能量法結(jié)合徑向條分法求邊坡穩(wěn)定性

莫智豪，劉保東，朱劍宏，饒平平

（1.上海理工大學(xué) 環(huán)境與建筑學(xué)院，上海 200093；2.南寧城建管廊建設(shè)投資有限公司，南寧 530219；3.廣西路橋工程集團(tuán)有限公司，南寧 530011）

邊坡是一種自然地質(zhì)體，在受到外界因素影響時(shí)，邊坡土體會(huì)沿著一些不穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)面滑動(dòng)，導(dǎo)致邊坡的失穩(wěn)。邊坡穩(wěn)定性分析是巖土工程的重要研究?jī)?nèi)容，已經(jīng)形成一個(gè)應(yīng)用研究課題，其穩(wěn)定性問(wèn)題涉及采礦工程、水利和水電工程等許多工程領(lǐng)域，近年來(lái)受到越來(lái)越多的關(guān)注。邊坡穩(wěn)定性分析方法有很多種，其中基于定性判斷的工程地質(zhì)分析方法得到廣泛應(yīng)用，還有基于剛性定量計(jì)算的極限平衡法和基于數(shù)值計(jì)算的強(qiáng)度折減法[1-2]。工程地質(zhì)分析方法主要分析了邊坡的成因歷史，研究了邊坡所處的地質(zhì)環(huán)境、形成的地質(zhì)歷史，以及影響邊坡穩(wěn)定性的變形破壞軌跡之間的關(guān)系，從而對(duì)其穩(wěn)定狀況作出宏觀評(píng)價(jià)[3]。極限平衡法基于Mohr-Coulomb 屈服準(zhǔn)則和靜力平衡，根據(jù)邊坡潛在破壞面上抗滑力與滑動(dòng)力的比值來(lái)確定邊坡穩(wěn)定系數(shù)，然后合理評(píng)估斜坡的穩(wěn)定性[4]。強(qiáng)度折減法是有限元中引入的計(jì)算安全系數(shù)的方法，通過(guò)對(duì)邊坡土體參數(shù)進(jìn)行折減，使邊坡達(dá)到最終的極限平衡狀態(tài)，根據(jù)該方法可以得到安全系數(shù)和潛在破壞面的位置[5]。

以上的邊坡穩(wěn)定性分析方法均在工程上有廣泛的應(yīng)用，且獲得了工程界的認(rèn)可，但各自均存在明顯的不足。工程地質(zhì)法類比條件因地而異，經(jīng)驗(yàn)性強(qiáng)，沒(méi)有數(shù)量界限，需要具有豐富的工程實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)的地質(zhì)工作者才能作出較為準(zhǔn)確的判斷。通過(guò)極限平衡法難以確定破壞面的形狀和位置，這給邊坡的穩(wěn)定性分析帶來(lái)了很大的困難。此外，極限平衡法沒(méi)有考慮土的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，計(jì)算的土體條間力或滑塊底部的反作用力不能代表滑坡滑動(dòng)時(shí)的真實(shí)力，這給邊坡穩(wěn)定性分析帶來(lái)了很大的不確定性，無(wú)法判斷邊坡的變形破壞模式。在強(qiáng)度折減法中，降低巖土強(qiáng)度參數(shù)c和φ的方法缺乏理論依據(jù)，并且以相同的比例減小，還是以不同的比例折減等問(wèn)題仍缺乏合理依據(jù)，但目前還是得到了廣泛的應(yīng)用與認(rèn)可。

本文使用的能量法從極限分析的上限定理演化而來(lái)。極限分析方法最初由Drucker 等[6]提出，為斜坡的穩(wěn)定性分析開(kāi)辟了一條新的道路。Chen[7]首次討論了巖土結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性分析，并討論了極限分析在巖土邊坡穩(wěn)定性中的應(yīng)用。Michalowski[8-9]使用楔形體和豎直條塊平動(dòng)破壞機(jī)構(gòu)以及轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)構(gòu)對(duì)邊坡進(jìn)行了上限分析。王根龍等[10-12]采用塑性極限分析法結(jié)合條分法和等分圓弧面法對(duì)土坡進(jìn)行了分析。趙煉恒[13]、陳靜瑜等[14]基于極限分析上限定理，考慮孔隙水壓力的影響，提出折線形滑面邊坡穩(wěn)定性計(jì)算模型。易慶林等[15]根據(jù)虛擬滑動(dòng)位移，結(jié)合地下水的影響，提出滑坡穩(wěn)定性計(jì)算模型。

本文從能量守恒的角度出發(fā)，建立了邊坡穩(wěn)定性計(jì)算模型。針對(duì)滑動(dòng)面為對(duì)數(shù)螺旋面的邊坡，采用徑向條分法，虛設(shè)虛擬轉(zhuǎn)角位移，考慮塊體間相對(duì)位移產(chǎn)生的內(nèi)部耗能，計(jì)算滑坡重力勢(shì)能和滑面摩擦內(nèi)能的變化，使用強(qiáng)度折減法計(jì)算邊坡穩(wěn)定性。

1 基本原理和物理模型

1.1 基本原理

利用滑坡體和滑動(dòng)面作為能量守恒法判斷邊坡穩(wěn)定狀態(tài)的研究系統(tǒng)。假設(shè)滑動(dòng)面上的土體沿對(duì)數(shù)螺旋滑動(dòng)面的極點(diǎn)O產(chǎn)生非常小的角位移dθ，將其稱為虛擬轉(zhuǎn)角位移。在此過(guò)程中，重力勢(shì)能的變化量為ΔU，抗滑力（滑動(dòng)面上黏聚阻力與滑動(dòng)摩擦力）做功ΔW1，塊體分界面上由于土體自適應(yīng)變形而相對(duì)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的內(nèi)能耗散（黏聚阻力所做的功）為ΔW2。

采用強(qiáng)度折減法[16]對(duì)土體參數(shù)c和φ進(jìn)行折減，安全系數(shù)為

式中：c，tanφ為實(shí)際土體強(qiáng)度參數(shù)；cm，tanφm為維持邊坡穩(wěn)定的極限強(qiáng)度參數(shù)。土體參數(shù)折減后邊坡達(dá)到極限平衡狀態(tài)，即

1.2 物理概化模型

本文所研究的邊坡穩(wěn)定性計(jì)算物理模型如圖1所示。圖中：滑動(dòng)面處于對(duì)數(shù)螺旋曲線AB上；點(diǎn)O是對(duì)數(shù)螺旋線的極點(diǎn)；點(diǎn)A是破壞面與邊坡上部平面的交點(diǎn)；點(diǎn)B為坡腳位置；θA和θB分別為A點(diǎn)和B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的角度；r0為A點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的初始極徑；H為邊坡高度；α為坡角。假設(shè)邊坡土體服從相關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則和Mohr-Coulomb 屈服準(zhǔn)則的理想塑性變形假設(shè)，根據(jù)Chen[7]所述，采用對(duì)數(shù)螺旋面作為邊坡的滑動(dòng)面。

圖1 邊坡模型Fig.1 Slope model

對(duì)數(shù)螺旋滑動(dòng)面曲線方程為

根據(jù)極限分析上限法的原理和許多大型滑坡的運(yùn)動(dòng)特征研究，土體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，下部土體的運(yùn)動(dòng)速度通常大于上部土體的運(yùn)動(dòng)速度，在此基礎(chǔ)上，如果仍然采用垂直條分法或斜條分法顯然不合適。本文采用徑向條分法研究滑動(dòng)面上的土體，即從極點(diǎn)O中提取出一系列射線，將滑動(dòng)面上的土體根據(jù)角度等分成n個(gè)小滑塊，每個(gè)小塊所占角度，如圖2 所示。

圖2 徑向條分后的邊坡模型Fig.2 Slope model after radial slicing

本文對(duì)能量法邊坡穩(wěn)定性計(jì)算模型進(jìn)行了以下簡(jiǎn)化假設(shè)：a.假設(shè)各塊體為剛體；b.所研究的邊坡滑動(dòng)面為對(duì)數(shù)螺旋滑動(dòng)面；c.邊坡在產(chǎn)生虛擬轉(zhuǎn)角位移dθ的過(guò)程中，由于自適應(yīng)變形各塊體間產(chǎn)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)；d.不考慮相鄰塊體間土體自重所產(chǎn)生的摩擦耗能。

2 穩(wěn)定性計(jì)算模型

2.1 重力勢(shì)能改變量

如圖2 所示，采用徑向條分法將邊坡對(duì)數(shù)螺旋滑動(dòng)面上部的土體根據(jù)極角等分為n個(gè)塊體。根據(jù)塊體重心的變化來(lái)計(jì)算塊體重力做功，對(duì)于扇形結(jié)構(gòu)其重心在其角平分線上，所以分析中取塊體中線進(jìn)行計(jì)算。假設(shè)每個(gè)塊體的重心位于塊體中心線（塊體對(duì)應(yīng)角度的角平分線）的中點(diǎn)，第i個(gè)塊體的質(zhì)量為Gi。當(dāng)某一時(shí)刻產(chǎn)生虛擬轉(zhuǎn)角位移dθ時(shí)，第i個(gè)滑塊的重心的位移為dSi，其對(duì)應(yīng)的豎向位移為dyi，則重力勢(shì)能改變量為

將圖形簡(jiǎn)化為如圖3 所示，計(jì)算第i個(gè)塊體的重力勢(shì)能改變量。∠QOA=θA，第i個(gè)塊體重心線與水平線OQ之間的夾角為位移后新重心線與水平線OQ之間的角度為

圖3 滑塊的重心位移示意圖Fig.3 Sketch of slider center under gravity changes

設(shè)初始重心Pi到極點(diǎn)O的長(zhǎng)度為′，在轉(zhuǎn)動(dòng)角度dθ后，Pi與之間的距離為

轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為dθ，由圖中幾何關(guān)系可知：

其中

所以

2.2 滑動(dòng)面抗滑力做功

由于滑動(dòng)面上部土體產(chǎn)生位移，且存在黏聚力和滑動(dòng)摩擦力，則滑動(dòng)面上會(huì)產(chǎn)生能量耗散。

a.滑動(dòng)摩擦力做功

式中，F(xiàn)為滑塊自重在滑動(dòng)面上的法向分力與摩擦系數(shù)μ的乘積，dsi=ridθ，r為滑塊中線的長(zhǎng)度。

b.黏聚力做功

式中，c為土體的黏聚力，Δs=riΔθ（當(dāng)n足夠大時(shí)，滑塊在滑動(dòng)面上的部分可近似為圓弧形曲線）。

對(duì)第i個(gè)塊體進(jìn)行計(jì)算，如圖4 所示。

對(duì)其運(yùn)動(dòng)幾何圖進(jìn)行分析，如圖5 所示。

由幾何關(guān)系可得

圖4 滑動(dòng)面上內(nèi)能耗散示意圖Fig.4 Energy dissipation on the sliding surface

圖5 滑塊摩擦耗能計(jì)算幾何分解圖Fig.5 Geometric diagram of the calculated energy dissipation due to slider friction

2.3 相鄰塊體接觸面上的能量耗散

由于采用對(duì)數(shù)螺旋滑動(dòng)面，其上部土體會(huì)產(chǎn)生變形，塊體間會(huì)產(chǎn)生能量耗散，如圖6 所示。

圖6 塊體徑向位移Fig.6 Radial displacement of the slider

所以第i個(gè)塊體與第i+1 個(gè)塊體接觸面相對(duì)位移

由于n個(gè)塊體間存在n-1 個(gè)接觸面，所以

3 算例分析

3.1 算例概況

為了說(shuō)明本文的合理性，采用工程算例進(jìn)行驗(yàn)證。如圖7 所示邊坡，設(shè)邊坡土體均質(zhì)且服從Mohr-Coulomb 屈服準(zhǔn)則，土坡高度H=20 m，坡角α=60°，土體重度γ=19 kN/m3，摩擦角φ=24°，黏聚力c=35 kPa。

圖7 穩(wěn)定性計(jì)算模型Fig.7 Stability calculation model

3.2 計(jì)算方法

采用徑向條分法，將對(duì)數(shù)螺旋滑動(dòng)面上部土體根據(jù)角度等分為20 份，每份對(duì)應(yīng)極角為（θA-θB）/20。假設(shè)虛擬轉(zhuǎn)角位移dθ=0.01°。將推導(dǎo)出來(lái)的表達(dá)式使用Matlab 軟件進(jìn)行編程，使用fmincon優(yōu)化程序?qū)Ρ磉_(dá)式中的變量θA和θB進(jìn)行優(yōu)化，得到最小安全系數(shù)FS，根據(jù)其對(duì)應(yīng)的參數(shù)θA和θB即可得到最危險(xiǎn)滑動(dòng)面。

3.3 計(jì)算結(jié)果

通過(guò)本文介紹的能量法，計(jì)算求得穩(wěn)定性系數(shù)FS=1.228。使用極限分析法對(duì)該算例進(jìn)行建模和計(jì)算，得出穩(wěn)定性系數(shù)FS=1.240，能量法和極限分析法的計(jì)算結(jié)果之間的差異為0.97%。通過(guò)本文方法得到的計(jì)算結(jié)果與常用的邊坡穩(wěn)定性極限分析方法獲得的結(jié)果差別不大且更加準(zhǔn)確，說(shuō)明了本文方法的正確性，對(duì)邊坡的穩(wěn)定性評(píng)估及設(shè)計(jì)施工有一定的參考價(jià)值。

4 參數(shù)影響分析

對(duì)于給定的邊坡模型，不同的參數(shù)對(duì)計(jì)算結(jié)果有很大的影響?；谒憷? 中的邊坡穩(wěn)定性計(jì)算模型，分析了條塊數(shù)n、虛擬轉(zhuǎn)角位移dθ、黏聚力c、摩擦角φ和坡角α對(duì)穩(wěn)定系數(shù)的影響，并將計(jì)算結(jié)果與極限分析上限法得出的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比分析。

4.1 條塊數(shù)n 對(duì)穩(wěn)定系數(shù)的影響

從理論上來(lái)說(shuō)，將滑動(dòng)土體進(jìn)行分塊，考慮其塊體間摩擦耗能，是對(duì)計(jì)算結(jié)果的進(jìn)一步優(yōu)化，且條塊數(shù)n取值越大，結(jié)果越精確。對(duì)算例1 中的邊坡穩(wěn)定性計(jì)算模型，分別取條塊數(shù)n為5,10,15,20,25,30，模型中其他參數(shù)不變，計(jì)算邊坡穩(wěn)定性系數(shù)，其計(jì)算結(jié)果如圖8 所示。從圖中可知，隨著條塊數(shù)n的增大，邊坡穩(wěn)定性系數(shù)FS逐漸減小，且當(dāng)n大于一定值后，邊坡穩(wěn)定性系數(shù)FS趨向于收斂。由于計(jì)算過(guò)程比較復(fù)雜，因此在后面的例子中，模型的徑向條塊數(shù)均為20。

圖8 條塊數(shù)對(duì)穩(wěn)定系數(shù)的影響Fig.8 Influence of number of slider blocks on the stability factor

4.2 虛擬轉(zhuǎn)角位移dθ 對(duì)穩(wěn)定系數(shù)的影響

從理論上來(lái)說(shuō)，虛擬轉(zhuǎn)角位移dθ數(shù)值越小，計(jì)算結(jié)果越精確。采用算例1 中的計(jì)算模型，令dθ取值0.001°,0.01°,0.1°,1°,10°，且其他參數(shù)保持不變，計(jì)算邊坡穩(wěn)定性，結(jié)果如圖9 所示。從計(jì)算結(jié)果可以看出，在一定范圍內(nèi)，dθ取值越小，邊坡穩(wěn)定性系數(shù)FS越小，但當(dāng)dθ小于某一數(shù)量級(jí)后，F(xiàn)S基本上趨于穩(wěn)定。根據(jù)上述計(jì)算所得的結(jié)果，當(dāng)dθ＜0.1°后FS值基本趨于穩(wěn)定，所以后面的算例中均按照dθ=0.01°進(jìn)行計(jì)算。

圖9 轉(zhuǎn)角位移對(duì)穩(wěn)定系數(shù)的影響Fig.9 Influence of virtual displacement on the stability factor

4.3 物理參數(shù)c,φ,α 對(duì)穩(wěn)定系數(shù)的影響

采用算例中的數(shù)據(jù)，分別對(duì)c,φ,α取不同值計(jì)算穩(wěn)定性系數(shù)，并與極限分析法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比分析。如圖10～12 所示。

圖10 黏聚力對(duì)穩(wěn)定系數(shù)的影響Fig.10 Influence of cohesive force on the stability factor

圖11 內(nèi)摩擦角對(duì)穩(wěn)定系數(shù)的影響Fig.11 Influence of friction angel on the stability factor

根據(jù)圖10 中的曲線，能量法與極限分析法計(jì)算出來(lái)的穩(wěn)定系數(shù)相差不大，但能量法計(jì)算出來(lái)的結(jié)果更小。其變化規(guī)律基本一致，穩(wěn)定系數(shù)隨著c值的增大而增大。根據(jù)圖11 中的曲線，邊坡穩(wěn)定系數(shù)隨著土體內(nèi)摩擦角φ值的增大而增大，但能量法的計(jì)算結(jié)果要小于極限分析法的計(jì)算結(jié)果。根據(jù)圖12 中的曲線，能量法與極限分析法穩(wěn)定系數(shù)均隨坡角的增大而減小，且其減小規(guī)律基本一致，但能量法的計(jì)算結(jié)果更優(yōu)。

圖12 坡角對(duì)穩(wěn)定系數(shù)的影響Fig.12 Influence of slope angel on the stability factor

4.4 能量法與極限分析法的對(duì)比

本文的能量法與極限分析法有很多異同點(diǎn)。相同點(diǎn)是兩者滑動(dòng)面均為對(duì)數(shù)螺旋滑動(dòng)面，且將滑動(dòng)面上部劃分的土體視為剛性塊體。不同點(diǎn)主要在于建模方法的不同，在建立邊坡物理計(jì)算模型過(guò)程中，能量法采用徑向條分法。從極點(diǎn)引出一系列射線，將滑動(dòng)面上部土體劃分為若干徑向條塊，考慮塊體與塊體間的能量損耗，使安全系數(shù)更為精確。

從本質(zhì)上來(lái)講，極限分析法是通過(guò)構(gòu)建虛擬速度場(chǎng)，從功率的角度來(lái)求解穩(wěn)定系數(shù)，而能量法是假設(shè)虛擬角度，從能量的變化角度來(lái)求解。上述兩種方法都是考慮滑塊體的重力和滑動(dòng)面上的抗滑力來(lái)進(jìn)行計(jì)算，故而兩種方法的計(jì)算結(jié)果應(yīng)該是較為接近的。不同的是能量法通過(guò)虛擬轉(zhuǎn)角位移dθ，計(jì)算力與位移的乘積，位移前后邊坡?tīng)顟B(tài)不同。極限分析法通過(guò)虛設(shè)角速度ω，計(jì)算內(nèi)外做功功率，邊坡?tīng)顟B(tài)未發(fā)生變化。

5 結(jié)論

本文根據(jù)邊坡失穩(wěn)破壞過(guò)程中土體的運(yùn)動(dòng)模式，采用徑向條分法和對(duì)數(shù)螺旋滑動(dòng)面建立物理模型，虛設(shè)滑動(dòng)面上部土體轉(zhuǎn)角位移，采用能量法對(duì)邊坡的穩(wěn)定性進(jìn)行計(jì)算，總結(jié)出以下幾點(diǎn)：

a.通過(guò)建立能量法邊坡穩(wěn)定模型，考慮相鄰塊體間的能量損耗，推導(dǎo)出滑動(dòng)土體重力做功公式ΔU、滑動(dòng)面上內(nèi)能耗散公式ΔW1以及各塊體間的內(nèi)能耗散公式ΔW2。結(jié)合強(qiáng)度折減法，計(jì)算邊坡穩(wěn)定系數(shù)FS。通過(guò)算例計(jì)算，并與極限分析法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證。結(jié)果表明考慮內(nèi)部能量耗散的能量法計(jì)算結(jié)果比極限分析法計(jì)算結(jié)果更優(yōu)。

b.通過(guò)采用不同的土體參數(shù)與邊坡幾何參數(shù)，運(yùn)用能量法與極限分析法分別計(jì)算穩(wěn)定性系數(shù)，對(duì)比分析了各參數(shù)對(duì)邊坡穩(wěn)定性系數(shù)的影響規(guī)律，可為工程實(shí)踐以及設(shè)計(jì)施工提供參考。

c.采用能量法計(jì)算邊坡穩(wěn)定性時(shí)，條塊數(shù)n越大，計(jì)算結(jié)果越精確，虛擬轉(zhuǎn)角位移dθ越小，計(jì)算結(jié)果越精確，邊坡安全系數(shù)隨著內(nèi)黏聚力與內(nèi)摩擦角增大而增大，隨著坡角的增大而減小。

d.本文分析結(jié)果對(duì)工程實(shí)踐有一定參考價(jià)值，但也存在不足。本文所研究的滑動(dòng)面為對(duì)數(shù)螺旋滑動(dòng)面，但實(shí)際中滑動(dòng)面更為復(fù)雜。在計(jì)算塊體間摩擦耗能時(shí)，只考慮了土體黏聚力的影響，未考慮各塊體內(nèi)部土壓力造成的內(nèi)能耗散。