對一道質(zhì)量檢測試題的探究

福建省寧德市高級中學(xué)

題目(2018年合肥高三第二次質(zhì)檢第20題) 已知點(diǎn)A(1,0)和動點(diǎn)B,以線段AB為直徑的圓內(nèi)切于圓

(1) 求動點(diǎn)B的軌跡方程;

(2) 已知點(diǎn)P(2,0),Q(2,-1),經(jīng)過點(diǎn)Q的直線l與動點(diǎn)B的軌跡交于M,N兩點(diǎn),求證:直線PM,PN的斜率之和為定值.

本題的答案是:(1) 動點(diǎn)B的軌跡方程為:(2) 直線PM,PN的斜率之和為定值3.

對于本題(2),至目前筆者尚未發(fā)現(xiàn)有相關(guān)的探究文章.教學(xué)中,如果就題論題,解完即止,那就失去了一個很好的發(fā)現(xiàn)、探究的機(jī)會.我們可以引導(dǎo)學(xué)生對之進(jìn)行分析,適當(dāng)挖掘,提出有價值的問題進(jìn)行探究,導(dǎo)出有意義的結(jié)論,從中培養(yǎng)和提升學(xué)生的探究能力、創(chuàng)新能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng).

1.特殊引路猜測結(jié)論

不難發(fā)現(xiàn),本題(2)的定值3 取決于定點(diǎn)P(2,0)和Q(2,-1),其中點(diǎn)P(2,0) 為橢圓的右頂點(diǎn),點(diǎn)Q(2,-1) 為過橢圓的右頂點(diǎn)P(2,0)且垂直于x軸的直線x=2 上的一個定點(diǎn).本題(2)的結(jié)論表明:經(jīng)過定點(diǎn)Q(2,-1)的直線l與橢圓M,N兩點(diǎn),P為橢圓的右頂點(diǎn),則直線PM,PN的斜率之和為定值3.的右頂點(diǎn)P與過定點(diǎn)Q(2,-1)的直線l的內(nèi)在聯(lián)系,若把過橢圓右頂點(diǎn)P且垂直于x軸的直線x=2 上的特殊定點(diǎn)Q(2,-1) 換為直線x=2 上的任一個定點(diǎn)Q(2,n)(0),那么,直線PM,PN的斜率之和是否仍為某個定值?

探究1先以定點(diǎn)Q(2,1) 試驗(yàn).設(shè)直線l的方程為y=k(x-2)+1,代入得3x2+4(kx-2k+1)2-12=0,整理得(4k2+3)x2-8k(2k-1)x+4(2k-1)2-12=0.設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2).據(jù)韋達(dá)定理,得

又設(shè)直線PM,PN的斜率分別為k1,k2,則

即直線PM,PN的斜率之和為定值-3.由于定值由此猜測:對于直線x=2 上的任一個定點(diǎn)Q(2,n)(0),直線PM,PN的斜率之和為定值

經(jīng)探究,此猜測成立.其證明如下:

證明當(dāng)直線l垂直于x軸時,直線l的方程為x=2.顯然,直線l與橢圓相切,不合題意,故直線l不垂直于x軸.設(shè)直線l的方程為y=k(x-2)+n,以n代替上述探究中的“1”,可得進(jìn)而可得

即直線PM,PN的斜率之和為定值可見,猜測成立.特別地,當(dāng)n=-1時,直線PM,PN的斜率之和為定值3.這就是上述試題(2)的答案.

2.探究一般性結(jié)論

問題2由于橢圓的b2=3,故上述結(jié)論表明:對于橢圓右頂點(diǎn)P(2,0) 及定點(diǎn)Q(2,n)(0),直線PM,PN的斜率之和為定值那么,對于一般的橢圓右頂點(diǎn)P(a,0) 及定點(diǎn)Q(a,n)(0),直線PM,PN的斜率之和是否為定值

探究2經(jīng)探究,對于一般的橢圓及其右頂點(diǎn)P(a,0),直線l過定點(diǎn)Q(a,n)(0) 時,直線PM,PN的斜率之和為定值反之也真,且對左頂點(diǎn)P(-a,0) 也有相應(yīng)的結(jié)論.

結(jié)論1已知P為橢圓的右或左頂點(diǎn),常

問題1上述結(jié)論揭示了橢圓數(shù)0,不經(jīng)過點(diǎn)P的直線l與橢圓交于M,N兩點(diǎn),則

(1) 對于右頂點(diǎn)P(a,0),直線PM,PN的斜率之和為定值的充要條件是直線l過定點(diǎn)Q(a,n);

(2) 對于左頂點(diǎn)P(-a,0) 直線PM,PN的斜率之和為定值的充要條件是直線l過定點(diǎn)Q(-a,n).

證明先證明(1).充分性:若直線l過定點(diǎn)Q(a,n)(0),由直線l不經(jīng)過點(diǎn)P(a,0) 知直線l不垂直于x軸.設(shè)直線l的方程為y=k(x - a)+n,代入得b2x2+a2(kx+n - ak)2- a2b2=0,整理得(a2k2+b2)x2+2a2k(n-ak)x+a2(n-ak)2-a2b2=0.設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),據(jù)韋達(dá)定理,得

又設(shè)直線PM,PN的斜率分別為k1,k2,則

即直線PM,PN的斜率之和為定值

必要性:若直線PM,PN的斜率之和為定值顯然當(dāng)直線l垂直于x軸時,直線PM,PN的斜率之和k1+k2=0 與條件不符.故直線l不垂直于x軸,必與直線x=a相交.設(shè)其交點(diǎn)為(a,t)(顯然0,否則點(diǎn)P與點(diǎn)M或N重合),即直線l過點(diǎn)(a,t).據(jù)充分性所證,得直線PM,PN的斜率之和又由直線PM,PN的斜率之和為定值由此得t=n,即直線l過定點(diǎn)Q(a,n)(0).綜上,結(jié)論1(1) 得證.

類似地,對于結(jié)論1(2),只要把上述證明中的“a”換為“-a”,可得直線PM,PN的斜率之和為定值的充要條件是直線l過定點(diǎn)Q(-a,n).證畢.

3.探究結(jié)論的橫向推廣

問題3以上結(jié)論揭示了橢圓的右、左頂點(diǎn)P與相應(yīng)定點(diǎn)Q的內(nèi)在聯(lián)系,那么,雙曲線、拋物線是否具有類似性質(zhì)?

探究3經(jīng)探究,可得雙曲線、拋物線的結(jié)論.對于雙曲線只要把結(jié)論1 證明中的“b2”換為“-b2”,可得

結(jié)論2已知P為雙曲線的右或左頂點(diǎn),常數(shù)0.不經(jīng)過點(diǎn)P的直線l與雙曲線交于M,N兩點(diǎn),則

(1) 若P(a,0) 為右頂點(diǎn),則直線PM,PN的斜率之和為定值的充要條件是直線l過定點(diǎn)Q(a,n);

(2) 若P(-a,0) 為左頂點(diǎn),則直線PM,PN的斜率之和為定值的充要條件是直線l過定點(diǎn)Q(-a,n).

對于拋物線y2=2px(p ＞0) 可得

結(jié)論3已知O為拋物線y2=2px(p ＞0)的頂點(diǎn),常數(shù)0.不經(jīng)過點(diǎn)O的直線l與拋物線交于M,N兩點(diǎn),則直線OM,ON的斜率之和為定值的充要條件是直線l過定點(diǎn)Q(0,n).

證明充分性:若直線l過定點(diǎn)Q(0,n),由直線l不經(jīng)過點(diǎn)O知直線l不垂直于x軸.設(shè)直線l的方程為y=kx+n(0),代入y2=2px(p ＞0) 得(kx+n)2=2px,整理得k2x2-2(p-kn)x+n2=0.設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),據(jù)韋達(dá)定理,得又設(shè)直線OM,ON的斜率分別為k1,k2,則

必要性:若直線OM,ON的斜率之和為定值顯然當(dāng)直線l垂直于x軸時,直線OM,ON的斜率之和k1+k2=0,與條件不符.故直線l不垂直于x軸,必與直線x=0 相交.設(shè)其交點(diǎn)為(t,0)(顯然0 否則點(diǎn)O與點(diǎn)M或N重合),即直線l過點(diǎn)(t,0).據(jù)充分性所證,得直線OM,ON的斜率之和又由直線OM,ON的斜率之和為定值得由此得t=n,即直線l過定點(diǎn)Q(0,n).綜上可得直線OM,ON的斜率之和為定值的充要條件是直線l過定點(diǎn)Q(0,n).證畢.

以上通過對一道教學(xué)質(zhì)量檢測試題的分析,提出有意義的數(shù)學(xué)問題,探究新的結(jié)論,這有助于學(xué)生初步了解數(shù)學(xué)結(jié)論產(chǎn)生的過程,體驗(yàn)創(chuàng)造的激情,建立嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度和不怕困難的科學(xué)精神;有助于學(xué)生勇于質(zhì)疑和善于反思的習(xí)慣,培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、解決問題的能力;有助于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)造能力.