王光宇
摘? ?要:FIR與IIR頻率選擇濾波器的設(shè)計,被廣泛應(yīng)用于數(shù)字信號處理領(lǐng)域之中。文章以雷達(dá)回波信號的數(shù)字處理為例,首先分別設(shè)計FIR,IIR濾波器完成了對信號特定頻率分量的濾除。進(jìn)而,針對IIR濾波器的非線性相位,基于最優(yōu)化設(shè)計全通系統(tǒng)實現(xiàn)了相位補償,并對FIR,IIR濾波器進(jìn)行了綜合比較。
關(guān)鍵詞:無限沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器;有限沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器;全通系統(tǒng);相位補償
根據(jù)沖激響應(yīng)的長度是否有限,可以將數(shù)字濾波器劃分為無限沖激響應(yīng)(Infinite Impulse Response,IIR)濾波器和有限沖激響應(yīng)(Finite Impulse Response,F(xiàn)IR)濾波器。根據(jù)實際要求,合理選擇濾波器的類別,在實現(xiàn)預(yù)期效果的同時盡可能降低成本,具有重要現(xiàn)實意義。
1? ? 雷達(dá)回波信號的模擬
假設(shè)雷達(dá)回波信號包含載頻50 MHz,帶寬10 MHz,時寬10 μs的線性調(diào)頻脈沖信號和20 MHz,80 MHz的正弦波,即:
2? ? 數(shù)字濾波器設(shè)計的基本理論
根據(jù)廣義線性相位系統(tǒng)的充分條件[1]知,h[n]為有限長偶對稱序列,因此FIR數(shù)字濾波器具有線性相位、恒定群延遲,不會造成信號的相位失真。
對于頻率選擇性IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計,通常是根據(jù)經(jīng)典模擬濾波器原型,采用雙線性變換法[2]實現(xiàn),且模擬頻率Ω與數(shù)字頻率ω之間的映射關(guān)系為:
3.2? 求解最優(yōu)全通補償系統(tǒng)的算法描述
在式(6)所示規(guī)劃問題時,設(shè)計不同階數(shù)的全通系統(tǒng)(即在一定范圍內(nèi)遍歷N的取值),并在每一固定階數(shù)下求解關(guān)于損失函數(shù)最小的無約束最優(yōu)化問題,然后權(quán)衡系統(tǒng)階數(shù)、極點分布情況對初代最優(yōu)解進(jìn)行篩選,得到最優(yōu)補償系統(tǒng)設(shè)計。具體步驟如下。
Algorithm 1:最優(yōu)相位補償系統(tǒng)設(shè)計算法。
Step 1:初始化系統(tǒng)階數(shù)N。
Step 2:在當(dāng)前N下,初始化系統(tǒng)函數(shù)(對應(yīng)于式(4))的各階系數(shù){ak|k=1,2,…,N}。
Step 3:計算由當(dāng)前N、{ak|k=1,2,…, N}決定的補償系統(tǒng)損失函數(shù)FCost,若優(yōu)化算法收斂,輸出系統(tǒng)階數(shù)N、各階系數(shù){ak|k=1,2,…,N}、損失函數(shù)FCost及相關(guān)量化指標(biāo);否則,基于算法搜索原則,更新各階系數(shù)。
Step 4:重復(fù)Step 3,直至算法收斂,記錄相關(guān)參數(shù)與結(jié)果。
Step 5:更新網(wǎng)絡(luò)階數(shù)N,重復(fù)Step 2~Step 4,得到多組階數(shù)N下的損失函數(shù)FCost及各階系數(shù){ak|k=1,2,…,N}。
Step 6:結(jié)合量化指標(biāo)及對相位曲線擬合度的直觀判斷,得到最優(yōu)階數(shù)N與最優(yōu)系統(tǒng)各階系數(shù){ak|k=1,2,…,N},完成最優(yōu)相位補償系統(tǒng)設(shè)計。
在實際有限精度計算中,需要對系統(tǒng)頻率響應(yīng)進(jìn)行抽樣分析,本次實驗中選取抽樣點數(shù)η=256。
4? ? 設(shè)計結(jié)果與分析
4.1? 濾波器效果的評價指標(biāo)
考慮以均方誤差MSE、平均絕對誤差MAE作為量化指標(biāo),衡量處理后信號時域波形與線性調(diào)頻脈沖時域波形的吻合程度,定義如下:
4.2? 相位補償效果的評價指標(biāo)
為量化評估全通系統(tǒng)相頻響應(yīng)與理想補償相位的逼近程度,引入歸一化均方根誤差LNRMS、最大絕對誤差eθmax兩項指標(biāo),定義如下:
4.3? 設(shè)計結(jié)果與分析
表1為Butterworth IIR、Kaiser FIR濾波器的設(shè)計結(jié)果,圖2繪制了雷達(dá)信號經(jīng)兩種濾波器濾波后的幅度譜。可見,在相同技術(shù)指標(biāo)下,Butterworth IIR,Kaiser FIR均完成了對原信號中正弦波成分的濾除;由MSE,MAE知,濾波后信號波形與線性調(diào)頻脈沖信號逼近良好。由于IIR濾波器采用遞歸結(jié)構(gòu)實現(xiàn),如不考慮相位的失真效應(yīng),在相同技術(shù)指標(biāo)下,設(shè)計Butterworth IIR濾波器僅需要8階,而設(shè)計Kaiser FIR濾波器需要30階[3]。
表2列出了Butterworth IIR濾波器的最優(yōu)相位補償參數(shù),對于8階Butterworth IIR濾波器,在不嚴(yán)格給定相位誤差限制的前提下,按照3.2節(jié)算法得到的最優(yōu)全通系統(tǒng)需要10階。圖3繪制了Butterworth IIR濾波器相位補償前后的相頻響應(yīng)與群延遲,通過級聯(lián)全通系統(tǒng)相位補償后,濾波器相位線性程度顯著提高,群延遲的變化幅度減小。通過級聯(lián)全通系統(tǒng)加以相位補償,可以明顯改善信號的相位失真問題,但將大大提高濾波器系統(tǒng)復(fù)雜程度[4]。
5? ? 結(jié)語
對于頻率選擇性濾波器,IIR濾波器以較低階數(shù)即可獲得可觀的頻選特性,系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜度低、經(jīng)濟(jì)高效。但若要避免信號相位的失真,必須級聯(lián)全通系統(tǒng)加以相位補償,使整個系統(tǒng)的階數(shù)、復(fù)雜性、計算工作量大大提高。FIR濾波器本身具有線性相位,但要獲得較高頻選特性,需采用較高階數(shù)進(jìn)行設(shè)計,從而增加結(jié)構(gòu)復(fù)雜度與信號延遲。因此,IIR和FIR濾波器各有所長,在實際中應(yīng)統(tǒng)籌考慮各方面因素進(jìn)行選擇。
[參考文獻(xiàn)]
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[3]趙淑清.隨機(jī)信號分析[M].3版.哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社,1996.
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