基于CEEMDAN-NAR-ARIMA組合模型的橋梁結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測應(yīng)變預(yù)測

朱利明， 卓靜超， 邢世玲

(南京工業(yè)大學(xué)交通運(yùn)輸工程學(xué)院，南京 210000)

橋梁結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(structural health monitoring,SHM)系統(tǒng)近年來已經(jīng)成為了特大橋、大橋，甚至中小橋必不可少的一部分。SHM系統(tǒng)采集了大量監(jiān)測數(shù)據(jù)，而對(duì)這些數(shù)據(jù)的分析預(yù)測是對(duì)后續(xù)結(jié)構(gòu)評(píng)估和安全預(yù)警的重要一步。

橋梁SHM的監(jiān)測數(shù)據(jù)是以時(shí)間序列的形式存在的，因此對(duì)監(jiān)測數(shù)據(jù)的分析預(yù)測即對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行分析。唐浩等[1]對(duì)西安白蛇峪大橋SHM系統(tǒng)的應(yīng)變監(jiān)測數(shù)據(jù)建立了自回歸滑動(dòng)平均(autoregressive moving average，ARMA)模型，預(yù)測誤差基本小于10%，具有很好的預(yù)測效果。曾發(fā)明等[2]采用了乘積季節(jié)求和自回歸移動(dòng)平均(autoregressive integrated moving average，ARIMA)模型用準(zhǔn)確地預(yù)測了橋梁拱座位移。在橋梁SHM領(lǐng)域，監(jiān)測數(shù)據(jù)時(shí)間序列法分析預(yù)測大都還停留在經(jīng)典時(shí)間序列分析理論的應(yīng)用上，且多采用單一預(yù)測模型。由于外部或傳感器自身的原因難免會(huì)產(chǎn)生很強(qiáng)的非平穩(wěn)隨機(jī)波動(dòng)，并且存在模態(tài)混疊，此時(shí)采用經(jīng)典時(shí)間序列分析理論進(jìn)行分析預(yù)測就會(huì)產(chǎn)生比較大的誤差。帶自適應(yīng)噪聲的完全集成經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解 (complete ensemble empirical mode decomposition with adaptive noise，CEEMDAN)是目前最新的一種經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解方法[3],可以自適應(yīng)地按照不同頻帶將信號(hào)進(jìn)行分解，非常適用于非平穩(wěn)信號(hào)的分析處理。CEEMDAN方法由經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解 (empirical mode decomposition,EMD)[4]、集成經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解 (ensemble empirical mode decomposition,EEMD)[5]和互補(bǔ)集成經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解 (complementary ensemble empirical mode decomposition,CEEMD)[6]發(fā)展而來，有效解決了模態(tài)混疊的問題并減小了重構(gòu)誤差，節(jié)約了計(jì)算時(shí)間。

針對(duì)經(jīng)典時(shí)間序列分析理論在橋梁SHM監(jiān)測數(shù)據(jù)分析預(yù)測上的不足，提出了一種基于CEEMDAN-NAR-ARIMA的組合預(yù)測模型，并通過上海市某斜拉橋SHM實(shí)測應(yīng)變監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 預(yù)測理論分析

1.1 CEEMDAN信號(hào)分解方法

CEEMDAN是EMD方法的最新研究進(jìn)展，其具體算法如下：

對(duì)原始信號(hào)x(t)添加服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的白噪聲β0w(t)(i)，i=1,2,…,I，I為試驗(yàn)次數(shù)。

(1)對(duì)每一個(gè)x(t)(i)=x(t)+β0w(t)(i)，i=1,2,…,I都進(jìn)行EMD分解，得到第一模態(tài)分量函數(shù)imf1及余量r1：

(1)

r1=x(t)-imf1

(2)

式(1)中，E為EMD分解運(yùn)算符。

(2)對(duì)余量r1添加白噪聲β1E1[w(t)(i)]形成新信號(hào)，再進(jìn)行EMD分解得到新信號(hào)的第一模態(tài)分量函數(shù)作為原信號(hào)的第二模態(tài)分量函數(shù)imf2：

i=1,2,…,I

(3)

(3)對(duì)于k=2,3,…,K，計(jì)算第k個(gè)余量：

rk=rk-1-imfk

(4)

(4)在每一個(gè)階段都加入白噪聲形成一個(gè)新信號(hào)，并計(jì)算該信號(hào)的第一模態(tài)分量作為原信號(hào)新的模態(tài)分量，則第k階模態(tài)分量函數(shù)：

i=1,2,…,I

(5)

(5)重復(fù)(3)、(4)，直到余量不能被EMD進(jìn)一步分解，或滿足IMF條件或少于三個(gè)局部極值，此時(shí)即找出了所有的imf分量。

將所有分量進(jìn)行重構(gòu)得到原始信號(hào)：

(6)

CEEMDAN在計(jì)算過程中，允許在每一個(gè)分解階段添加的白噪聲中選擇合適的信噪比(signal-noise ratio，SNR)，所以計(jì)算過程是自適應(yīng)的。

1.2 排列熵算法

通過信號(hào)分解有可能得到大量的信號(hào)時(shí)間序列分量，這些分量的實(shí)際意義通常很難進(jìn)行判別。為了解決這一問題，引入了Bandt等[7]提出的一種算法—排列熵 (permutation entropy，PE)算法。PE算法可以很好地反映一個(gè)一維時(shí)間序列的復(fù)雜程度，具有計(jì)算簡單、抗干擾能力強(qiáng)、對(duì)時(shí)間序列變化敏感、分辨率高的優(yōu)點(diǎn)[8]。

PE算法的總體思路是計(jì)算時(shí)間序列的平均熵參數(shù)，熵值越大，時(shí)間序列的隨機(jī)性越強(qiáng)；反之，時(shí)間序列越規(guī)則。其算法的計(jì)算步驟如下：

(1)對(duì)一個(gè)一維時(shí)間序列{x(t),t=1,2,…,n}進(jìn)行相空間重構(gòu)，得到重構(gòu)矩陣：

(7)

式(7)中，j=1,2,…,n-(m-1)τ;τ為延遲時(shí)間;m為重構(gòu)維數(shù)。

(2)重構(gòu)的行向量Yj=[x(j),x(j+τ),…,x(j+(m-1)τ)],j1,j2,…,jm為各個(gè)元素所在列的索引，將其元素根據(jù)數(shù)值的大小按照升序進(jìn)行重新排序，如相鄰元素?cái)?shù)值相等，則按照索引的前后順序進(jìn)行排列，重構(gòu)矩陣的每組行向量均可以得到一組符號(hào)序列S(r)=(j1,j2,…,jm)，r=1,2,…,l。顯然符號(hào)序列S(r)排列數(shù)量l至多有m!種。

(3)計(jì)算每種符號(hào)序列S(r)出現(xiàn)的概率P1,P2,…,Pl，用Shannon熵的形式定義時(shí)間序列的排列熵Hp(m)為

(8)

(4)為了方便，通常將排列熵Hp(m)進(jìn)行歸一化。從式(8)可以得出，當(dāng)Pr=1/m!時(shí)，Hp(m)有最大值ln(m!)，因此對(duì)Hp(m)進(jìn)行歸一化：

(9)

歸一化排列熵Hp顯然在[0,1]范圍內(nèi)，Hp反映了時(shí)間序列的復(fù)雜程度，其值越小說明時(shí)間序列越規(guī)則，反之則越隨機(jī)。將信號(hào)分解產(chǎn)生的大量信號(hào)時(shí)間序列分量利用PE算法計(jì)算出各個(gè)分量的熵值，可以定量判斷各個(gè)分量的隨機(jī)性程度，并以此為依據(jù)對(duì)各個(gè)分量進(jìn)行分類，合并同類型的分量，來達(dá)到減少信號(hào)分量提高計(jì)算效率的目的。

1.3 ARIMA預(yù)測模型

ARIMA預(yù)測模型是時(shí)間序列分析最為經(jīng)典的理論，可以對(duì)非平穩(wěn)時(shí)間序列進(jìn)行預(yù)測。ARIMA(p,d,q)表現(xiàn)形式為

Φ(B)dxt=Θ(B)εt

(10)

ARIMA預(yù)測模型的一般步驟為：時(shí)間序列的平穩(wěn)性和純隨機(jī)性檢驗(yàn)，模型識(shí)別，參數(shù)估計(jì)，模型檢驗(yàn)和數(shù)據(jù)預(yù)測。其具體過程詳見文獻(xiàn)[9]。

圖2 基于CEEMDAN-NAR-ARIMA組合模型預(yù)測流程Fig.2 Prediction flow based on CEEMDAN- NAR-ARIMA combination model

1.4 NAR動(dòng)態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

非線性自回歸(nonlinear auto regressive，NAR)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型是一種用于分析時(shí)間序列的動(dòng)態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。之所以稱之為動(dòng)態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是相較于靜態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)而言的。一個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)包含輸入層、中間層和輸出層，如果在傳遞過程中信息只是單向的從輸入層傳遞到輸出層，中間信息沒有任何反饋，則該網(wǎng)絡(luò)是靜態(tài)的，比如常見的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；如果在傳遞過程中，輸出信息作為輸入信息反饋到上一層中，則該網(wǎng)絡(luò)是動(dòng)態(tài)的。動(dòng)態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的這一性質(zhì)，在時(shí)間系列分析中非常的適用。NAR動(dòng)態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)本質(zhì)上就是靜態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合輸出反饋，其網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 NAR動(dòng)態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)及工作流程Fig.1 NAR dynamic neural network structure and workflow

從圖1可以看出，NAR動(dòng)態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)由輸入層(input layer)、隱含滯后層(hidden layer with delays)、輸出層(output layer)構(gòu)成，W為連接權(quán)值，b為閾值，這一過程可以表述為

y(t)=f[y(t-1),y(t-2),…,y(t-l)]

(11)

式(11)中，l為滯后階數(shù)。從式(11)中可以看出，NAR動(dòng)態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)自回歸過程，輸出值取決于以往的值，而輸入值為前一次的輸出值。

2 組合模型的構(gòu)建

綜合上述的理論，將SHM監(jiān)測數(shù)據(jù)利用信號(hào)分析方法進(jìn)行分解與處理，然后用不同的模型對(duì)分解的信號(hào)進(jìn)行預(yù)測，最后將預(yù)測值疊加，得到組合模型的預(yù)測值。提出的基于CEEMDAN-NAR-ARIMA組合模型的應(yīng)變監(jiān)測數(shù)據(jù)分析預(yù)測流程如圖2所示。

3 工程實(shí)例

本案例選取了上海市某斜拉橋2017年7月1～5日的跨中腹板應(yīng)變健康監(jiān)測數(shù)據(jù)樣本，共720期數(shù)據(jù)，每期間隔10 min。采用這些數(shù)據(jù)樣本進(jìn)行應(yīng)變監(jiān)測數(shù)據(jù)的預(yù)測并驗(yàn)證提出的組合模型的適用性。圖3為某斜拉橋跨中應(yīng)變監(jiān)測數(shù)據(jù)時(shí)序圖。

圖3 應(yīng)變時(shí)序圖Fig.3 Strain sequence diagram

3.1 CEEMDAN信號(hào)分解

將應(yīng)變監(jiān)測數(shù)據(jù)看作為信號(hào)數(shù)據(jù)采用CEEMDAN方法對(duì)應(yīng)變時(shí)間序列進(jìn)行分解。圖4為分解的結(jié)果，得到7個(gè)imf分量和一個(gè)余量r，其按照頻率從高到低進(jìn)行排列，通過觀察亦可發(fā)現(xiàn)其隨機(jī)程度也是按照從高到低排列的。

圖4 應(yīng)變數(shù)據(jù)CEEMDAN分解Fig.4 CEEMDAN decomposition of strain data

3.2 PE重組

經(jīng)過CEEMDAN分解后得到的應(yīng)變分量比較多，而且性質(zhì)不夠明顯，只能夠定性判斷其隨機(jī)程度的高低，直接進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)測會(huì)增加計(jì)算難度和降低預(yù)測準(zhǔn)確性。因此，使用PE方法計(jì)算出各個(gè)分量的熵值，對(duì)其進(jìn)行分類重組。

分別計(jì)算每一個(gè)分量的熵值。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，PE計(jì)算參數(shù)重構(gòu)維數(shù)m通常為3～7，延遲時(shí)間τ通常為1[10]。本例中，m=3，τ=1，PE計(jì)算結(jié)果如圖5所示，各分量PE分別為0.995、0.863、0.692、0.535、0.463、0.430、0.408、0。

圖5 各分量的PEFig.5 PE of each component

從圖5可以看出，隨著頻率的減小，各分量的PE也逐漸減小，即隨機(jī)程度越來越小。其中imf1分量隨機(jī)程度最大，和imf2、imf3、imf4一同，PE呈現(xiàn)線性下降的趨勢，因此，可以把這些分量歸為一組進(jìn)行合并重組為c1；從圖5中可以看出imf5、imf6、imf7的PE呈現(xiàn)出一個(gè)較為平緩的平臺(tái)，其隨機(jī)程度較為類似，進(jìn)行合并重組為c2；余量r的PE=0，從圖4也能看出余量r為一組線性的序列，是十分平穩(wěn)的序列，所以可以把余量r單獨(dú)列為一組c3。進(jìn)行PE重組后的情況如圖6所示。

圖6 經(jīng)過PE重組后的新序列Fig.6 New sequence after PE recombination

從圖6中可以看出，重組后的分量已從原來的8個(gè)分量減少到了3個(gè)分量，大大減少了計(jì)算分析的數(shù)量。并且根據(jù)橋梁SHM的工程經(jīng)驗(yàn)，從圖6中還可以推測出各個(gè)分量所代表的實(shí)際物理含義。分量c1代表了隨機(jī)程度高的監(jiān)測數(shù)據(jù)，可以近似地認(rèn)為是車輛荷載、風(fēng)荷載等一系列隨機(jī)荷載的應(yīng)變響應(yīng)集合；分量c2有著明顯的周期性，周期與日照一致，因此可以認(rèn)為其代表日照變化導(dǎo)致的溫度應(yīng)變響應(yīng)；而分量c3為線性的時(shí)間序列，顯然可以認(rèn)為其為季節(jié)性整體溫度變化產(chǎn)生的溫度應(yīng)變響應(yīng)。

3.3 組合模型預(yù)測

從圖6中可以看出，分量c1的隨機(jī)程度最強(qiáng)，分量c2呈現(xiàn)出比較明顯的周期性，而分量c3則近似為線性。因此分別采用NAR動(dòng)態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型、ARIMA模型和線性回歸模型對(duì)分量c1、c2、c3進(jìn)行50期長度的預(yù)測。

NAR動(dòng)態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模參數(shù)如下：數(shù)據(jù)劃分為70%訓(xùn)練數(shù)據(jù)、15%測試數(shù)據(jù)、15%驗(yàn)證數(shù)據(jù)；滯后階數(shù)為7階；隱含層神經(jīng)元個(gè)數(shù)為13個(gè)；訓(xùn)練方法為Levenberg-Marquardt算法；訓(xùn)練次數(shù)為50次。ARIMA模型采用ARIMA(1,1,0)模型，自回歸階數(shù)p為1，差分次數(shù)d為1，移動(dòng)平均階數(shù)q為0。

基于CEEMDAN-NAR-ARIMA組合模型應(yīng)變預(yù)測結(jié)果和實(shí)測值對(duì)比如圖7所示。

為了驗(yàn)證基于CEEMDAN-NAR-ARIMA的組合模型的有效性，還同時(shí)分別建立了單一ARIMA模型、單一NAR模型和基于CEEMDAN的單一ARIMA模型對(duì)應(yīng)變健康監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測。4種模型的預(yù)測結(jié)果如圖7所示。

圖7 各模型應(yīng)變預(yù)測圖Fig.7 Strain prediction of each model

3.4 預(yù)測結(jié)果分析

圖8為4種預(yù)測模型的預(yù)測效果對(duì)比圖。從中可以比較明顯地看出，單一ARIMA模型、單一NAR模型的預(yù)測效果較差，經(jīng)過CEEMDAN處理后的2個(gè)預(yù)測模型的預(yù)測效果較好，其中組合模型的預(yù)測效果最佳。

圖8 4種預(yù)測模型應(yīng)變預(yù)測圖Fig.8 Strain prediction of 4 models

為了進(jìn)一步定量的判斷各個(gè)模型的預(yù)測效果，采用均方誤差(mean square error，MSE)、平均絕對(duì)百分比誤差(mean absolute percent error，MAPE)和可決系數(shù)(coefficient of determination，R2)三種統(tǒng)計(jì)學(xué)指標(biāo)來評(píng)價(jià)模型的性能。MSE代表實(shí)測值與預(yù)測值點(diǎn)與點(diǎn)之間的誤差，可以比較不同預(yù)測模型的穩(wěn)定性，是應(yīng)用最廣的指標(biāo)之一；MAPE不僅考慮預(yù)測值與真實(shí)值的誤差，還考慮了誤差與真實(shí)值之間的比例，是一個(gè)預(yù)測準(zhǔn)確性的衡量指標(biāo)；R2表示總離差平方和中可以由回歸平方和解釋的比例,代表回歸效果的好壞。MSE、MAPE越小，R2越大，說明模型的預(yù)測性能越好。

表1為4種模型統(tǒng)計(jì)學(xué)指標(biāo)的對(duì)比表。從表中可以看出，基于CEEMDAN-NAR-ARIMA的組合模型預(yù)測效果最好，基于CEEMDAN的單一ARIMA模型次之，而ARIMA模型、NAR模型性能最差，其R2統(tǒng)計(jì)指標(biāo)為0.12左右，說明50期長度的預(yù)測是沒有意義的。對(duì)比結(jié)果表明，在對(duì)橋梁SHM應(yīng)變監(jiān)測數(shù)據(jù)的預(yù)測中，經(jīng)典的時(shí)間序列預(yù)測模型已經(jīng)不能滿足預(yù)測精度的要求，而組合模型能夠更加精確地對(duì)非平穩(wěn)的應(yīng)變監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測，具有明顯的優(yōu)勢。

表1 6種預(yù)測模型的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)對(duì)比

4 結(jié)論

基于EMD方法的最新成果CEEMDAN方法，并結(jié)合NAR動(dòng)態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和經(jīng)典時(shí)間序列分析理論的ARIMA模型組成組合了預(yù)測模型，應(yīng)用于橋梁SHM應(yīng)變監(jiān)測數(shù)據(jù)的分析預(yù)測上，經(jīng)過上海市某斜拉橋SHM系統(tǒng)實(shí)測應(yīng)變數(shù)據(jù)驗(yàn)證，得到如下結(jié)論。

(1)CEEMDAN方法可以有效地分解出橋梁的隨機(jī)荷載響應(yīng)、周期性溫度響應(yīng)和整體升降溫響應(yīng)。

(2)通過PE算法可以有效地減少CEEMDAN方法分解出的imf分量，大大減小了計(jì)算量。

(3)將NAR動(dòng)態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與經(jīng)典時(shí)間序列ARIMA預(yù)測模型進(jìn)行組合，相比單一模型，有效地提高了預(yù)測模型的準(zhǔn)確性。