虛功原理在結(jié)構(gòu)桿件內(nèi)力計(jì)算中的應(yīng)用

周欣竹，林佳輝1，胡哲文1，鄭建軍

(1.浙江工業(yè)大學(xué) 建筑工程學(xué)院，浙江 杭州 310023；2.浙江省工程結(jié)構(gòu)與防災(zāi)減災(zāi)技術(shù)研究重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，浙江 杭州 310023)

在實(shí)際工程中，結(jié)構(gòu)形式復(fù)雜多樣，按照力學(xué)模型可分為排架結(jié)構(gòu)[1]、框架結(jié)構(gòu)[2]、拱結(jié)構(gòu)[3]和組合結(jié)構(gòu)[4]，結(jié)構(gòu)內(nèi)力分析和計(jì)算是結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的前提[5-6]。虛位移原理是結(jié)構(gòu)靜力分析的關(guān)鍵，也是結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析的基礎(chǔ)[7]。如果結(jié)構(gòu)的約束較多，一般需先聯(lián)立求解方程組獲得約束反力，再計(jì)算結(jié)構(gòu)內(nèi)力，過(guò)程比較繁瑣，而虛位移原理提供了直接求解結(jié)構(gòu)內(nèi)力的簡(jiǎn)捷手段[8]。目前，一些學(xué)者針對(duì)某些特殊類(lèi)型的結(jié)構(gòu)，提出了虛位移和結(jié)構(gòu)內(nèi)力計(jì)算的方法。對(duì)于四部分T形鉸接而成的靜定結(jié)構(gòu)，鮑四元[9]先計(jì)算虛位移，再應(yīng)用虛位移原理求解反力。對(duì)于已知一點(diǎn)虛位移在兩個(gè)已知方向投影的平面問(wèn)題和在3 個(gè)已知方向投影的空間問(wèn)題，薛艷霞等[10]給出了該平面問(wèn)題虛位移在第3 個(gè)方向的投影公式和該空間問(wèn)題虛位移在第4 個(gè)方向的投影公式。在前人工作的基礎(chǔ)上，筆者通過(guò)仔細(xì)分析發(fā)現(xiàn)，盡管實(shí)際結(jié)構(gòu)形式復(fù)雜多樣，但對(duì)于多數(shù)靜定結(jié)構(gòu)，當(dāng)去掉一個(gè)合適的約束成為機(jī)構(gòu)后，往往各剛體上某些點(diǎn)的虛位移大小或方向的信息容易確定[11-12]，這樣，可以求得該剛體的瞬態(tài)轉(zhuǎn)動(dòng)中心和各點(diǎn)虛位移大小和方向，最后根據(jù)虛位移原理計(jì)算整個(gè)結(jié)構(gòu)的內(nèi)力。

1 各種情形下剛體平面運(yùn)動(dòng)的虛位移計(jì)算

下面討論7 種情形下的剛體虛位移計(jì)算，除對(duì)第1種情形下的結(jié)論給出證明外，為節(jié)省篇幅，省略了其余6 種情形下結(jié)論的證明，僅給出相關(guān)的計(jì)算公式。

情形1如圖1所示，如果作平面運(yùn)動(dòng)的剛體中A點(diǎn)的坐標(biāo)為(xA,yA)、虛位移方向的單位向量為nA、大小為δA，B點(diǎn)的坐標(biāo)為(xB,yB)、虛位移方向的單位向量為nB，則當(dāng)nA×nB≠0時(shí)，剛體的瞬態(tài)轉(zhuǎn)動(dòng)中心K就是兩條分別過(guò)A點(diǎn)和B點(diǎn)且與nA和nB垂直線的交點(diǎn)，K點(diǎn)的坐標(biāo)(xK,yK)和剛體中任一點(diǎn)C的虛位移大小δC分別為

(1)

(2)

(3)

式中：i和j分別為坐標(biāo)x和y方向的單位向量；(xC,yC)為C點(diǎn)坐標(biāo)。

圖1 已知兩點(diǎn)虛位移方向和其中一點(diǎn)虛位移大小

因?yàn)镵A和KB的向量分別為

nKA=(xA-xK)i+(yA-yK)j

(4)

nKB=(xB-xK)i+(yB-yK)j

(5)

由nKA⊥nA和nKB⊥nB可得

(nA·i)xK+(nA·j)yK=(nA·i)xA+(nA·j)yA

(6)

(nB·i)xK+(nB·j)yK=(nB·i)xB+(nB·j)yB

(7)

求解方程式(6，7)即可得到式(1，2)。由于K為剛體的瞬態(tài)轉(zhuǎn)動(dòng)中心，剛體中任一點(diǎn)的虛位移大小與該點(diǎn)到K的距離成正比，式(3)明顯成立。

情形2如圖2所示，如果剛體中A點(diǎn)的虛位移大小為δA，B點(diǎn)的虛位移大小為δB、方向?yàn)閚B，則角度β容易確定，瞬心K到A和B的距離分別為rKA和rKB，由正弦定理有

(8)

求解式(8)可得α，進(jìn)而確定瞬心K的坐標(biāo)(xK,yK)，那么剛體中任意一點(diǎn)C的虛位移由式(3)確定。

圖2 已知兩點(diǎn)虛位移大小和其中一點(diǎn)虛位移方向

情形3如圖3所示，如果剛體中兩點(diǎn)A和B的虛位移大小分別δA和δB，另一點(diǎn)C的虛位移方向?yàn)閚C，瞬心K到C的距離為rKC，則CK與水平線的夾角θ容易確定，且有

(9)

求解式(9)可得rKC，進(jìn)而結(jié)合θ確定瞬心K的坐標(biāo)(xK,yK)，那么剛體中任意一點(diǎn)C的虛位移由式(3)確定。

圖3 已知兩點(diǎn)虛位移大小和另外一點(diǎn)虛位移方向

情形4如果剛體中兩點(diǎn)A和B的虛位移方向分別為nA和nB，另一點(diǎn)C的虛位移大小為δC，則瞬心K點(diǎn)的坐標(biāo)(xK,yK)可由式(1，2)確定，剛體中任意一點(diǎn)D的虛位移大小為

(10)

式中(xD,yD)為D點(diǎn)的坐標(biāo)。

情形5如果剛體瞬心K的坐標(biāo)為(xK,yK)，A點(diǎn)的虛位移大小δA，則剛體中任一點(diǎn)C的虛位移大小由式(3)確定。

情形6如圖4所示，如果剛體瞬心K的坐標(biāo)為(xK,yK)，A點(diǎn)的虛位移在n1方向的投影為δ1，以n1為水平軸建立坐標(biāo)系，則剛體中任一點(diǎn)C的虛位移大小為

(11)

圖4 已知瞬心位置和一點(diǎn)虛位移投影

情形7如果剛體中一點(diǎn)的虛位移在兩個(gè)方向n1和n2的投影分別為δ1和δ2，則該點(diǎn)虛位移在n3方向的投影δ3為

(12)

式中：θ1和θ2分別為方向n1和n2與n3之間的夾角。

2 結(jié)構(gòu)桿件內(nèi)力計(jì)算實(shí)例

在計(jì)算結(jié)構(gòu)中某一桿件的內(nèi)力時(shí)，將該桿件切開(kāi)，并用一對(duì)大小相等、方向相反的力代替，此時(shí)原靜定結(jié)構(gòu)變成機(jī)構(gòu)。在計(jì)算虛位移時(shí)，一般先找出與固支鉸點(diǎn)連接的剛體，則該固支鉸點(diǎn)就是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的瞬心，假設(shè)該剛體中某點(diǎn)的虛位移大小和方向，利用式(3)求出剛體中各點(diǎn)的虛位移大小。再找出與該剛體相連接的剛體，判斷該剛體的平面運(yùn)動(dòng)屬于7 種情形中的哪一種，由此確定該剛體中各點(diǎn)的虛位移大小和方向，依次類(lèi)推可以確定結(jié)構(gòu)中各點(diǎn)的虛位移大小和方向。當(dāng)各點(diǎn)的虛位移大小和方向確定后，再應(yīng)用虛功原理計(jì)算所切開(kāi)桿件的內(nèi)力。下面給出3 個(gè)實(shí)例說(shuō)明桿件內(nèi)力計(jì)算的具體過(guò)程。

例1圖5為承受集中荷載FP作用的組合結(jié)構(gòu)，求桿件DG的內(nèi)力。

圖5 承受集中荷載作用的組合結(jié)構(gòu)

圖6 組合結(jié)構(gòu)虛位移和內(nèi)力計(jì)算

例2圖7為承受集中荷載FP作用的平面桁架，求DF桿的內(nèi)力。

圖7 承受集中荷載作用的平面桁架

圖8 平面桁架虛位移和內(nèi)力計(jì)算

例3求圖9結(jié)構(gòu)中AB桿的內(nèi)力。

圖9 承受集中荷載作用的平面桁架

解：解除桿件AB的約束，以一對(duì)大小相等、方向相反的作用力F1和F2代替，如圖10所示。由于A點(diǎn)固定，C點(diǎn)的虛位移方向垂直于AC，O1點(diǎn)固定，B點(diǎn)虛位移方向垂直于O1B，而且AC與O1B平行，所以，B和C兩點(diǎn)的虛位移大小相等、方向相同，即δB=δC。由于O3固定，G點(diǎn)虛位移方向垂直于O3G，由C和G的虛位移方向可知：剛體CEDG的瞬心為O3，D點(diǎn)的虛位移方向垂直于DO3，又由于CO3=DO3，則δD=δC=δB。由虛功原理建立如下方程：δBFABcos60°+δEFcos90°=0，求解此方程可得FAB=0。利用結(jié)構(gòu)力學(xué)求解器解得桿件AB內(nèi)力也為0，表明結(jié)果正確。

圖10 平面桁架虛位移和內(nèi)力計(jì)算

3 結(jié) 論

對(duì)于剛體的平面運(yùn)動(dòng)，給出了7 種情形下的虛位移計(jì)算公式，結(jié)合虛功原理提出了靜定結(jié)構(gòu)桿件內(nèi)力的計(jì)算方法。該方法的主要優(yōu)點(diǎn)是不必事先求解約束反力，可以直接計(jì)算桿件內(nèi)力。通過(guò)分析組合結(jié)構(gòu)和平面桁架3 個(gè)算例，說(shuō)明該方法的詳細(xì)實(shí)施過(guò)程和有效性。

本文得到了浙江工業(yè)大學(xué)研究生核心課程項(xiàng)目(GZ17571060001)和本科核心課程建設(shè)項(xiàng)目(PX-48181685)的資助。