多站交叉定位相對(duì)GDOP及其測(cè)向站分布問題研究

羅雙喜

(江蘇自動(dòng)化研究所，江蘇 連云港 222061)

被動(dòng)組網(wǎng)探測(cè)系統(tǒng)能夠聯(lián)合利用多個(gè)站點(diǎn)的角度測(cè)量信息,實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的定位。常用的定位方法包括多站測(cè)向定位、多站測(cè)時(shí)差定位和測(cè)向—測(cè)時(shí)差聯(lián)合定位等。因?yàn)閷?duì)偵察設(shè)備要求相對(duì)簡(jiǎn)單,測(cè)向交叉定位方法在測(cè)向站網(wǎng)絡(luò)、電子偵察等方面得到了廣泛的應(yīng)用,定位算法已發(fā)展成熟。

眾所周知,在交叉定位系統(tǒng)中,目標(biāo)與測(cè)向站之間的相對(duì)位置分布對(duì)定位精度有重要影響。因而GDOP分析與測(cè)向站(測(cè)向站)優(yōu)化配置是交叉定位理論的重要研究?jī)?nèi)容。國(guó)內(nèi)外對(duì)兩個(gè)測(cè)向站的情況研究較多,例如文獻(xiàn)[1]對(duì)交叉定位誤差相對(duì)幾何稀釋度進(jìn)行了研究并得到了一些結(jié)果;文獻(xiàn)[2-3]從交匯角的角度對(duì)定位精度進(jìn)行了分析，文獻(xiàn)[4-5]對(duì)測(cè)向站的最優(yōu)分布問題進(jìn)行了研究,對(duì)多個(gè)測(cè)向站的情況則很少涉及,這正是本文將要重點(diǎn)關(guān)注解決的問題。

考慮m(m≥2)個(gè)測(cè)向站純方位交叉定位問題

(1)

其中,(xi,yi)T為第i個(gè)測(cè)向站的位置,βi和ei為第i個(gè)測(cè)向站的方位測(cè)量值和測(cè)量噪聲。根據(jù)Fisher信息理論,定位誤差協(xié)方差矩陣的克拉姆—?jiǎng)谙陆?CRLB)P的逆矩陣就是其信息矩陣[1]:

(2)

其中,ri為第i個(gè)測(cè)向站到目標(biāo)的距離(i=1～m)。

對(duì)于兩個(gè)測(cè)向站的情形,定位誤差方差為

(3)

其中,Tr(P)表示誤差方差矩陣P的跡。

(4)

其中,α1和α2為定位三角形中兩個(gè)測(cè)向站所在頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的三角形內(nèi)角,如圖1所示。

根據(jù)式(3),RGDOP達(dá)到最小的必要條件為

(5)

圖1 兩個(gè)測(cè)向站交叉定位示意圖

進(jìn)一步分析表明,方程組(5)有唯一解(sin2α1是某個(gè)三次多項(xiàng)式的特征根)。

1 兩站交叉定位RGDOP分析

從式(4)可以看出,兩個(gè)測(cè)向站與目標(biāo)連線之間的夾角越小,定位誤差越大。為保證足夠的交叉定位精度,通常要求參與定位測(cè)量的兩個(gè)測(cè)向站不能相距太近。因此,可以采用兩個(gè)測(cè)向站之間的距離L代替H來定義RGDOP。

如圖1所示,在定位三角形中,根據(jù)正弦定理可知

(6)

記f(α1,α2)=L-2Tr(P),則最小RGDOP問題可表示為如下形式的極小化問題:

(7)

該問題的最優(yōu)性必要條件為

(8)

當(dāng)比值λ在開區(qū)間(1/2,2)之內(nèi)時(shí),式(7)的最優(yōu)解由比值λ唯一確定:

(9)

(10)

即測(cè)量誤差大的測(cè)向站所對(duì)應(yīng)的定位三角形的內(nèi)角也大。

當(dāng)λ∈(1/2,2)時(shí),f(·,·)的最小值可表示為

(11)

其中,φ(λ)是目標(biāo)函數(shù)中分母項(xiàng)的倒數(shù):

(12)

函數(shù)φ(λ)在λ=1時(shí)取得最大值,在λ=1/2和λ=2時(shí)達(dá)到最小值1,如圖3所示。

圖隨λ變化曲線

圖3 φ(λ)-λ變化曲線

綜上所述,優(yōu)化問題(7)的最優(yōu)函數(shù)值為

(13)

2 多站RGDOP分析與測(cè)向站最優(yōu)分布

如上所述,對(duì)于雙站測(cè)向定位系統(tǒng),可以用目標(biāo)到測(cè)向站連線的距離或者測(cè)向站之間的距離來定義RGDOP。對(duì)于這兩種情況,理論上均可得到最小RGDOP值所對(duì)應(yīng)最優(yōu)解的解析表達(dá)式。但這兩種定義所采用的距離量都是利用三角定位原理計(jì)算出來的;對(duì)于多個(gè)測(cè)向站的情形,可計(jì)算得到的距離量不是唯一的,因此這兩種定義均難以推廣應(yīng)用于多站交叉定位系統(tǒng)。

對(duì)于形如式(1)的m個(gè)測(cè)向測(cè)向站的交叉定位問題,其定位誤差方差(下限)為

(14)

其中,

(15)

式(2)中,分子項(xiàng)可看作兩個(gè)距離量的平方的加權(quán)值。一個(gè)自然的思路就是采用如下定義的加權(quán)距離來定義RGDOP

(16)

對(duì)于兩個(gè)測(cè)向站的情況,從式(2)可以看出,當(dāng)且僅當(dāng)兩條方位線相互垂直時(shí)達(dá)到最小RGDOP值。對(duì)于多測(cè)向站的情況,此時(shí)有

(17)

顯然,此時(shí)最小RGDOP問題等價(jià)于式(17)右側(cè)表達(dá)式分母的極大化問題。進(jìn)一步分析可以發(fā)現(xiàn),該優(yōu)化問題存在鞍點(diǎn),但不是最(極)大值點(diǎn)。

仔細(xì)觀察式(14)的表達(dá)式,可利用如下形式的加權(quán)距離來定義RGDOP

(18)

將交叉定位均方誤差與距離R的比值作為相對(duì)幾何稀釋度,立即得到

(19)

等號(hào)成立的充要條件為C=S=0,即

(20)

下面按測(cè)向站個(gè)數(shù)分兩種情況進(jìn)行分析。

1)兩個(gè)測(cè)向站

對(duì)于兩個(gè)測(cè)向站的情形,容易導(dǎo)出式(20)的等價(jià)形式

(21)

其中,第一個(gè)條件意味著兩個(gè)測(cè)向站到目標(biāo)的距離與其方位測(cè)量精度的乘積相等,第二個(gè)條件表示兩個(gè)測(cè)向站與目標(biāo)的連線相互垂直。

2)多個(gè)測(cè)向站

對(duì)于多個(gè)測(cè)向站的情形(m>2),方程組(20)含有2m個(gè)未知變量、2個(gè)方程,因而方程組是欠定的,通常情況下有很多解。下面的例子說明,其最小RGDOP值是可以達(dá)到的。

假設(shè)m個(gè)測(cè)向站(測(cè)向站)的分布滿足條件

(22)

其中,θ=2π/m,δ為任意正常數(shù)。

式(22)中,第一個(gè)條件表示各測(cè)向站按方位“均勻”分布于以目標(biāo)為中心點(diǎn)的各方向上;第二個(gè)條件表示測(cè)向站到目標(biāo)的距離與該測(cè)向站的方位測(cè)量精度的乘積為常數(shù)。此時(shí)di=m-1(i=1～m)且有

(23)

即式(20)成立,從而達(dá)到最小RGDOP值。

(24)

上式表明,僅在某些特定條件下,方程組(20)可能無解,例如{ri,i=1～m}已知且存在k使得不等式(24)不成立時(shí)。下面對(duì)這種條件下的最優(yōu)RGDOP值及相應(yīng)的測(cè)向站分布問題進(jìn)行分析。

根據(jù)式(19)可知,最小RGDOP問題等價(jià)于極小化問題:

(25)

1)函數(shù)g(β1,…,βm)的角度“平移”不變性

容易驗(yàn)證,各測(cè)向站的方位測(cè)量值發(fā)生”平移”后,g(β1,…,βm)的函數(shù)值保持不變,即

g(β1-α,…,βm-α)=g(β1,…,βm)

(26)

其中,α為任意實(shí)數(shù)。

2)最優(yōu)函數(shù)值的范圍

因?yàn)榉匠探M(20)無唯一解,所以式(25)中的最小值大于零。另一方面,取

(27)

(28)

由此可見,最優(yōu)函數(shù)值在開區(qū)間(0,1)之內(nèi)。

3)最優(yōu)RGDOP值及測(cè)向站分布

(29)

(30)

(31)

(32)

其中,Δ?{1～m}表示Δ為{1～m}的任意真子集。

反之,若Δ0是式(32)右側(cè)組合優(yōu)化問題的最優(yōu)解,取

(33)

(34)

根據(jù)式(32)與(34),可知

(35)

相應(yīng)的最優(yōu)RGDOP值為

(36)

從上述分析過程可以看出,當(dāng)測(cè)向站與目標(biāo)之間的距離給定且方程組(20)無解時(shí),最優(yōu)RGDOP是式(36)右側(cè)組合優(yōu)化問題的最優(yōu)值,此時(shí)所有測(cè)向站分為兩組,每一組內(nèi)各測(cè)向站分布于同一方位線上,兩組之間的方位線相互垂直。這種測(cè)向站分布形式等效于兩個(gè)測(cè)向站,相當(dāng)于先將同一組內(nèi)各測(cè)向站的方位測(cè)量值進(jìn)行加權(quán)融合,然后利用融合后的兩個(gè)方位值進(jìn)行交叉定位。

3 結(jié)束語

本文首先分析了兩站測(cè)向定位系統(tǒng)的RGDOP定義,指出用于定義RGDOP的距離量可以是目標(biāo)到測(cè)向站連線的垂直距離,也可以是測(cè)向站之間的距離,或者測(cè)向站到目標(biāo)的距離的加權(quán)平均值。針對(duì)常用的兩個(gè)測(cè)向站幾何稀釋度定義難以推廣到多測(cè)向站的問題,提出了一種新的基于加權(quán)距離的RGDOP定義(該距離的平方的倒數(shù)是各測(cè)向站到目標(biāo)距離的平方的倒數(shù)的加權(quán)平均值)。無論是兩個(gè)測(cè)向站還是多個(gè)測(cè)向站,該定義具有統(tǒng)一的表達(dá)形式,且具有簡(jiǎn)潔的最小RGDOP值顯式計(jì)算公式,并分別給出了達(dá)到相應(yīng)最小RGDOP值的充要條件和實(shí)例。當(dāng)各測(cè)向站到目標(biāo)的距離已知但不滿足該充要條件時(shí),給出了最小RGDOP值的計(jì)算公式和相應(yīng)的測(cè)向站最優(yōu)分布結(jié)果。