2019年高校自主招生試題中的不等式問題

北京市十一學(xué)校

不等式是現(xiàn)代初等數(shù)學(xué)研究的中心,也是清華大學(xué)、北京大學(xué)等高校自主招生考試的熱門考點(diǎn)和難點(diǎn)之一.僅2019年,在清華大學(xué)的自主招生及領(lǐng)軍計(jì)劃數(shù)學(xué)試題中出現(xiàn)3道不等式題目(共35道題目),清華大學(xué)的優(yōu)秀中學(xué)生暑期綜合營試題中出現(xiàn)1道不等式題目,在北京大學(xué)的三位一體招生數(shù)學(xué)試題中出現(xiàn)3道不等式題目(共20道題目),北京大學(xué)綜合營中不等式題目更是占到文理科共7道題目中的3道.在其他高校的招生考試中,不等式題目也常有出現(xiàn).今年,高校招生政策面臨重大調(diào)整,“強(qiáng)基計(jì)劃”完全取代了實(shí)行17年的自主招生政策,但基于選拔人才的初衷和“一校一策”的依托,預(yù)計(jì)題目類型不會(huì)發(fā)生重大改變,因此參考2019年的自招試題,對于備考和研究新的招生考試,依然有著很重要的意義.

自招考試中的不等式內(nèi)容通常是多元均值不等式,有時(shí)會(huì)涉及柯西不等式和多元函數(shù)的最值問題,其難度不低于聯(lián)賽一試中的不等式難度;從方法上看,配湊系數(shù)法和換元法的考察較為頻繁,求導(dǎo)法、放縮法和數(shù)學(xué)歸納法也常有涉及,有時(shí)也經(jīng)常與解析幾何、函數(shù)與方程、三角函數(shù)、向量、因式分解等知識(shí)板塊鏈接起來,范圍很廣,應(yīng)予以重視.

例1(2019年上海交大自招考試) 實(shí)數(shù)a,b滿足4a2-5ab+4b2=19,求a2+b2的最大值.

解答由題設(shè),解得當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號,即a2+b2的最大值為

例2(2019年浙大自招考試) 已知x2+y2+z2=1,求的最小值.

解答由常見不等式可知,解得當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立,即的最小值為-1.

評析這里實(shí)際考察的是對于基本不等式的配湊系數(shù)法的使用,在不知如何拆分時(shí),可設(shè)1 =x2+λy2+(1-這里λ ∈[0,1],為求出的最小值,應(yīng)有解得

例3(2019年上海交大自招考試) 已知x,y,z不全為0,求的最大值.

解答考慮到是求的最大值,不妨設(shè)x,y,z ＞0,而則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等.

評析這里可以用例2類似的方法得到所需配湊的系數(shù).

例4(2019年清華自招與領(lǐng)軍考試) 若正數(shù)a,b滿足ab(a+8b) =20,則a+3b的最小值為( )

解答因此,a+3b ≥5,當(dāng)且僅當(dāng)即a=2,b=1時(shí)取等號.選B.

評析在上述方法中,由均值不等式和配湊系數(shù)法,不妨設(shè)需要配湊的系數(shù)為x和y,則:

這里x,y,要滿足題目要求和均值不等式的取等條件,應(yīng)使即化簡可得解得或得到所需配湊的系數(shù),即

例5(2019年清華自招與領(lǐng)軍考試) 設(shè)則當(dāng)(x,y)∈D時(shí),( )

A.u的最小值為1 B.u的最大值為2

C.u的最小值為0 D.u的最大值為3

解答注意到與向量夾角的表達(dá)式很接近,令設(shè)兩向量起點(diǎn)都在原點(diǎn),則由于(x,y)∈D,即向量b的起點(diǎn)在原點(diǎn),終點(diǎn)落在圓面x2+(y-2)2≤1 內(nèi),如圖1所示.由于直線與圓x2+(y-2)2=1 相切,故〈a,b〉的范圍是故選A和B.

圖1

評析上述解法中,注意到與向量夾角的表達(dá)式之間的關(guān)系,可以為解決問題提供很好的幫助.類似的題目還有:

已知a,b,c,d ∈[2,4],求的最大值與最小值的和.(本題答案是.)

例6(2019年北大三位一體考試) 若a ＞b ＞0,且a3-b3=a2-b2,則a+b的取值范圍為( )

A.(0,1) B.C.(0,2) D.前三個(gè)答案都不對

解答由a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2),且a ＞b ＞0,有a2+ab+b2=a+b,即(a+b)2-(a+b) =ab,由可知,即因此選B.

評析在這里,通過因式分解達(dá)到化簡約束條件的目的,之后再利用基本不等式構(gòu)建起關(guān)于a+b的不等式,從而得到a+b的取值范圍,這樣的思路是非常重要的.

例7(2019年清華自招與領(lǐng)軍考試) 設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足x3+27y3+9xy=1,則( )

解答

因此有x+3y-1=0,或(x-3y)2+(3y+1)2+(x+1)2=0.

當(dāng)且僅當(dāng)x=3-3x即時(shí)取等號,此時(shí)

評析1.這里用到了因式分解

通過因式分解,得到了降次的目的,將約束條件簡化.

例8(2019年北大綜合營考試) 實(shí)數(shù)x,y,z滿足x+y+z=x2+y2+z2=2,求xyz的取值范圍.

解答解法一.由題,x+y=2-z,x2+y2=2-z2,由可知,因此另一方面,(z-1)2,故令f(z) =xyz=(z-1)2z=z3-2z2+z,則f′(z) =3z2-4z+1,令f′(z) =3z2-4z+1＞0,結(jié)合0≤則或因此,f(z) 在和上遞增,在上遞減,因此,(xyz)max=此時(shí)min{f(0),f(1)}=min{0,0}=0,此時(shí){x,y,z}={0,1,1}.

解法二1,設(shè)a=xyz,則x,y,z是一元三次方程t3-2t2+t-a=0的三根,設(shè)f(t) =t3-2t2+t-a,則f′(t)=3t2-4t+1,令f′(t) =0,得列表如下:0.所以a=xyz=的最小值為0,最大值為

t(-∞, 1 3) 1 3(1 3,1) 1(1,+∞) f′(t)+0-0+f(t) ↗極大值↘極小值↗

評析解法一構(gòu)建關(guān)于z的不等式求出z的取值范圍,同時(shí)通過消元法將xyz化為z的函數(shù),通過考慮函數(shù)在局部區(qū)間上的值域來解決問題:解法二注意到x+y+z,xy+yz+zx,xyz的關(guān)系,利用三次方程的韋達(dá)定理,構(gòu)造起關(guān)于t的一元三次方程,從而求出a=xyz的范圍.

為了獲得z的取值范圍,還可以通過韋達(dá)定理構(gòu)造出一個(gè)關(guān)于t的一元二次方程,使其兩根為x,y,通過考慮這個(gè)方程有解,獲得參數(shù)z的取值范圍:由題可有從而所以x,y是關(guān)于t的一元二次方程t2-(2-z)t+(z2-2z+1) =0的兩根,應(yīng)有Δ≥0,即(2-z)2-4(z2-2z+1)≥0,解得得到z的取值范圍、實(shí)現(xiàn)消元后,還可利用均值不等式求出最大值,此方法的不足之處是無法求得最小值:

以兩個(gè)約束條件為基礎(chǔ),可以得到三變量結(jié)構(gòu)式的范圍,這在近年北大清華的招生考試?yán)锍Ｓ谐霈F(xiàn),尤其是通過代數(shù)變形,建立起三變量對稱式a+b+c,ab+bc+ca,abc,a2+等結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系,再通過構(gòu)造不等式尋找范圍.大家在解答這類題目時(shí),務(wù)必注重代數(shù)變形、韋達(dá)定理構(gòu)、造方程、統(tǒng)一變量、構(gòu)造不等式等方法的應(yīng)用.

例9(2019年北大綜合營考試) 已知非負(fù)實(shí)數(shù)x,y滿足求的最小值.

解答設(shè)顯然取最小值時(shí)則問題轉(zhuǎn)化為:已知非負(fù)實(shí)數(shù)a,b滿足a+b=1,求的最小值.由柯西不等式,

當(dāng)且僅當(dāng)ab=0時(shí)取等號,所以所求最小值為當(dāng)或時(shí)取等號.

評析這里,換元的轉(zhuǎn)換較為巧妙,這可以與下題建立起聯(lián)系:已知求證:a2+b2=1.

事實(shí)上,12故等號必成立,因此即整理可得a2+b2=1.這是利用柯西不等式的取等條件證明不等式的經(jīng)典例題,如果基礎(chǔ)扎實(shí)且能聯(lián)想起來,對于完成此題是非常有幫助的.此外,解答中柯西不等式的部分(*號標(biāo)出),也可以按如下方法完成:1,則的最小值為( )

A.a2+b2+c2B.3(a2+b2+c2)

C.(a+b+c)2D.前三個(gè)答案都不對

解答由柯西不等式,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號.這里,3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號,且a2+b2+c2,(a+b+c)3與(a+b+c)2的大小關(guān)系取決于a+b+c的值,因此A,B,C 均不對,選D.

評析近年來,自招考試中對柯西不等式的考察有所加強(qiáng),備考學(xué)生平常可以多做一些練習(xí).

例11.（2019 北大三位一體考試）x,y,z為正實(shí)數(shù),且x+y+z=1,則的最大值為( )

解答令

等號成立當(dāng)且僅當(dāng)ab=0.

例10(2019北大三位一體考試)x,y,z ＞0且x+y+z=將代入,可計(jì)算得故排除選項(xiàng)B,C;將代入,可計(jì)算得大于A,B,C 三個(gè)選項(xiàng)的值,故選D.

評析其實(shí),取步長為0.00001的x,y,z值代入計(jì)算,可得最大值在0.0027 附近; 賦值得約為0.0023,較為接近.

本題用配湊系數(shù)法和拉格朗日乘數(shù)法等常規(guī)方法求解極其困難,但是可以很容易選出答案,在北京大學(xué)的自招題目中,常常出現(xiàn)這樣的問題,即通過特殊值或合理推斷排除選項(xiàng),從而選出正確答案.實(shí)際上,這也是解決實(shí)際問題時(shí)證明或證偽的常用方法,可以達(dá)到考察學(xué)生綜合能力、思辨能力的目的.這需要引起大家的重視.