2019年全國(guó)卷Ⅰ第22題的多視角解答與探源

◇ 四川 杜海洋

從近幾年高考數(shù)學(xué)試題來(lái)看,高考對(duì)能力的考查要求逐步提高,尤其2019年的全國(guó)卷，體現(xiàn)了“刷題戰(zhàn)術(shù)”的功效明顯下降．最近教育部明確新高考將不再制訂《考試大綱》,這就更需要我們?cè)谛抡n改條件下針對(duì)數(shù)學(xué)試題進(jìn)行思考并采取有效的復(fù)習(xí)策略．我們深知學(xué)數(shù)學(xué)離不開解題,在解題中要善于發(fā)現(xiàn)和總結(jié)解題規(guī)律和方法,并能“尋根”與“變式”,避免盲目地“刷題”，從而達(dá)到做一題通一類的效果．這其中“題”是關(guān)鍵,歷年來(lái)的高考真題經(jīng)過(guò)“大場(chǎng)面”的檢驗(yàn),所以較經(jīng)典的高考真題具有代表性和權(quán)威性,能引起大家的共鳴．筆者現(xiàn)以2019年全國(guó)卷Ⅰ文科和理科22題為例,從一題多解、解法點(diǎn)評(píng)、尋根探源與同源變式的角度來(lái)進(jìn)行分析,與讀者交流．

1 真題呈現(xiàn)

(1)求C和l的直角坐標(biāo)方程;

(2)求C上的點(diǎn)到l距離的最小值.

此題乍看十分普通,細(xì)細(xì)品味后卻發(fā)現(xiàn)內(nèi)涵豐富,給人啟迪.簡(jiǎn)約而不簡(jiǎn)單,深刻而不深?yuàn)W的一道試題既考查了學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力,又考查了直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等能力．

2 第(1)問(wèn)的求解

視角1完全平方公式轉(zhuǎn)換.

視角2先對(duì)y進(jìn)行平方再整體代入.

視角3利用結(jié)構(gòu)特點(diǎn)聯(lián)想萬(wàn)能公式.

設(shè)t=tanα,即

視角4先消t2,再消t.

3 第(2)問(wèn)的求解

視角1轉(zhuǎn)化為線線距離.

1)利用Δ=0,求切線.

2)利用導(dǎo)數(shù)求切線.

視角2直接用點(diǎn)線距離.

1)利用導(dǎo)函數(shù).

2)利用橢圓的參數(shù)方程.

設(shè)C上點(diǎn)的坐標(biāo)為(cosθ,2sinθ),則C上的點(diǎn)到直線l的距離

3)利用柯西不等式.

4)利用判別式.

5)利用向量不等式.

視角3轉(zhuǎn)化為點(diǎn)點(diǎn)距離.

1)利用兩參數(shù)方程.

由柯西不等式，得

2)利用伸縮變換求點(diǎn).

3)利用伸縮變換求過(guò)橢圓上任意點(diǎn)的切線.

視角4利用極限思想求過(guò)橢圓上任意點(diǎn)的切線.

圖1

4 尋根探究

本題來(lái)源于人教A版教材中以下幾題.

從表達(dá)式可看出高考題是將教材中的題型進(jìn)行數(shù)據(jù)改編而得來(lái)的．近幾年高考試題的命制越來(lái)越新穎多變、形式多樣,但萬(wàn)變不離其宗,許多高考試題均能在教材中找到其原型．因此，需要我們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中留意對(duì)課本例題、習(xí)題、練習(xí)題的訓(xùn)練，要熟練地進(jìn)行求解,掌握問(wèn)題求解的通性通法,同時(shí)進(jìn)行一題多解和多變練習(xí),抓住實(shí)質(zhì),做到“胸中有本”，以不變應(yīng)萬(wàn)變,一題一世界,一題可破萬(wàn)題山．

5 同源變式

無(wú)獨(dú)有偶,在同年高考試題中出現(xiàn)了一道相似的題.

兩題可以說(shuō)是互為變式，有興趣的同學(xué)可以仿照第(2)問(wèn)的解法試試求解(答案為4).

教材是專家們花費(fèi)大量心血進(jìn)行千錘百煉、字斟句酌編寫而成的,教材具有示范性和權(quán)威性．縱觀近幾年全國(guó)各地的高考題和模擬題，可以發(fā)現(xiàn)許多試題都能找到課本習(xí)題、例題的影子．高考中不變的是知識(shí)和思想方法,變化的無(wú)非是情境的呈現(xiàn)形式、問(wèn)題的結(jié)構(gòu)方式．這就要求我們平時(shí)在學(xué)習(xí)中,對(duì)例題和有代表性的習(xí)題進(jìn)行講解，不但要講,還要講深講透,同時(shí)還要進(jìn)行一題多解多變,使學(xué)生知一題而懂一類,在提煉這些問(wèn)題的基本方法、常規(guī)方法的同時(shí)，還需掌握不同題型的“秒殺法”,不論高考試題構(gòu)思如何新穎,學(xué)生都能自如應(yīng)對(duì)．