混沌系列演示儀器的進階設計

馮志輝，張瑞云，李 維

(1.天津城建大學 天津300384；2.天津市耀華中學 天津300040；3.天津師范大學 天津300387)

0 引 言

混沌被譽為20世紀現代物理學發(fā)展中繼相對論和量子論之后的第三次革命，它不僅深刻地揭示了宏觀尺度下確定性與隨機性之間的辯證關系，而且為人類認識世界提供了全新的觀念和視角。目前混沌的理論和方法已經廣泛應用于物理、化學、醫(yī)學、經濟、社會等諸多學科領域的研究之中[1]。因此，將混沌的相關知識適當引入科普領域勢在必行。然而由于混沌理論的抽象性以及所需數學工具的復雜性，目前基礎教育的課內教學幾乎回避了混沌知識的介紹[2]。

本研究針對普通受眾的知識基礎和認知特點，設計了包括混沌運動定性觀察、混沌演化與相圖觀察、混沌控制、混沌同步與混沌加密等系列內容的4種混沌演示儀器。依托演示手段直觀地向受眾普及混沌的相關知識，使其在回避復雜的理論推導和艱深的數學知識的前提下了解混沌、認識混沌，幫助受眾拓展視野，最終為受眾建立與混沌理論相適應的非線性科學觀提供必要且可靠的事實基礎。

1 設計思路

混沌現象是發(fā)生在確定性系統(tǒng)中的貌似隨機的不規(guī)則運動，一個確定性理論描述的系統(tǒng)，其行為卻表現為不確定性、不可重復、不可預測?；煦缡欠蔷€性動力系統(tǒng)的固有特性[3]，在現實生活和實際工程技術問題中無處不在的。然而混沌理論較為抽象，所涉及的數學知識也較為復雜，考慮到普通受眾的知識水平及認知特點，本研究設計了“滾球混沌運動演示儀”以定性演示混沌現象并揭示混沌運動對初始條件的敏感性，讓受眾通過實驗現象對混沌運動形成初步的感性認識。在此基礎上，為了使受眾進一步了解混沌的產生與演化規(guī)律，本研究設計了“單擺運動演化與相圖觀察儀”，通過 PASCO數字化傳感器實時采集數據生成相圖，解決了目前通過計算機數值仿真顯示混沌相圖物理真實感不強的問題。在受眾對混沌現象形成一定理性認識的基礎上，進而通過設計“彈性鐵條混沌運動與混沌控制演示儀”代替?zhèn)鹘y(tǒng)的電路“黑箱”，揭示反饋系統(tǒng)對混沌運動的控制原理，通過直觀演示彈性鐵條的機械運動從混沌向有序的回歸過程，促進受眾對混沌運動特征的辯證理解。最后，為了讓受眾對混沌現象在實際生產生活中的應用能夠有深刻體會，本研究設計了“非線性電路混沌同步與混沌加密演示儀”，用于演示基于同步的混沌控制及通信加密方法。

2 儀器設計

2.1 滾球混沌運動演示儀

圖1為滾球混沌運動演示儀，該儀器主要由基座、驅動系統(tǒng)、混沌演示系統(tǒng) 3部分組成。驅動系統(tǒng)包含驅動電機、恢復彈簧，混沌演示系統(tǒng)主要由完全相同的 2條導軌和 2個實心滾球組成。驅動電機和恢復彈簧固定在基座上，2條導軌平行放置于基座上，并與驅動電機和恢復彈簧相連。2個實心滾球分別置于2條導軌上，可以在導軌上做純滾動。

圖1 滾球混沌運動演示儀Fig.1 Rolling ball chaotic motion demonstration instrument

在電機偏心輪的驅動下，拖板載著有2條凹形槽的導軌在水平面內作簡諧振動，以致滾球在導軌上作受迫振動。調節(jié)偏心輪的偏心度或電機的轉速可以改變滾球受迫振動的振幅。當受迫振動的振幅較小時，滾球僅在 1個凹形槽內作簡諧振動，當振幅漸漸增大后，滾球可依次進入周期倍增乃至混沌狀態(tài)。通過觀察安裝在同一振動拖板上的 2條導軌上的滾球運動，可以直觀地演示進入混沌運動狀態(tài)的滾球受初始條件細微差別的影響而被逐漸放大的運動不同步現象。

2.2 單擺運動演化與相圖觀察儀

圖2為單擺運動演化與相圖觀察儀，由驅動電機和恢復彈簧組成的驅動系統(tǒng)固定于基座上。為了防止擺球做二維擺動，擺球通過2個完全相同的輕質擺桿連接在固定于驅動系統(tǒng)的支架上。擺球末端還附有可拆卸的翼型空氣阻尼器，通過調節(jié)翼形空氣阻尼器和驅動電機可以改變單擺系統(tǒng)所受的阻尼大小及受迫運動狀態(tài)。連接在擺桿上的 PASCO轉動傳感器可實時監(jiān)測角位置-角速度運動狀態(tài)，并在計算機DataStudio界面顯示運動相圖。

記錄單擺系統(tǒng)在無阻尼無驅動、有阻尼無驅動以及有阻尼有驅動3種情形下的運動規(guī)律，從而加深受眾對混沌產生與演化機理的認識，進一步揭示“結構簡單的單擺，運動并不簡單”的奧秘[4]。

圖2 單擺運動演化與相圖觀察儀Fig.2 Evolution of simple pendulum motion and phase diagram observation instrument

2.3 彈性鐵條混沌運動與混沌控制演示儀

目前混沌控制演示多為電路“黑箱”，本研究設計的基于彈性鐵條的力學混沌系統(tǒng)直觀性強，便于演示和受眾觀察。彈性鐵條混沌運動與混沌控制演示儀如圖3所示，連接有傳感器的彈性鐵條固定于支架上，支架與驅動電機和恢復彈簧相連。在細長彈性鐵條的正下方固定有2塊完全相同的同名磁鐵，彈性鐵條在靜止狀態(tài)時恰處于兩磁極的正中間，從而使彈性鐵條與兩磁鐵相互作用的勢能曲線與滾球混沌運動演示儀的導軌形狀相似。當支架不振動時，彈性鐵條處在 2個穩(wěn)定平衡位置之一。在驅動電機和恢復彈簧共同構成的驅動系統(tǒng)驅動下，彈性鐵條可在兩磁極間做混沌運動。

為了達到混沌控制目的，在驅動系統(tǒng)與傳感器之間連接一個反饋系統(tǒng)，反饋系統(tǒng)的結構框圖如圖4所示。該反饋系統(tǒng)可以從傳感器上獲取運動信號，將其做反饋處理后加在驅動系統(tǒng)上，從而控制彈性鐵條能回歸有序運動。相較于電路“黑箱”，受眾可以直觀地看到反饋系統(tǒng)開啟前后彈性鐵條系統(tǒng)機械運動狀態(tài)的變化，從而提高演示過程的可視化。

圖3 彈性鐵條混沌運動與混沌控制演示儀Fig.3 Demonstration instrument for chaotic motion and control of elastic iron bar

圖4 反饋系統(tǒng)結構框圖Fig.4 Structural block diagram of feedback system

2.4 非線性電路混沌同步與混沌加密演示儀

非線性電路混沌同步與混沌加密演示儀是一個利用混沌調制信號為消息信號加密的裝置，該技術是現代保密通信常用的一種加密技術，在無線電保密通訊領域應用廣泛。該儀器為電路“黑箱”，需配合示波器進行演示。其電路結構如圖5所示，圖中S1、S2、S3、S4均表示開關，C1、C2表示電容，L 表示電感，R、Rc表示可調電阻，Rn表示非線性電阻。該電路由加法電路、單向耦合電路、減法電路、濾波電路、發(fā)送端的混沌信號產生電路、接收端的混沌信號產生電路組成。其中由 R、C1、C2、L和 Rn組成的 2組完全對稱的蔡氏電路分別用于產生發(fā)送端和接收端的混沌信號，單向耦合電路由運算放大器和 Rc組成。閉合開關 S3，調節(jié) Rc可以改變發(fā)送端和接收端混沌信號的同步耦合強度。

圖5 非線性電路混沌同步與混沌加密演示儀電路結構圖Fig.5 Circuit structure diagram of demonstration instrument for nonlinear circuit chaotic synchronization and chaotic encryption

閉合開關 S1，在發(fā)送端利用混沌信號作為載體通過加法電路將消息信號與之混合，使得消息信號在傳輸過程中難以從混合信號中提取出來，從而實現加密通信。在接收端閉合開關 S2，再利用與發(fā)送端同步的混沌信號通過減法電路解密，恢復出經濾波電路處理后的消息，這樣就實現了信息的加密傳輸過程。

3 設計特點

3.1 凸顯現象引領，揭示原理共性

混沌研究的發(fā)展歷程體現出20世紀現代物理學基礎研究領域理論先行和影響深遠的特點。為了便于凸顯混沌原理之于諸多學科領域的共性特征，本研究設計的混沌系列演示儀器有意回避了混沌理論的抽象性以及所需數學工具的復雜性，從實驗現象出發(fā)，激發(fā)受眾觀察體驗的實踐興趣。

3.2 構造認知進階，輔助自主學習

國際發(fā)達國家的現代科普理念倡導受眾通過與科普裝備的互動自主建構對知識的理解[5]。本研究設計的4種混沌系列演示儀器，從最簡單的機械運動到最復雜的現代通信“黑箱”，基于混沌各分支發(fā)展的內在邏輯構造了符合普通受眾認知特點的學習進階系列，能夠幫助受眾通過循序漸進的方式最終建立與混沌理論相適應的非線性科學觀。

3.3 操作安全快捷，易于復現觀察

混沌演示要通過演示外在隨機性與內在確定性之間的辯證關系達到揭示混沌現象特征與本質的目的，因此對演示儀器的復現性要求較高。本研究設計的混沌系列演示儀器，具有結構簡單、價格低廉、直觀性強等優(yōu)點，儀器操作安全快捷，狀態(tài)穩(wěn)定，便于受眾重復觀察體驗。目前本系列混沌運動演示儀器已申請相關專利，在科普領域具有較好的推廣價值。

4 結 語

本研究針對普通受眾的知識基礎和認知特點，設計了包括混沌運動定性觀察、混沌演化與相圖觀察、混沌控制、混沌同步與混沌加密等系列內容的4種混沌演示儀器。依托演示手段直觀地向受眾普及混沌的相關知識，使其在回避復雜的理論推導和艱深的數學知識的前提下認識混沌、了解混沌，幫助受眾拓展視野，最終為受眾建立與混沌理論相適應的非線性科學觀提供必要且可靠的事實基礎。