解決E-x、φ-x圖象問(wèn)題的必備知識(shí)和思想方法

◇ 北京 趙保現(xiàn)

E-x和φ-x圖象,即場(chǎng)強(qiáng)和電勢(shì)與位置關(guān)系的圖象,是高考要求必考的兩個(gè)圖象．圖象蘊(yùn)含著豐富的信息,若沒(méi)有一定的必備知識(shí)和思想方法做基礎(chǔ)和支撐,考生往往不能順利解決相關(guān)問(wèn)題．本文通過(guò)具體實(shí)例和應(yīng)用,對(duì)破解兩圖象問(wèn)題的方法進(jìn)行詳細(xì)介紹和分析．

1 解決兩圖象問(wèn)題的必備知識(shí)、思想方法

1.1 明晰E和φ正負(fù)值含義、判斷E和φ變化情況(或走勢(shì))

E的正負(fù)代表方向:E>0(或E<0),表示E的方向與正方向相同(或相反);絕對(duì)值|E|表示E的大小:|E|越大(或越小),表明場(chǎng)強(qiáng)越大(或越小)．φ的正負(fù),表示電勢(shì)的高低(大小)．

例如,圖1和圖2分別為不同電場(chǎng)中,沿x軸方向的場(chǎng)強(qiáng)E和x軸上各點(diǎn)電勢(shì)φ與坐標(biāo)x的關(guān)系圖象:1)圖1中，x1、x2處的場(chǎng)強(qiáng)分別沿-x方向、+x方向;x1處的場(chǎng)強(qiáng)大于x2處場(chǎng)強(qiáng);圖2中，φ0<0、φ2>0、x1處的電勢(shì)φ1=0,有φ0<φ1<φ2;2)圖1中，順著+x方向看,E先沿-x方向逐漸變大，到x=0附近突然方向改變?yōu)檠?x方向再逐漸減小;圖2中，沿x方向，φ先增大后減小(x2處電勢(shì)最高)．

圖1 圖2

1.2 利用圖象上已知點(diǎn)的坐標(biāo)

由圖象上已知點(diǎn)的坐標(biāo),再結(jié)合相關(guān)物理規(guī)律(公式、結(jié)論等),就可求出某個(gè)(或某些)待求量，判斷出某個(gè)(或某些)待求量的變化情況．

Ep2=φ2·q．

1.3 由φ-x圖象判斷場(chǎng)強(qiáng)E的大小和方向

1)定性判斷E的方向:根據(jù)φ-x圖象的走勢(shì)以及φ的正負(fù),確定x軸上不同范圍內(nèi)各點(diǎn)電勢(shì)的大小;再由“沿電場(chǎng)方向電勢(shì)越來(lái)越低(或逆電場(chǎng)方向電勢(shì)越來(lái)越高)”,判斷各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)的方向．

圖2中,隨著x的增大，在0x2范圍內(nèi),φ減?。试?x2范圍內(nèi),E沿+x方向．

2)定量判斷E的大小|E|:φ-x圖象中,圖象上任一點(diǎn)切線斜率的絕對(duì)值|k|表示E的大小:|k|越大(越小),表示|E|越大(越小)．

圖3

證明如下: 如圖3所示,M、N為電場(chǎng)中x軸上任意兩個(gè)足夠近的點(diǎn)(圖中兩點(diǎn)的間距已畫得過(guò)分夸張),可認(rèn)為這兩點(diǎn)在坐標(biāo)軸方向的場(chǎng)強(qiáng)大小|E|相等．

若M、N的電勢(shì)分別為φM、φN,由U=E·d(各量均取正值),則|φN-φM|=|E|·(x2-x1),故x軸上任一點(diǎn)沿坐標(biāo)軸方向的場(chǎng)強(qiáng)大小

圖2中,x1處的電勢(shì)φ1=0,但過(guò)點(diǎn)(x1,0)圖象的切線斜率并不等于零,即該點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)不等于零;從x1到x2,圖象上各點(diǎn)切線斜率的絕對(duì)值逐漸變小,故由x1到x2,場(chǎng)強(qiáng)逐漸減?。?/p>

1.4 由E-x圖象判斷電勢(shì)φ的高低

1)定性判斷:根據(jù)E-x圖象中縱坐標(biāo)E的正負(fù),確定并用帶箭頭的線段表示出x軸上各點(diǎn)電場(chǎng)方向，再由“沿電場(chǎng)方向電勢(shì)越來(lái)越低”,進(jìn)而判斷各點(diǎn)φ的高低．

圖4

例如,在圖1中x<0和x>0范圍內(nèi),E分別為負(fù)值和正值,因此x軸上各點(diǎn)的電場(chǎng)方向如圖4帶箭頭的線段所示,即從O點(diǎn)向左或向右電勢(shì)均越來(lái)越低．

2)定量判斷:E-x圖象與x軸之間圍成的“面積”(取正值),等于與“面積”左、右邊界橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的電勢(shì)之差(取正值)．

圖5

證明如下: 在圖5的E-x圖象上任取兩個(gè)靠得足夠近的點(diǎn)P、Q(兩點(diǎn)的間距已畫得過(guò)分夸張),可認(rèn)為這兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)E相等,若兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)之差Δx=x2-x1,則圖象與橫軸在Δx范圍內(nèi)圍成的“矩形面積”(圖中陰影部分，直線x=x1、直線x=x2分別是“面積”的左、右邊界)ΔS=E·Δx,得|ΔS|=|E|·|Δx|．

將足夠多的ΔS相加、足夠多的Δφ相加,就得到圖象與橫軸圍成的“面積”S、與S左右邊界橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的電勢(shì)之差φ左-φ右,故|S|=|φ左-φ右|．

2 應(yīng)用舉例

圖6

A.Ea∶Eb=4∶1 B.Ec∶Ed=2∶1

C.Wab∶Wbc=3∶1 D.Wbc∶Wcd=1∶3

類似地,對(duì)選項(xiàng)C、D也要利用點(diǎn)的坐標(biāo):把試探電荷+q由電勢(shì)為φ1的位置1移到電勢(shì)為φ2的位置2,電場(chǎng)力做功W12=q(φ1-φ2),所以有Wab∶Wbc=(φa-φb)∶(φb-φc),φa、φb、φc可由圖象的縱坐標(biāo)得出,故選項(xiàng)C正確,選項(xiàng)D錯(cuò)誤．

該題利用了圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)并結(jié)合相應(yīng)物理規(guī)律進(jìn)行分析、求解．

圖7

A.q1和q2帶有異種電荷

B.x1處的電場(chǎng)強(qiáng)度為零

C. 負(fù)電荷從x1移到x2,電勢(shì)能減小

D. 負(fù)電荷從x1移到x2,受到的電場(chǎng)力增大

也可定性判斷:負(fù)電荷-q0從x1移到x2,即從低電勢(shì)移到高電勢(shì)處,屬于逆電場(chǎng)方向移動(dòng),電場(chǎng)力做正功,電勢(shì)能減小．

選項(xiàng)D:由F=E·(-q0)=-Eq0可知,要判斷負(fù)電荷受到的電場(chǎng)力F是增大還是減小,只要判斷場(chǎng)強(qiáng)E的大小如何變化即可(負(fù)號(hào)只表示F的方向)．從x1移到x2,圖象上各點(diǎn)切線斜率的絕對(duì)值減小，場(chǎng)強(qiáng)E減小,所以負(fù)電荷受到的電場(chǎng)力減小,選項(xiàng)D錯(cuò)誤．

若不知該公式,則由上文“0

x2處圖象切線斜率的絕對(duì)值為零,即q1和q2在x2處的合場(chǎng)強(qiáng)為零;q1在x2處的場(chǎng)強(qiáng)沿-x方向,所以q2在x2處的場(chǎng)強(qiáng)必沿+x方向．

再用反證法證明q2不可能帶負(fù)電:假設(shè)q2帶負(fù)電,則q2只有位于x>x2范圍內(nèi),x2處的場(chǎng)強(qiáng)才可能為零;而x>x2范圍內(nèi)圖象切線斜率的絕對(duì)值逐漸減小,場(chǎng)強(qiáng)不斷減小，電場(chǎng)線變得越來(lái)越疏,即負(fù)電荷q2不可能位于x>x2范圍內(nèi),故q2必為正電荷．

圖8

A.O點(diǎn)的電勢(shì)最低

B.x2點(diǎn)的電勢(shì)最高

C.x1和-x1兩點(diǎn)的電勢(shì)相等

D.x1和x3兩點(diǎn)的電勢(shì)相等

方法1x>0和x<0區(qū)域,E分別為正值和負(fù)值,電場(chǎng)方向則分別沿+x方向和-x方向,所以從O到x1、到x2再到x3點(diǎn)的電勢(shì)依次降低(從O到-x1電勢(shì)也降低),故選項(xiàng)A、B、D均錯(cuò)誤．用排除法可知選項(xiàng)C正確．

方法2只分析選項(xiàng)C:要比較x1和-x1兩點(diǎn)的電勢(shì)高低,借助“中間點(diǎn)O”,又由于涉及電勢(shì)大小是否相等的問(wèn)題,故用定量判斷法較方便．

假設(shè)圖象與x軸在0φ1、φO>φ-1,故|S1|=φO-φ1、|S2|=φO-φ-1,所以φ1=φ-1,故選項(xiàng)C正確．

對(duì)于F-x圖象(F為電場(chǎng)力)、Ep-x圖象(Ep為電勢(shì)能),可將F、Ep分別看成q·E、q·φ,即縱坐標(biāo)分別看成E、φ的q倍,這樣,就可把F-x等圖象轉(zhuǎn)化為這兩個(gè)基本圖象來(lái)處理．