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    特殊圖形·特殊角度·特殊模型——也談“一道幾何考題”的思路、反思與啟示

    2014-02-01 06:29:54江蘇省海安縣胡集初級(jí)中學(xué)錢宜鋒
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2014年4期
    關(guān)鍵詞:考題正方形線段

    ☉江蘇省海安縣胡集初級(jí)中學(xué) 錢宜鋒

    特殊圖形·特殊角度·特殊模型
    ——也談“一道幾何考題”的思路、反思與啟示

    ☉江蘇省海安縣胡集初級(jí)中學(xué) 錢宜鋒

    近讀《中學(xué)數(shù)學(xué)》,夏再迅老師在文1中對(duì)一道幾何考題作出解后反思,達(dá)到深刻理解后給出四種改編,這種解題與命題研究的取向很值得學(xué)習(xí).本文也由這道考題出發(fā),鏈接幾道“經(jīng)典考題”,然后重點(diǎn)談?wù)劷忸}教學(xué)中應(yīng)該重視特殊圖形、特殊角度、特殊模型的追求.為了方便閱讀,先列出文1中的考題.

    一、考題及思路簡(jiǎn)述

    例1(2013~2014學(xué)年北京市海淀區(qū)九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)卷,第24題)已知在△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB=6,CD⊥AB于D,點(diǎn)E在直線CD上,DE=CD,點(diǎn)F在線段AB上,M是DB的中點(diǎn),直線AE與直線CF交于N點(diǎn).

    圖1

    (1)如圖1,若點(diǎn)E在線段CD上,請(qǐng)分別寫出線段AE和CM之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系:___________,___________.

    (2)在(1)的條件下,當(dāng)點(diǎn)F在線段AD上,且AF=2FD時(shí),求證:∠CNE=45°.

    (3)當(dāng)點(diǎn)E在線段CD的延長(zhǎng)線上時(shí),在線段AB上是否存在點(diǎn)F,使得∠CNE=45°?若存在,請(qǐng)直接寫出AF的長(zhǎng)度;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

    解答見文1,為節(jié)約篇幅,這里從略.

    二、“經(jīng)典問題”的鏈接

    第二問的突破讓我們想起了下面兩個(gè)相關(guān)的“經(jīng)典問題”.

    例2(摘選自2013年四川達(dá)州中考卷,第24題)如圖2,點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上,∠EAF=45°,連接EF,則EF=BE+DF,試說(shuō)明理由.

    圖2

    思路簡(jiǎn)述:AB=CD,把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG,可使AB與AD重合.由∠ADC=∠B=90°,得∠FDG=180°,則點(diǎn)F、D、G共線.易證△AFG≌△AFE,則EF=BE+DF.

    由文1中的反思,我們也順便歸納一下這道經(jīng)典問題的結(jié)構(gòu).

    如圖2,設(shè)E、F為正方形的邊BC、CD上的點(diǎn),則下列命題等價(jià):

    (1)∠EAF=45°;

    (2)△CEF的周長(zhǎng)等于正方形ABCD的周長(zhǎng)的一半;

    圖3

    例3 (2013年遼寧錦州,第25題)如圖3,等腰直角三角板的一個(gè)銳角頂點(diǎn)與正方形ABCD的頂點(diǎn)A重合,將此三角板繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),使三角板中該銳角的兩條邊分別交正方形的兩邊BC、DC于點(diǎn)E、F,連接EF.

    (1)猜想BE、EF、DF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想.

    (2)在圖3中,過(guò)點(diǎn)A作AM⊥EF于點(diǎn)M,請(qǐng)直接寫出AM和AB的數(shù)量關(guān)系.

    (3)如圖4,將Rt△ABC沿斜邊AC翻折得到Rt△ADC,E、F分別是BC、CD邊上的點(diǎn),∠EAF=∠BAD,連接EF,過(guò)點(diǎn)A作AM⊥EF于點(diǎn)M.試猜想AM與AB之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想.

    圖4

    思路簡(jiǎn)述:(1)猜想EF=BE+DF.但本題中直接作EF的垂線,沒有條件證明全等,如圖5,可考慮在CB的延長(zhǎng)線截取BG=DF,連接AG.通過(guò)構(gòu)造△ADF≌△ABG,進(jìn)而證明△GAE≌△FAE,則GE=EF,可證EF=BE+DF.

    圖5

    (2)如圖5,可以通過(guò)證△AMF≌△ABG或△AME≌△ABE,得AM=AB.

    圖6

    (3)如圖6,在CB的延長(zhǎng)線上截取BG=DF,連接AG.類比(1)可證△GAE≌△FAE.根據(jù)“兩三角形面積相等、底相等,則高相等”,可得AM=AB.

    解后反思:可以發(fā)現(xiàn),例3用一個(gè)“實(shí)物”三角尺取代了例2中那個(gè)“∠EAF=45°”的信息,本質(zhì)還是一致的,只是條件呈現(xiàn)的一種多元表征而已.

    值得一提的是,2013年四川達(dá)州中考卷第24題還提出了如下的“聯(lián)想拓展”.

    圖7

    例4 如圖7,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D、E均在邊BC上,且∠DAE=45°.求證BD2+EC2=DE2.

    證明思路:如圖8,△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACD′.

    由△ABD≌△ACD′,得CD′=BD,AD′=AD,∠B=∠ACD′,∠BAD=∠D′AC.

    在Rt△ABC中,由AB=AC,得∠ABC=∠ACB=45°,則∠ACB+∠ACD′=90°,即∠D′CE=90°,則D′C2+CE2=D′E2.

    由∠DAE=45°,得∠BAD+∠EAC=45°,則∠D′AC+∠EAC=45°,即∠D′AE=45°.則△AD′E≌△ADE,則ED=ED′,則DE2=BD2+EC2.

    圖8

    三、兩點(diǎn)啟示

    1.向?qū)W生傳遞“識(shí)別特殊”、“用好特殊”的意識(shí)

    羅增儒教授在《解題學(xué)引論》中指出:“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中,所積累的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)經(jīng)過(guò)加工,會(huì)得出有長(zhǎng)久保存價(jià)值或基本重要性的典型結(jié)構(gòu)與重要類型——模式,將其有意識(shí)地記憶下來(lái).當(dāng)遇到一個(gè)新問題時(shí),我們辨認(rèn)它屬于哪一類基本模式,聯(lián)想起一個(gè)已解決的問題,以此為索引,在記憶貯存中提取出相應(yīng)的方法來(lái)加以解決,這就是模式識(shí)別的解題策略.”解題教學(xué)中要重視幫助學(xué)生訓(xùn)練積累特殊、識(shí)別特別、用好特殊的意識(shí),也即羅增儒教授提出的“模式識(shí)別”策略.可以發(fā)現(xiàn),如果學(xué)生對(duì)平時(shí)的經(jīng)典問題善于總結(jié)、積累(如例2~4的圖形及相關(guān)的等價(jià)命題),那么,在突破例1這樣的考題時(shí),就可能迅速地將問題轉(zhuǎn)化成在圖2這樣的大正方形平臺(tái)下思考、突破.正如有同行說(shuō)這種解法是“置身大格局,獲得大光明”,有一定的道理.

    2.向?qū)W生傳遞“并列問題與遞進(jìn)求解”策略

    事實(shí)上,本文將一些同類經(jīng)典考題羅列在一起,闡釋的正是解題教學(xué)要向?qū)W生傳遞“并列問題與遞進(jìn)求解”策略[3],這種并列問題與遞進(jìn)求解的思想是廣泛存在于綜合題中的.以例1這道考題為例,第一問看似考查基礎(chǔ)概念(全等三角形的判定),看似簡(jiǎn)單,用意深遠(yuǎn);以例3來(lái)說(shuō),圖3到圖4就是一種遞進(jìn)式的求解策略;對(duì)于例4,圖8的這種輔助線可視作基于旋轉(zhuǎn)而來(lái).可見,解題教學(xué)中,向?qū)W生傳遞“并列問題與遞進(jìn)求解”策略是十分必要的,這樣才能避免幾何問題中輔助線添加像是“魔術(shù)師手中飛出的鴿子那樣神奇”(波利亞語(yǔ)).特別是,學(xué)生在思路突破中如果聯(lián)想到例2、例3這樣的經(jīng)典問題或模型,從而獲得例1的求解思路或突破方向時(shí),這也是一種更廣義“并列問題”(兩個(gè)“不相關(guān)”問題,一個(gè)在考場(chǎng)上出現(xiàn),一個(gè)是此前曾研習(xí)或積累過(guò)的經(jīng)典模型)與“遞進(jìn)求解”(將“不相關(guān)”問題關(guān)聯(lián)起來(lái)并有效轉(zhuǎn)化獲得思路并突破成功)的策略.

    1.夏再迅.試題改編需要理解深層結(jié)構(gòu)——由一道幾何考題的求解說(shuō)起[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(下),2013(12).

    2.羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論[M].西安:陜西師范大學(xué)出版社,2008.

    3.劉東升.“并列”式問題與“遞進(jìn)”式求解——由一則解題教學(xué)案例說(shuō)起[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(中),2012(8).

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