基于非單調(diào)Lyapunov函數(shù)的區(qū)間二型控制器設(shè)計

張 君，周紹生

(杭州電子科技大學(xué)自動化學(xué)院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

區(qū)間二型模糊系統(tǒng)不僅提高了系統(tǒng)處理參數(shù)不確定性的能力而且簡化了計算，得到越來越多學(xué)者的關(guān)注。目前，對于區(qū)間二型模糊系統(tǒng)的研究主要集中在降低結(jié)果的保守性上。使用傳統(tǒng)的二次型Lyapunov函數(shù)得到的結(jié)果具有很大保守性，文獻[1]利用模糊Lyapunov函數(shù)的方法使系統(tǒng)的保守性得到顯著改善。文獻[2]針對一類模糊系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題，首次采用k步差分的方法來降低結(jié)果的保守性。文獻[3]采用non-PDC方法對系統(tǒng)的H∞性能進行分析，雖然增加了控制器設(shè)計的靈活性，但是也增加了系統(tǒng)的保守性。考慮系統(tǒng)中不確定性足跡信息對系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的影響，文獻[4]研究了一類具有前件不匹配的區(qū)間二型模糊系統(tǒng)的控制器設(shè)計問題。文獻[5]通過引入輔助矩陣來降低控制器設(shè)計的保守性，對系統(tǒng)的狀態(tài)和輸出反饋進行研究。文獻[6]采用非單調(diào)Lyapunov函數(shù)的方法對一型離散模糊系統(tǒng)進行穩(wěn)定性分析和控制器設(shè)計，但是沒有考慮系統(tǒng)的不確定性。文獻[7]通過構(gòu)建非二次Lyapunov函數(shù)，使用non-PDC方法進行控制器設(shè)計，一定程度上降低了控制器設(shè)計的保守性。本文考慮模糊系統(tǒng)中的不確定性，將非單調(diào)Lyapunov函數(shù)方法應(yīng)用到區(qū)間二型模糊系統(tǒng)中，并使用兩步差分法對系統(tǒng)穩(wěn)定性進行分析，以線性矩陣不等式的形式給出滿足閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件。

1 系統(tǒng)描述

考慮具有不確定性的區(qū)間二型離散T-S模糊系統(tǒng)，其IF-THEN規(guī)則描述形式如下：

x(k+1)=(Ai+ΔAi)x(k)+(Bi+ΔBi)u(k)

(1)

具有不確定性的區(qū)間二型離散T-S模糊系統(tǒng)描述為：

(2)

(3)

式中，H,E1i,E2i為已知合適維數(shù)的矩陣，F(xiàn)(k)∈Rn為未知的非線性時變矩陣且滿足F(k)F(k)T≤I。

使用平行分布補償方法設(shè)計狀態(tài)反饋控制器，其IF-THEN控制規(guī)則描述為：

u(k)=Kjx(k)

(4)

式中，Kj∈Rm×n為第j(j=1,2,…,s)個控制規(guī)則的反饋增益，故系統(tǒng)的控制規(guī)則表述為：

(5)

[Ac(k)+HF(k)Ec(k)]x(k)=

Acl(k)x(k)

(6)

那么系統(tǒng)在原點是全局漸近穩(wěn)定的。

2 主要結(jié)果

利用非單調(diào)Lyapunov函數(shù)方法，給出區(qū)間二型T-S模糊系統(tǒng)(6)狀態(tài)反饋控制存在的充分條件。

定理考慮閉環(huán)系統(tǒng)(6)，使系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定的充分條件是：對于給定標量ε1>0，ε2>0，且對于任意i，j，g，l∈{1,2,…,s}，存在正定矩陣P和Pijgl，矩陣G，Nj和Nl，滿足下列不等式成立：

(7)

其中：

證明選擇如下Lyapunov函數(shù)：

(8)

(9)

(10)

為保證閉環(huán)模糊系統(tǒng)(6)全局漸近穩(wěn)定，則需滿足下列不等式成立：

(11)

(12)

將式(3)、式(6)分別代入式(11)、式(12)，可得：

(13)

(14)

由式(6)可知：Ac(k)=A(k)+B(k)K(k)，Ec(k)=E1(k)+E2(k)K(k)，對式(13)、式(14)進行化簡可得：

(15)

(16)

(17)

(18)

因此，若不等式(7)成立，則有Δ2V(x)<0，由此進一步得出閉環(huán)模糊系統(tǒng)(6)是全局漸近穩(wěn)定的。證畢。

3 數(shù)值實例

例1當(dāng)s=2時，系統(tǒng)(6)中各參數(shù)矩陣的選擇如下：

ε1=0.900，ε2=1.000。

區(qū)間二型隸屬函數(shù)的表達式如下：

根據(jù)定理中的穩(wěn)定性條件對LMI進行求解，得到可行解：

給定仿真參數(shù)的初始值：x1(0)=-0.5，x2(0)=0.6，閉環(huán)狀態(tài)響應(yīng)仿真結(jié)果如圖1所示。

圖1 閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)軌線

由圖1可以看出：相同初始條件下，在控制器的作用下，隨著時間t的增加，閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)逐漸趨近于0，因此，閉環(huán)系統(tǒng)是全局漸近穩(wěn)定的。

例2系統(tǒng)矩陣選取如下：

a和b用于表示穩(wěn)定可行區(qū)域的可變元素，且-2.0≤a≤0，0.5≤b≤2.0。利用MATLAB中LMI工具箱對定理和文獻[7]中的穩(wěn)定性區(qū)域進行求解，本文采用兩步差分方法和文獻[7]采用非二次方法的可行域比較結(jié)果如圖2所示。

圖2 文獻[7]與本文可行域?qū)Ρ冉Y(jié)果

由圖2可以看出：本文采用的兩步差分的方法相較于文獻[7]中采用單步的非二次方法的可行域更大，所以，兩步差分的方法在一定程度上增加了系統(tǒng)穩(wěn)定時的可行域范圍，有效降低系統(tǒng)的保守性。

4 結(jié)束語

本文針對區(qū)間二型離散T-S模糊控制系統(tǒng)，考慮系統(tǒng)中結(jié)構(gòu)不確定性的因素，給出具有不確定性的區(qū)間二型離散T-S模糊系統(tǒng)在控制器作用下漸進穩(wěn)定的充分條件，為區(qū)間二型T-S模糊系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析和控制器設(shè)計提供新的思路。后續(xù)將對系統(tǒng)H2性能等問題進行相關(guān)研究。