重視數(shù)學文化 加強學科間滲透與實踐應用

廣東省惠州市第八中學

縱觀2019年的高考數(shù)學試題,我們可以發(fā)現(xiàn),這次高考突出了以數(shù)學核心素養(yǎng)為導向,將理性思維作為考查的重點目標,將基礎性和創(chuàng)新性作為考查的重點要求,重視數(shù)學文化,加強了各學科間知識的滲透,強化了數(shù)學知識在生活中的實際應用,其實踐性與可操作性更強,對學生知識的綜合考查也更為全面.

一、重視數(shù)學文化

數(shù)學文化是人類文化的重要組成部分.數(shù)學知識來源于生活實踐,經(jīng)不斷地抽象、發(fā)展與演繹,提煉總結上升為理論知識,反過來又更好地指導我們的生活實踐.我們在數(shù)學教學中,要重視數(shù)學文化的作用,經(jīng)常有意識地向學生介紹數(shù)學的發(fā)展歷史及趨勢,讓學生熟悉數(shù)學在人類社會發(fā)展中的作用,體會數(shù)學的美學價值,感悟數(shù)學研究的探索精神[1].在當前高考中,加強數(shù)學文化知識的考查,關注當前科學技術的發(fā)展,提高學生分析解決問題的能力,已成為考查必然的趨勢.

例1(2019年高考全國Ⅰ卷理科第6題) 我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化.每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成,爻分為陽爻“——”和陰爻“－－”,如圖就是一重卦.在所有重卦中隨機取一重卦,則該重卦恰有3個陽爻的概率是( )

解析習近平總書記指出“中國傳統(tǒng)文化博大精深,學習和掌握其中的各種思想精華,對樹立正確的世界觀、人生觀、價值觀很有益處.”中華文化源遠流長,古圣先賢的典籍浩如煙海,其中記載的某些先進知識與技術領先西方幾百甚至上千年.

本題以我國古代典籍《周易》中描述事物變化的“卦”為背景設置了排列組合試題,體現(xiàn)了中國古代的哲學思想.它主要考查利用兩個計數(shù)原理與排列組合計算古典概型的問題,滲透了對數(shù)學文化的考查及邏輯推理、數(shù)學運算等數(shù)學素養(yǎng).如果學生平時關注數(shù)學文化,尤其是中華傳統(tǒng)文化,了解有關“卦”符的知識,知道“太極生兩儀,兩儀生四象,四象生八卦”[2],清楚“卦”符一共有64 卦,則可通過大致的書寫,很輕松就可得到恰有3個陽爻的有20 種,迅速得到答案當然,如果對“卦”符不熟,我們也可在認真理解清楚題意的基礎上,利用排列組合的知識進行求解.

詳解依題可知,“重卦”中每一爻有2 種情況,一重卦的6 爻有26種情況,其中6 爻中恰有3個陽爻情況有C36,所以該重卦恰有3個陽爻的概率為故選A.

圖2

例2(2019年高考全國Ⅱ卷理科第16題) 中國有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體,但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”(圖2(左)).半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美.圖2(右)是一個棱數(shù)為48的半正多面體,它的所有頂點都在同一個正方體的表面上,且此正方體的棱長為1.則該半正多面體共有____個面,其棱長為____.

解析本題立意新穎,不少同學看到此題時數(shù)學興趣大增.它把我們平時在一些影視作品里所看到的印信實際化為一道題,讓人倍感新奇,滲透直觀想象、數(shù)學抽象與數(shù)學建模,促使學生關注生活實例,將數(shù)學文化在無形中滲入學生心田.題目本身其實很簡單,但是空間想象能力要求較高,物體位置還原是關鍵,將立體幾何平面化,即可快速還原圖形求解.

詳解由圖3可知第一層與第三層各有9個面,合計18個面;第二層有8個面,所以該半正多面體共有18+8=26個面.如圖3,設該半正多面體的棱長為x,則AB=BE=x,延長BC與FE延長線交于點G,與正方體棱交于點H,由半正多面體對稱性可知,ΔBGE為等腰直角三角形.因此BG=GE=所以即該半正多面體棱長為

圖3

例3(2019年高考全國Ⅱ卷理科第13題) 我國高鐵發(fā)展迅速,技術先進.經(jīng)統(tǒng)計,在經(jīng)停某站的高鐵列車中,有10個車次的正點率為0.97,有20個車次的正點率為0.98,有10個車次的正點率為0.99,則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為____.

解析如果說前面的幾道題側重于對古代文化知識的考查,這道題則要求學生關注現(xiàn)實社會和經(jīng)濟的發(fā)展,做到通曉古今,活學活用數(shù)學文化知識.本題考點為概率統(tǒng)計,側重統(tǒng)計數(shù)據(jù)的概率計算,滲透數(shù)學運算與數(shù)據(jù)分析等數(shù)學素養(yǎng).

詳解依題可得,經(jīng)停該站的高鐵列車正點車次數(shù)約為10×0.97+20×0.98+10×0.99=39.2,其中高鐵列車車次總數(shù)為10+20+10=40,所以經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點率約為

反思與策略我們要指導學生夯實數(shù)學基礎知識,重視數(shù)學文化,關注科技發(fā)展前沿.作為教師,要經(jīng)常有意識地向學生介紹數(shù)學的發(fā)展歷史及趨勢,穿插介紹一些數(shù)學名題.歷史上的數(shù)學名題往往蘊含著豐富而生動的人文背景,對數(shù)學的發(fā)展及教學都起過非常重要的推動作用.比如“兔子問題”(1240年斐波那契《計算之書》)、“正方形篩子問題”(1934年孟加拉人僧德拉姆發(fā)現(xiàn)) 等等[1].教師在授課時與學生一起探究這些數(shù)學名題,并結合當前科技的發(fā)展,編制一些例題,不斷強化學生數(shù)學抽象、數(shù)學建模與數(shù)學運算的數(shù)學素養(yǎng),提高分析解決問題的能力.

二、加強學科間知識的滲透

隨著高考改革的深入,各學科間的界限逐漸變得模糊,各學科間知識的聯(lián)系越來越緊密.我們要能指導學生將各科知識融會貫通,綜合應用,才能在高考中立于不敗之地.

例4(2019年高考全國Ⅱ卷理科第4題) 2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸,我國航天事業(yè)取得又一重大成就,實現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個關鍵技術問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系.為解決這個問題,發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”,鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日L2點的軌道運行.L2點是平衡點,位于地月連線的延長線上.設地球質量為M1,月球質量為M2,地月距離為R,L2點到月球的距離為r,根據(jù)牛頓運動定律和萬有引力定律,r滿足方程:設由于α的值很小,因此在近似計算中則r的近似值為( )

解析乍一看這么長的題干,里面又有那么多的物理名詞,不少同學望而生畏,頓時蒙圈:這究竟是在考數(shù)學,還是在考物理?但如果學生的物理知識掌握得比較好的話,見到這些諸如牛頓運動定律、萬有引力定律等常見的物理名詞也就不會發(fā)慌,并能快速鎮(zhèn)定求解.經(jīng)過認真研讀題目之后,我們會發(fā)現(xiàn),其實這道題真正要考查的不過是數(shù)學式子的變形及運算求解而已,是一道典型的數(shù)學題.

詳解由可得r=αR.因為所以即解得所以故選D.

反思與策略我們要指導學生強化學科間的知識滲透,綜合運用多學科知識.數(shù)學與諸多學科都能夠發(fā)生聯(lián)系,這也正是數(shù)學文化價值的一種體現(xiàn).當前數(shù)學與其他學科的界限在逐漸減弱,尤其是與物理、化學、生物等學科間的知識滲透更加明顯[3].比如物理上的力與功的計算,化學上的混合物間的物質的量的求解,生物學中的遺傳問題等,都蘊含了函數(shù)與方程、向量、排列組合等知識.如果學生缺乏相關的知識,不能做到融會貫通,在解題時必然受挫.

三、強化實踐應用

數(shù)學知識來源于生活,更要服務于生活.今年的高考題充分結合了數(shù)學知識與現(xiàn)實生活實踐,進一步強化了數(shù)學知識在現(xiàn)實生活中的應用,引導學生嘗試用所學的知識去解決現(xiàn)實問題,提高知識的應用能力.

例5(2019年高考全國Ⅰ卷理科第4題) 古希臘時期,人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是稱為黃金分割比例),著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外,最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是若某人滿足上述兩個黃金分割比例,且腿長為105 cm,頭頂至脖子下端的長度為26 cm,則其身高可能是( )

A.165 cm B.175 cm C.185 cm D.190 cm

解析黃金分割是我們所熟知的知識,但如何應用這個知識來解決現(xiàn)實生活中的問題?這道高考題給了我們很好的指導與方向性的作用.

詳解設此人脖子下端至肚臍的長為xcm,肚臍至大腿根的長為ycm,則解得x≈42.07cm,y≈5.15cm,又此人腿長為105 cm,頭頂至脖子下端的長度為26cm,所以其身高為26+x+y+105≈26+42.07+5.15+105=178.22(cm),接近175 cm.故選B.

圖4

例6(2019年高考全國Ⅰ卷理科第15題) 甲、乙兩隊進行籃球決賽,采取七場四勝制(當一隊贏得四場勝利時,該隊獲勝,決賽結束) ．根據(jù)前期比賽成績,甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”.設甲隊主場取勝的概率為0.6,客場取勝的概率為0.5,且各場比賽結果相互獨立,則甲隊以4:1 獲勝的概率是____.

解析現(xiàn)實生活中有很多比賽,我們平時幾乎只關注比賽結果,很少去研究比賽的勝負可能出現(xiàn)的情況,更甭提用所學的統(tǒng)計概率、排列組合等知識去研究比賽.

詳解前四場中有一場客場輸,第五場贏時,甲隊以4:1 獲勝的概率是0.63×0.5×0.5×2=0.108; 前四場中有一場主場輸,第五場贏時,甲隊以4:1 獲勝的概率是0.4×0.62×0.52×2=0.072.

綜上所述,甲隊以4:1 獲勝的概率是0.108+0.072 =0.18.

例7(2019年高考全國Ⅰ卷理科第21題) 為了治療某種疾病,研制了甲、乙兩種新藥,希望知道哪種新藥更有效,為此進行動物試驗.試驗方案如下:每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗.對于兩只白鼠,隨機選一只施以甲藥,另一只施以乙藥.一輪的治療結果得出后,再安排下一輪試驗.當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4 只時,就停止試驗,并認為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題,約定:對于每輪試驗,若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1 分,乙藥得-1 分;若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1 分,甲藥得-1分;若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0 分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β,一輪試驗中甲藥的得分記為X.

(1) 求X的分布列;

(2) 若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4 分,pi(i=0,1,···,8) 表示“甲藥的累計得分為i時,最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率,則p0=0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=0,1,···,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).假設α=0.5,β=0.8.

(i) 證明:{pi+1-pi}(i=0,1,···,7) 為等比數(shù)列;

(ⅱ) 求p4,并根據(jù)p4的值解釋這種試驗方案的合理性.

解析該題把一個實驗過程作為考題,要求學生在全面理解實驗操作過程的基礎上進行求解,其閱讀理解能力與實踐應用要求更高.學生如果平時沒有訓練過或做過此類的研究性課題,面對此類題可能會束手無策,丟分也就無法避免了.更為詳盡的解析請讀者參考[4].

反思與策略我們要指導學生加強實踐應用,積極參與研究性學習.教材里面有大量的閱讀材料、應用問題、實習作業(yè)以及研究性學習課題,供學生實踐研究,以期能更有效地培養(yǎng)學生的興趣,增強探究意識,解決現(xiàn)實生活中的一些問題.當我們在教學或復習完相關章節(jié)或知識點后,可以相應地布置一些研究性課題[5](如表1所示),讓學生嘗試應用所學的知識,培養(yǎng)數(shù)學抽象與數(shù)學建模的能力,提高數(shù)學知識的實踐應用能力.

表1 研究性課題

四、小結

總之,2019年的高考題給我們的學生提出了更高的能力要求.作為教師,我們需要更好地引導學生重視數(shù)學文化,關注社會生活與科技發(fā)展,加強各學科間的滲透教學,將知識融會貫通,同時通過開展研究性課題活動,提高實踐應用能力,爭取在高考中取得優(yōu)異的成績.