對(duì)空間碎片近距隨遇懸停的控制方法及懸停燃耗分析

中國(guó)空間技術(shù)研究院 通信衛(wèi)星事業(yè)部，北京 100094

對(duì)空間碎片的檢視、抓捕或操控需要使用“懸?！奔夹g(shù)，使任務(wù)航天器相對(duì)于空間碎片在指定坐標(biāo)系中，長(zhǎng)期穩(wěn)定地靜止于某個(gè)固定點(diǎn)[1]。該固定點(diǎn)可能位于空間碎片軌道平面內(nèi)，也可能位于軌道平面外。這種懸停不僅有利于開展類似于“鳳凰計(jì)劃[2]”的空間碎片再利用任務(wù)，還將有利于開展大規(guī)模航天器的在軌組裝。

對(duì)于定點(diǎn)懸停，林來(lái)興[3]等研究了衛(wèi)星對(duì)空間目標(biāo)懸停的軌道動(dòng)力學(xué)與控制方法，主要解決了面內(nèi)懸停的控制建模。程博[4]等推導(dǎo)了航天器多脈沖懸停速度脈沖控制量的計(jì)算方法，相比于近距檢視操控中的懸停要求，懸停精度仍有待提升。對(duì)于懸?？刂贫裕@然更關(guān)心控制能量消耗[5]。另一方面，國(guó)內(nèi)外的大多數(shù)研究主要集中在懸停控制方法方面，通過控制所需速度增量計(jì)算燃耗量[6-9]，對(duì)于燃耗的數(shù)學(xué)模型、不同燃耗速率分布區(qū)域的分析尚不夠精準(zhǔn)和直觀。如朱亞文、閆野[5,9]等研究了圓軌道或橢圓軌道條件下，對(duì)空間碎片任意位置懸停的非開普勒軌道開環(huán)控制方案及控制加速度，并給出了千米級(jí)距離上的懸停燃耗分析。

然而，在超近距離(15 m以內(nèi)[10])高分辨率檢視或精細(xì)操控任務(wù)中，為建立嚴(yán)格相對(duì)靜止條件，要求任務(wù)星定點(diǎn)精度高(誤差不大于0.1 m)，定點(diǎn)的時(shí)間長(zhǎng)，燃耗預(yù)測(cè)精度高。此外，考慮到任務(wù)星可能會(huì)從多種方位觀測(cè)或操控碎片本體，可定點(diǎn)的懸停位置具有全方位懸停要求和安全距離約束。因此，有必要整體研究任務(wù)星的懸停位置、懸停時(shí)長(zhǎng)、懸停燃耗三者的耦合關(guān)系，并進(jìn)一步研究在全方位懸停要求和安全距離約束條件下懸停的最省與最費(fèi)燃耗問題。這一研究將可用于指導(dǎo)在軌操控任務(wù)星的總體設(shè)計(jì)，牽引多種在軌操作手段，提升在軌服務(wù)任務(wù)多樣性能力。

本文研究任務(wù)星采用連續(xù)推力作用下進(jìn)行近距離(100～1 m)任意定點(diǎn)懸停(稱為隨遇懸停)的抵近控制模型及相應(yīng)的燃耗數(shù)學(xué)模型。文章首先分析了近距定點(diǎn)懸?？刂频目尚行院涂刂品椒?。然后根據(jù)控制方法分析了懸停任務(wù)星的推控要求。接下來(lái)分析了近距隨遇懸停的可能的推控分系統(tǒng)配置，最后建立了長(zhǎng)時(shí)近距隨遇懸停的燃耗的解析模型及燃耗速率變化的解析模型。

1 懸?？尚行苑治?/h2>

1.1 定點(diǎn)懸停的可行性分析

圖1 空間碎片軌道坐標(biāo)系Fig.1 Illustration of hovering in close range to space debris

(1)

x(t)=cx,y(t)=cy,z(t)=cz

所需要的軌道保持力為[12]:

(2)

式(2)說(shuō)明，隨遇定點(diǎn)懸停是可行的。關(guān)于定點(diǎn)保持所需的控制力，在不計(jì)擾動(dòng)的情況下，可以得出結(jié)論：1)懸停星所需保持力沿兩正交方向，分別為軌道系下的X向和Z向；2)保持力的大小與質(zhì)量、相對(duì)位置坐標(biāo)值成正比。

1.2 近距隨遇懸停的控制方法設(shè)計(jì)[13-14]

(3)

式(1)、式(3)兩式相減，得到：

(4)

(5)

定常性含義為：僅與空間碎片的軌道高度和期望保持的相對(duì)位置有關(guān)。常值項(xiàng)推力可表述為：

(6)

(7)

則狀態(tài)方程演化為：

(8)

(9)

式中：K為反饋系數(shù)矩陣。則狀態(tài)方程演化為：

(10)

其中，

綜上，結(jié)合式(7)分析，任務(wù)星的推力控制需求為：1)長(zhǎng)時(shí)連續(xù)推力；2)可變推力。相應(yīng)地，控制量應(yīng)由兩部分推控貢獻(xiàn)組成：反饋?zhàn)兺屏统Ｖ淀?xiàng)推力。

2 近距懸停控制的連續(xù)推力需求分析[14]

考慮橢圓軌道因素和攝動(dòng)因素后，常值項(xiàng)推力和反饋?zhàn)兺屏⑾鄳?yīng)發(fā)生一定變化，以下開展詳細(xì)分析。

2.1 常值項(xiàng)推力量級(jí)分析

以下分析常值項(xiàng)推力量級(jí)，以及考慮橢圓軌道因素后，常值項(xiàng)推力的需求變化。參照式(6)，空間碎片星上單位質(zhì)量所需常值項(xiàng)推力具有如下形式：

(11)

很容易看出單位質(zhì)量的常值項(xiàng)推力與懸停位置的X向、Z向距離的關(guān)系為線性相關(guān)，且相互獨(dú)立。單位質(zhì)量的常值項(xiàng)推力隨空間碎片的地心距的關(guān)系如圖2所示。

從圖2可以看出：1)在一定軌道高度，F(xiàn)xconst、Fzconst隨相對(duì)懸停的距離增大而線性增加；2)若要保持一定懸停距離，F(xiàn)xconst、Fzconst隨著軌道高度的升高而降低。考慮式(6)，有：

(12)

常值項(xiàng)推力僅分量Fxc、Fzc存在。Fxc、Fzc除具有與Fxconst、Fzconst一致的特性之外，還與任務(wù)星質(zhì)量線性相關(guān)。

圖2 任務(wù)星單位質(zhì)量所需的保持常值項(xiàng)推力Fig.2 Constant thrust for per kilogram of hovering satelllite

表1比較了不同任務(wù)星質(zhì)量的條件下，F(xiàn)xc、Fzc在近地軌道和同步軌道的量級(jí)變化。

這里應(yīng)注意，所謂“常值項(xiàng)推力”意指質(zhì)量不變、定點(diǎn)位置不變時(shí)推力保持常值。若考慮質(zhì)量發(fā)生變化，如燃料消耗過程，該推力將發(fā)生變化。變化規(guī)律與質(zhì)量呈線性關(guān)系，如式(12)所示。

2.2 橢圓軌道因素對(duì)常值項(xiàng)推力的影響分析

|Fxconst|min≤|Fxconst|≤|Fxconst|max

(13)

|Fzconst|min≤|Fzconst|≤|Fzconst|max

(14)

由前分析已知，F(xiàn)xconst、Fzconst的大小在同步軌道高度達(dá)到最小值，在軌道高度的下限(如近地軌道)達(dá)到最大值，因此可認(rèn)為：

(15)

表1 不同任務(wù)星質(zhì)量的條件下，F(xiàn)xc、Fzc在近地軌道和同步軌道的量級(jí)

(16)

因此，空間碎片軌道為橢圓軌道、且近地點(diǎn)高于300 km的情況下，F(xiàn)xc、Fzc將分別在表1所示的每一項(xiàng)懸停位置的最大、最小值之間變化。

2.3 攝動(dòng)因素分析

任務(wù)星受到擾動(dòng)，會(huì)偏離需要的保持位置。在軌航天器受到的擾動(dòng)力主要包括地球J2項(xiàng)攝動(dòng)、月球引力、光壓力等，其中地球J2項(xiàng)攝動(dòng)的影響較為明顯[15-17]。

對(duì)于近距懸停的軌道控制，任務(wù)星偏離期望保持位置的運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象，主要由空間碎片受到的J2項(xiàng)攝動(dòng)力和任務(wù)星受到的J2項(xiàng)攝動(dòng)力的差造成[12]。由于任務(wù)星在空間碎片附近很小范圍內(nèi)(100 m內(nèi))懸停，地球J2項(xiàng)攝動(dòng)施加在空間碎片和任務(wù)星的差別,與近距懸停所需的控制力相比很小，故可認(rèn)為在懸停保持時(shí)，引起任務(wù)星偏離某平衡位置的擾動(dòng)力很小[12,15-17]。以下以ΔaJ2表示J2項(xiàng)攝動(dòng)力在任務(wù)星和空間碎片上引起的加速度的差。

日、月對(duì)于同步軌道衛(wèi)星的攝動(dòng)力與地球中心引力之比分別是0.75×10-5和1.63×10-5 [15-17]。100 m近距域內(nèi)，任務(wù)星的地心距和空間碎片的地心距的差達(dá)到最大值100 m時(shí)，有：rs=rm±0.1 km，此時(shí)太陽(yáng)攝動(dòng)力在任務(wù)星和空間碎片上引起的加速度的差為：

7.964 4×10-12m/s2

(17)

同理，100 m近距域內(nèi)，任務(wù)星由于受到月球攝動(dòng)力引起的、與空間碎片的加速度差最大為：

1.730 9×10-11m/s2

(18)

根據(jù)式(5)，可知在考慮攝動(dòng)因素時(shí)的狀態(tài)方程為：

(19)

τ=Δamoon+Δasun+ΔaJ2

(20)

可見，由日月攝動(dòng)力引起的相對(duì)加速度，與近距懸停所需的連續(xù)推力引起的加速度相比，具有較小的量級(jí)(以100 m處近距懸停為例，連續(xù)推力引起的加速度為10-6m/s2量級(jí)，見表1)，故研究動(dòng)力學(xué)控制(式(8))時(shí)，將日月攝動(dòng)力、J2項(xiàng)攝動(dòng)力視作小量級(jí)的擾動(dòng)予以忽略是合理的。

綜上，在進(jìn)行近距懸停的動(dòng)力學(xué)分析時(shí)，地球J2攝動(dòng)和日月引力攝動(dòng)可以視為小量級(jí)擾動(dòng)予以忽略。

2.4 攝動(dòng)因素對(duì)反饋?zhàn)兺屏Φ挠绊懛治?/h3>

在不計(jì)擾動(dòng)時(shí)，任務(wù)星在期望保持的懸停位置處，僅需常值項(xiàng)推力即可實(shí)現(xiàn)定點(diǎn)懸停。

考慮擾動(dòng)因素影響，在任務(wù)星受到小量級(jí)的擾動(dòng)(日月攝動(dòng)及J2項(xiàng)攝動(dòng))之后，反饋控制推力糾正由擾動(dòng)引起的位置偏差，在長(zhǎng)時(shí)間的懸停過程中，反饋控制將體現(xiàn)出利亞普諾夫漸進(jìn)穩(wěn)定的效果[13]，任務(wù)星將保持在平衡位置附近小的臨域之內(nèi)，由此可認(rèn)為反饋控制推力與擾動(dòng)力是處于同量級(jí)的。

綜上，定點(diǎn)懸停所需連續(xù)推力的主要部分為：常值項(xiàng)推力。常值項(xiàng)推力量級(jí)與懸停位置和空間碎片實(shí)時(shí)的軌道高度相關(guān)(見表1)。

3 近距隨遇懸停的燃耗分析

3.1 定點(diǎn)懸停的應(yīng)用場(chǎng)景設(shè)想

定點(diǎn)懸停將會(huì)用于對(duì)空間碎片詳察檢視或抓捕操控任務(wù)中。根據(jù)前述的分析，采用狀態(tài)反饋，任務(wù)星需要具有測(cè)量相對(duì)位置坐標(biāo)的能力。這一能力需求可以由具有測(cè)距、測(cè)方位角能力的相對(duì)測(cè)量系統(tǒng)滿足，通過測(cè)距、測(cè)方位角可以推算得出相對(duì)位置坐標(biāo)。

相對(duì)位置坐標(biāo)的精度將高于定點(diǎn)懸停的控制精度。如果定點(diǎn)懸停精度要求嚴(yán)苛，如誤差不高于0.1 m，則相對(duì)位置坐標(biāo)的測(cè)量誤差將必須低于0.1 m， 由此，高精度定點(diǎn)懸停對(duì)相對(duì)距離和相對(duì)方位提出了高精度測(cè)量的要求。

相對(duì)距離可以由激光測(cè)距獲得，在100 m以內(nèi)范圍，激光測(cè)距可以獲得厘米級(jí)的誤差。而要獲取相對(duì)方位信息，任務(wù)星可以通過單目高分辨率相機(jī)成像或雙目相機(jī)觀測(cè)[18]，獲得空間碎片視線方位信息，該視線方位信息在相機(jī)坐標(biāo)系下表述，再進(jìn)一步通過坐標(biāo)變換可將視線方位信息轉(zhuǎn)換至任務(wù)星軌道系下。任務(wù)星軌道坐標(biāo)系與空間碎片的軌道坐標(biāo)系保持一致。通過任務(wù)星軌道系下空間碎片的視線方位信息可得出空間碎片軌道系下，任務(wù)星的相對(duì)方位信息。此外，任務(wù)星上光學(xué)系統(tǒng)單目或雙目相機(jī)還可兼顧對(duì)目標(biāo)的監(jiān)視觀測(cè)等任務(wù)[19]。

因此，任務(wù)星上配置激光測(cè)距儀和高分辨率相機(jī)或雙目相機(jī)是一種有效的工程方案。其中相機(jī)的分辨率指標(biāo)要求源于視線方位信息的測(cè)量精度要求，將在后續(xù)工作中繼續(xù)開展研究論證。

3.2 長(zhǎng)時(shí)懸停推控分系統(tǒng)配置

懸停燃耗由推力器長(zhǎng)時(shí)點(diǎn)火引起。而推力的主要組成部分為常值項(xiàng)推力,故常值項(xiàng)推力引起的燃料消耗將占據(jù)懸停期間燃料消耗的絕大部分。

根據(jù)式(6)中的推力表述，懸停星需要沿軌道坐標(biāo)系X向和Z向的常值推力。工程中可采用設(shè)計(jì)方案如下：沿X向、Y向和Z向分別布置推力器噴管，Y向噴管僅提供反饋?zhàn)兺屏?，X向和Z向噴管提供常值推力和反饋?zhàn)兺屏?。推控噴管配置示意如圖3所示。根據(jù)第2節(jié)的分析，長(zhǎng)時(shí)定點(diǎn)懸停中，任務(wù)星將保持在平衡位置附近小的臨域之內(nèi)，可認(rèn)為反饋控制推力與擾動(dòng)力是處于同量級(jí)的[14]。這一量級(jí)遠(yuǎn)小于常值項(xiàng)推力。噴管推力的主要組成部分應(yīng)為常值項(xiàng)推力，圖3中標(biāo)示的常值項(xiàng)推力分量分別為Fxc、Fzc。

圖3 任務(wù)星推控噴管配置示意Fig.3 Illustration of nozzle configuration for close-range hovering satellite

實(shí)現(xiàn)連續(xù)可調(diào)小推力是懸?？刂品椒▽?duì)推力提出的要求。達(dá)到10-2～10-7N量級(jí)(見表1)的連續(xù)可調(diào)節(jié)推力將面臨一定工程難度。一種工程上較為成熟的方法是脈寬調(diào)制控制。在懸停時(shí)間內(nèi)，脈寬調(diào)制的推力總沖量與連續(xù)可變推力的總沖量相等。因此，不論在工程中采用連續(xù)可調(diào)節(jié)小推力還是采用脈寬調(diào)制，均可以根據(jù)連續(xù)可變小推力計(jì)算懸停總沖量。

噴管的連續(xù)可變小推力主要組成部分應(yīng)為常值項(xiàng)推力，懸?？刂迫己闹饕沙Ｖ淀?xiàng)推力引起。因此，可以根據(jù)常值項(xiàng)推力計(jì)算懸?？倹_量。

懸?？倹_量可表述為：

(21)

3.3 長(zhǎng)時(shí)懸停燃耗建模

根據(jù)常值項(xiàng)推力計(jì)算懸?？倹_量實(shí)際為理想條件下的沖量需求。由理想條件下的沖量需求可以計(jì)算理想條件下的燃耗需求。懸停時(shí)長(zhǎng)為t的懸停燃耗可表述為：

(22)

式中：ISP為推控發(fā)動(dòng)機(jī)比沖；g為重力加速度。

考慮攝動(dòng)等因素時(shí)，由于應(yīng)對(duì)攝動(dòng)的反饋控制推力遠(yuǎn)小于常值項(xiàng)推力，應(yīng)對(duì)攝動(dòng)的燃料量將遠(yuǎn)小于理想條件下的燃耗需求。因此，上式可近似作為任務(wù)星的懸?？刂迫己男枨?。

瞬時(shí)質(zhì)量流量：

(23)

將式(6)代入式(23),得到：

(24)

隨著懸停時(shí)間的增加，燃料不斷消耗，整星質(zhì)量ms(t)逐漸較小：

(25)

式中：m0為懸停開始時(shí)刻的總質(zhì)量。于是得到：

(26)

初始條件：

(27)

對(duì)式(26)求導(dǎo)數(shù)得：

(28)

(29)

解微分方程得:

(30)

意味著：

(31)

式(31)具有解析形式，精確描述了燃耗速率的變化規(guī)律。求解該微分方程，并利用初始條件式(27)得：

Δm(t)=

(32)

懸停開始后，在t時(shí)刻消耗掉的燃料由式(32)計(jì)算得出。式(32)具有解析形式，精確描述了懸停期間燃耗的變化規(guī)律。式(32)可變換為以下形式：

(33)

式(33)表明，懸停星的燃料占比決定了在空間碎片附近某處的懸停時(shí)長(zhǎng)。用于懸停的燃料占比越大，越有利于長(zhǎng)時(shí)間懸停。

根據(jù)式(33)，如果設(shè)定任務(wù)星懸停位置為x0=-30 m,z0=10 m，則可得出10天時(shí)間跨度上的懸停燃耗趨勢(shì)，如圖4所示。其中，任務(wù)星在懸停初始時(shí)刻的總質(zhì)量2 000 kg(參照美MEV飛行器)，控制推力器的比沖設(shè)定為300 s。

圖4 任務(wù)星懸停位置為x0=-30 m,z0=10 m時(shí)，在240 h內(nèi)的燃耗分析Fig.4 Fuel consumption of a hovering satellite in the vicinity of a debris with x0=-30m,z0=10m

式(31)～(33)可用于指導(dǎo)近距懸停衛(wèi)星的總體設(shè)計(jì)。

綜上，分析得出以下結(jié)論：

1)懸停控制燃耗主要由常值項(xiàng)推力引起；

2)懸?？刂迫己目捎山馕鰯?shù)學(xué)模型描述(式(32))；

3)用于懸停的燃料占比決定任務(wù)星在空間碎片附近某處的懸停時(shí)長(zhǎng)(式(33))；

4)比沖越大，將使得懸停燃耗速率更低(數(shù)學(xué)關(guān)系見式(31))，有利于延長(zhǎng)懸停時(shí)間；

5)減小懸停位置的X向和Z向距離，將使得懸停燃耗速率更低(數(shù)學(xué)關(guān)系見式(31))，有利于延長(zhǎng)懸停時(shí)間；

6)軌道高度越高，懸停燃耗速率越低(數(shù)學(xué)關(guān)系見式(31))，越有利于延長(zhǎng)懸停時(shí)間。

3.4 滿足安全距離和懸停方位要求的懸停燃耗

開展懸停星燃耗分析時(shí)，應(yīng)主要分析在半徑為r0的球面之外的空間中，不同懸停位置的懸停燃耗速率。設(shè)：

P0=(|3x0|+|z0|)

(34)

則式(34)表征了軌道坐標(biāo)系中的一簇等值面，等值面與Y軸平行，形成了四棱柱形態(tài)的包絡(luò)空間。根據(jù)式(31)，對(duì)于一定值的P0，在四棱柱與Y軸平行的4個(gè)平面上任意點(diǎn)懸停(見圖5)，具有相同的燃耗速率函數(shù)。4個(gè)平面與Y軸距離越接近，則燃耗速率函數(shù)值越低。以下稱與Y軸平行的4個(gè)平面為懸停燃耗等速面。

圖5 安全距離與四棱柱形包絡(luò)空間示意Fig.5 Illustration of safe distance and enveloping space of quadrangular prism

將懸停燃耗等速面上的懸停燃耗速率記為CH。根據(jù)式(31)，有：

(35)

在四棱柱內(nèi)部、球面外部空間的任意點(diǎn)處懸停，懸停燃耗速率標(biāo)記為CI，?t，必然有CI≤CH。相比于在四棱柱外部空間的任意點(diǎn)處懸停，懸停燃耗速率標(biāo)記為CO，?t，必然有CO≥CH。

取四棱柱平面及其內(nèi)部、球面及其外部空間為懸?？臻g，則懸?？臻g已經(jīng)能都滿足安全距離約束和懸停方位要求。在懸?？臻g外部的點(diǎn)的懸停燃耗速率將大于懸?？臻g內(nèi)部點(diǎn)的懸停燃耗速率。CH為安全距離約束和懸停方位要求同時(shí)得以滿足時(shí)，允許的最小燃耗速率函數(shù)。

綜上，考慮懸停星的燃耗需求，有理由以切點(diǎn)處懸停的燃耗速率CH為基準(zhǔn)，結(jié)合懸停時(shí)長(zhǎng)要求，分析安全距離約束和懸停方位要求同時(shí)得以滿足時(shí)，懸停燃耗需求的下限。

式(35)中，P0滿足以下幾何關(guān)系(見圖6)：

考慮到l22=l12+r02，可得：

(36)

進(jìn)一步可得：

(37)

(38)

綜上，關(guān)于懸停位置的討論可得出以下初步分析結(jié)論：

1)懸停星檢視與操控，懸停星應(yīng)設(shè)立安全距離約束；

2)懸停星檢視與操控，具有在空間碎片附近全方位懸停的需求；

3)安全距離約束和懸停方位要求同時(shí)得以滿足時(shí)，存在允許最小燃耗速率函數(shù)(式(37))，可用于指導(dǎo)分析懸停所需推進(jìn)劑的下限值(式(38))。

圖6 安全距離與四棱柱形包絡(luò)空間截面Fig.6 Cross section of safe distance and enveloping space of quadrangular prism

4 結(jié)束語(yǔ)

本文分析了近距離隨遇懸停的控制方法，根據(jù)控制方法分析了近距懸停的推力需求：常值推力和反饋?zhàn)兺屏?。接著分析了近距隨遇懸停的應(yīng)用場(chǎng)景、推控分系統(tǒng)可能的配置，建立了長(zhǎng)時(shí)近距隨遇懸停的燃耗變化的數(shù)學(xué)模型，以及滿足安全距離和懸停方位要求的懸停燃耗模型。綜上，本文得出以下結(jié)論：

1)基于狀態(tài)反饋理論可設(shè)計(jì)空間碎片近距范圍內(nèi)任意點(diǎn)的定點(diǎn)懸?？刂品椒?式(7)(9)),具有長(zhǎng)時(shí)、連續(xù)、變推力等特點(diǎn)。所需控制量為常值項(xiàng)推力和反饋?zhàn)兺屏刂屏康暮汀?/p>

2)常值項(xiàng)推力引起的燃料消耗將占據(jù)懸停期間燃料消耗的絕大部分。

3)懸?？刂迫己募叭己乃俾士捎山馕鰯?shù)學(xué)模型描述(式(31)(32))。這兩項(xiàng)數(shù)學(xué)模型精確描述了懸停燃耗及燃耗速率受到：懸停時(shí)長(zhǎng)、懸停開始時(shí)刻的整星總質(zhì)量、發(fā)動(dòng)機(jī)比沖、懸停位置、空間碎片軌道高度等要素的影響，可用于指導(dǎo)任務(wù)星燃耗預(yù)測(cè)和總體設(shè)計(jì)。

4)懸停星在安全距離約束和懸停方位要求同時(shí)得以滿足時(shí)，存在允許最小燃耗速率函數(shù)(式(37))，可用于指導(dǎo)分析懸停所需推進(jìn)劑的下限值(式(38))。

后續(xù)將結(jié)合具體任務(wù)，研究懸停期間姿態(tài)軌道一體控制方法，結(jié)合具體案例分析懸停燃耗特性。