數(shù)學變式訓練激活學生思維

金枝煥

【摘要】《數(shù)學課程標準》指出：“數(shù)學教學不僅僅要使學生獲得數(shù)學基礎知識，基本技能，更要獲得數(shù)學思想和觀念，形成良好的數(shù)學思維品質(zhì)，要通過各種途徑，讓學生體會數(shù)學思考和創(chuàng)造的過程，增強學習的興趣和自信心，不斷提高自主學習的能力”。因此，加強變式訓練，可以促使學生的思維向多層次、多方向發(fā)散，幫助學生在問題的解答過程中去尋找解類似問題的思路、方法，有意識地展現(xiàn)教學過程中教師與學生數(shù)學思維活動的過程，充分調(diào)動學生學習的積極性、主動地參與教學的全過程，培養(yǎng)學生獨立分析和解決問題的能力，從而真正把學生能力的培養(yǎng)落到實處。

【關鍵字】學變式訓練 激活 學生思維

【中圖分類號】G633.6

【文獻標識碼】A

【文章編號】1992-7711（ 2020） 06-083-02

變式練習即變換問題中的條件、形式、內(nèi)容或圖形的位置，而問題的字實質(zhì)不變;善于抓住問題的本質(zhì)，且根據(jù)知識間的內(nèi)在聯(lián)系，把問題的可能范圍向縱橫方向引申和擴充。這不但有利于鞏固知識，而且還能增強學生的應變創(chuàng)新能力及分析問題、解決問題的能力。下面是我在教學時采用的“變式訓練”教學法的一點嘗試。

【案例一】原題

已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過A（-3，0），B（l，0），C（0，-3）三點，求這個二次函數(shù)的解析式。

變式1：已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過一次函數(shù)y=-x-3的圖像與x軸、y軸的交點A、C，并且經(jīng)過點B （1，0），求這個二次函數(shù)的解析式。

變式2：已知拋物線經(jīng)過兩點B（l，0），C（O，-3）。且對稱軸是直線x=-l，求這條拋物線的解析式。

變式3：已知一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點（1，0），且在y軸上的截距是-1，它與二次函數(shù)的圖像相交于A（1，m）、B（n，4）兩點，又知二次函數(shù)的對稱軸是直線x=2，求這兩個函數(shù)的解析式。

對變式1，先讓學生比較它與例題的已知條件有什么不同？再思考怎樣轉(zhuǎn)化為例題求解，然后討論怎樣求A、C兩點的坐標。對變式2，引導學生抓住“對稱軸是直線x=l”利用對稱性，求點A的坐標。對變式3，要善于應用“化整為零、各個擊破”的思想方法把一個綜合題分解為幾個簡單問題來解決，逐步引導學生把變式3分解為三個簡單問題：①求一次函數(shù)的解析式;②求m、n的值并畫出草圖分析;③求二次函數(shù)的解析式（轉(zhuǎn)化為變式2）。

這組題目最終都是通過設二次函數(shù)一般式，利用三點法建立方程組來求解。通過這組“多題一解”變式訓練，既可鞏固強化解題思想方法，又讓學生通過多題一解，抓住本質(zhì)，觸一通類，培養(yǎng)學生的變通能力，發(fā)展智力，激活思維，收到舉一反三，少而勝多的效果。

【案例二】原題

如圖1，分別以RtABC的三邊為邊向外作三個正方形，其面積分別為Sl、S2、S3，，則Sl、S2、S3之間的關系是

變式1：如圖2，如果以Rt△ABC的三邊為直徑向外作三個半圓，其面積分別為sl、S2、S。，則sl、S2、S3之間的關系是

變式2：如圖3，如果以Rt△ABC的三邊為邊向外作三個正三角形，其面積分別為Sl、S2、S3，則sl、S2、S。之間的關系是

變式3：如果以Rt△ABC的三邊為邊向外作三個一般三角形，其面積分別為S1、S2、S3，為使sl、S2、S3之間仍具有上述這種關系，所作三角形應滿足什么條件？證明你的結(jié)論。

變式4： 如圖4， 梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC+∠BCD=90°，且DC=2AB，分別以DA、AB、BC為邊向梯形外作正方形，其面積分別為sl、S2、S3，則sl、S2、S3之間的關系是

變式5： 如圖5， 梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC+∠BCD=90°，且DC=2AB，分別以DA、AB、BC為邊向梯形外作正三角形，其面積分別為S1、S2、S3，則Sl、S2、S3之間的關系是

變式6： 如圖6， 梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC+∠BCD=90°，且DC=2AB，分別以DA、AB、BC為邊向梯形外作半圓，其面積分別為Sl、S2、S3，則Sl、S2、S3之間的關系是

上述題組設置由易到難，層次分明，把學生的思維逐漸引向深入。這樣的安排不僅使學生復習了勾股定理，又在逐漸深入的問題中品嘗到成功的喜悅;既掌握了基礎知識，也充分認識了問題的本質(zhì)，可謂是一舉兩得。

【案例三】原題

如圖1，在平行四邊形ABCD中，E、F分別是OB、OD的中點，四邊形AECF是平行四邊形嗎？請說明理由。（引導學生分析，完成此例題）

變式1：若將例題中的已知條件E、F分別是OB、OD的中點改為BE=DF，其它條件不變，結(jié)論成立嗎？為什么？

變式2：若將例題中的已知條件E、F分別是OB、OD的中點改為E、F為直線BD上兩點且BE=DF，結(jié)論成立嗎？為什么？

變式3：如圖2：在平行四邊形ABCD中，H、G、E、F分別為線段BO、DO、AO、CO的中點，問四邊形EGFH是平行四邊形嗎？為什么？

變式4：如圖3在平行四邊形ABCD中，E、F是對角線AC上的兩個點;G、H是對角線BD上的兩點。若AE=CF，DG=BH，上述結(jié)論仍舊成立嗎？

變式5：在圖l中，若四邊形AECF是平行四邊形，B、D為直線EF上兩點，且BE=DF，四邊形ABCD是平行四邊形嗎？

變式6：在圖1中，若四邊形ABCD是矩形，E、F分別是OB、OD的中點，四邊形AECF是矩形嗎？

變式7：在圖l中，若四邊形ABCD是菱形，E、F分別是OB、OD的中點，四邊形AECF是菱形嗎？

這組題中，例題主要是利用“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”這個判定來證明四邊形AECF是平行四邊形。變式1引導學生抓實質(zhì)，利用例題的判定方法，進一步熟練此判定。變式2、變式3把例題和變式l中點E、F所具有的特殊性規(guī)律變?yōu)橐话阈砸?guī)律，培養(yǎng)了學生的由特殊到一般的歸納分析能力。變式4、變式5在“變”的過程中在逐步加深，讓學生深刻理解平行四邊形的判定定理的應用，變式6、變式7把原題進一步引向矩形、菱形，極大地鍛煉了學生的思維深度、廣度，提高了數(shù)學解題能力和探究能力。

【案例四】原題

如圖1已知：點0是等邊△ABC內(nèi)一點，OA=4，OB=5，OC=3，求∠AOC的度數(shù)。

變式1：

如圖2在△ABC中，AB=AC， ∠BAC=90°OA=4，OB=6，OC=2，求∠AOC的度數(shù)。

變式2

如圖3，點0是等邊△ABC內(nèi)一點，∠AOB=110°，∠BOC=135°

試問：（ 1）以OA、OB、OC為邊能否構(gòu)成一個三角形？若能，請求出三角形各內(nèi)角的度數(shù);若不能，請說明理由

（2）如果∠AOB的大小保持不變，那么當∠BOC等于多少度時，以OA、OB、OC為邊的三角形是一個直角三角形？

一題多變是題目結(jié)構(gòu)的變式，是指變換題目的條件或結(jié)論，或者變換題目的形式，而題目的實質(zhì)不變，以便從不同角度，不同方面揭示題目的本質(zhì)，用這種方式進行教學，能使學生隨時根據(jù)變化了的情況積極思索，設法想出解決的辦法，從而防止和消除呆板和僵化，培養(yǎng)思維的靈活性。一題多變可以改變條件，保留結(jié)論;也可以保留條件，改變結(jié)論;或者同時改變條件和結(jié)論;也可以將某項條件與結(jié)論對換等等。

【案例五】原題

已知：如圖1，△AEC、△ABD都是等邊三角形且B、A、C在同一直線上，連線BE、CD。請說明BE=CD的理由

變式一：條件不變、觀察圖形探究結(jié)論

如圖2設BE、CD相交于點S，AD、BE相交于點M，AE、CD相交于點N，根據(jù)圖形你還能寫出哪些結(jié)論，并說明理由。

變式二：圖形旋轉(zhuǎn)，探究原結(jié)論是否成立

如圖3：△AEC繞著點A轉(zhuǎn)動時

（1）試問：BE和DC還相等嗎？

（2）設DC與BE的交點為F，問：在△AEC轉(zhuǎn)動過程中，∠DFB的大小是否發(fā)生變化？

變式三：在變式二的基礎上、增加條件探求結(jié)論

如圖4，設DC、BE的中點分別為M、N連結(jié)AM、AN、MN在△AEC繞著點A轉(zhuǎn)動的過程中，請判斷△AMN的形狀。

本題是典型的“一題多圖”型的變式訓練，通過把圖形中的其中一個三角形旋轉(zhuǎn)，培養(yǎng)學生運動哲學觀點，把圖形同靜態(tài)變?yōu)閯討B(tài)，創(chuàng)設了在運動中探索規(guī)律的情境，能對培養(yǎng)學生一定的創(chuàng)新意識，同時可以讓學生掌握類比的數(shù)學思想。

以上介紹了幾種基本的數(shù)學變式教學，在教學中這樣的例子還很多。其實數(shù)學變式訓練不是為了“變式”而變式，而是要根據(jù)教學或?qū)W習的需要，遵循學生的認知規(guī)律而設計，其目的是通過變式訓練，使學生在理解知識的基礎上，把學到的知識轉(zhuǎn)化為能力，形成技能技巧，完成“應用——理解一一形成技能——培養(yǎng)能力”的認知過程。因此，教學中數(shù)學變式訓練設計要巧，要有一定的藝術性，要正確把握變式的度，要有目的性，要起到引導、激發(fā)學生思維活動的作用。在變式教學中應該始終以學生為教學的主體，教師不斷引導學生去思考和發(fā)現(xiàn)問題，最終由學生來解決問題，切實提高學生的能力。