) 關(guān)于采用阻尼頻率特性作為指定飛行任務(wù)的底層評價指標(biāo)時，本文的分析結(jié)果和軍標(biāo)MIL-F-8785C觀點一致。

2) 本文提出的利用統(tǒng)計實驗方法分析映射關(guān)系具有較好的通用性。

3) 本文提出的可行性分析流程具有良好的可實現(xiàn)性。