一類擬線性時標動力方程的Lyapunov型不等式

張啟明，周 欣

（湖南工業(yè)大學 理學院，湖南 株洲 412007）

1 研究背景

經(jīng)典的Lyapunov不等式是指在特定的邊值條件下，Hill型方程有非平凡解時需滿足的必要條件。該不等式最初由俄國數(shù)學力學家李亞普列夫[1]，于1907年在考慮常微分方程的解的穩(wěn)定性時提出。即有如下引理1。

引理1[1]設q(t)是[a,b]上實值連續(xù)函數(shù)，若Hill型方程

存在非平凡實解x(t)，且滿足邊值條件

則有

其中不等式（3）右邊的下界“4”不能被更大的常數(shù)代替。

人們稱不等式（3）為經(jīng)典的Lyapunov不等式。此后，不等式（3）被推廣到許多的方程和系統(tǒng)中，這些改進或推廣后所得的Lyapunov不等式即為Lyapunov型不等式。

20世紀80年代，德國學者S.Hilger最先在其博士論文[2]中提出了時標的概念，并建立了一些基本的時標理論。此后，時標理論在文獻[2-4]的基礎上得到蓬勃發(fā)展。其中，B.Kaymakcalan在1996年出版的著作[5]中，建立了時標上動力方程的Lyapunov穩(wěn)定性理論。M.Bohner和A.Peterson在文獻[6-7]中，系統(tǒng)分析了時標上一類非常重要的動力方程：時標上的動力方程。時標上的動力方程（系統(tǒng)）不僅可以包括連續(xù)和離散這兩種特殊的情形，而且在應用上也蘊含巨大的潛力，是一個比較新的有著廣泛應用前景的應用數(shù)學分支，其理論研究主要集中在邊值問題、振動性、穩(wěn)定性、不共扼性等方面[8-12]。本文將在預備知識部分對時標的基本概念和基本理論作簡要介紹。

關于時標上的動力方程（系統(tǒng)）的Lyapunov型不等式，文獻[11-19]中分別對時標上的Hill型方程、Hamilton系統(tǒng)、一階非線性系統(tǒng)以及擬線性系統(tǒng)進行了研究，得到了許多重要的結果。其中文獻[11-12]是通過建立Lyapunov型不等式來討論其穩(wěn)定性的。

本文考慮下述擬線性時標動力方程

并建立一些新的Lyapunov型不等式。

特別地，當β1=α2=0，α1=p=β2=q=γ，r1(t)=r2(t)=r(t)，f1(t)=f2(t)=Q(t)時，方程（4）退化為二階半線性時標動力方程

式中：γ＞1，r(t)＞0。

2 預備知識

時標是指實數(shù)集R上任意的非空閉子集，通常記作T。

定義1[7]設T為時標，對任意t∈T，當σ(t):=inf{s∈T:s＞t}時，稱σ:T→T為前跳躍算子；當ρ(t):=sup{s∈T:s＜t}時，稱ρ:T→T為后跳躍算子。

對函數(shù)f:T→R，下面給出函數(shù)f在點t∈Tk時的Δ（或Hilger）導數(shù)的定義。

定義2[7]設t∈Tk，函數(shù)f:T→R，若對任意ε＞0，存在t的鄰域U，使得對任意s∈U都有

則稱fΔ(t)為f在t的Δ（或Hilger）導數(shù)。

引理2[7]設函數(shù)f,g:T→R在t∈Tk都可微，則：

i）對任意常數(shù)a,b，af+bg:T→R在t也可微，且(af+bg)Δ(t)=afΔ(t)+bgΔ(t)；

ii）若fΔ(t)存在，則f在t連續(xù)；

iii）若fΔ(t)存在，則；

iv）fg:T→R在t可微，且

v）若g(t)g(σ(t))≠0，則f/g在t可微，且

定義3[7]函數(shù)f:T→R稱為rd連續(xù)的，若它在T中的右稠密點連續(xù)，在T中的左稠密點的左極限存在且有限，記作Crd=Crd(T)=Crd(T,R)。

定義4[7]對任意t∈Tk，若FΔ(t)=f(t)，則稱函數(shù)F:T→R為f:T→R的原函數(shù)，并記Cauchy積分為

引理 3[7]若a,b,c∈T，k∈R，且f,g∈Crd，則：

vi）對t∈[a,b)，若|f(t)|≤g(t)，則。

引理 4[7]（Cauchy-Schwarz不等式） 設a,b∈T，1＜p，q＜+∞，且滿足1/p+1/q=1，則對函數(shù)f,g∈Crd，有不等式成立。

3 主要結果及證明

首先，給出如下假設：

H1 對任意t∈T，r1(t),r2(t),f1(t),f2(t)∈Crd，并且r1(t)＞0，r2(t)＞0。

H2 對i=1,2，系數(shù)p,q,αi,βi滿足αi/p+βi/q=1，且1＜p,q＜+∞，αi＞0,βi＞0，并記

定理1設a,b∈Tk,σ(a)≤b，且假設H1和H2成立，如果方程（4）的非平凡解(u(t),v(t))滿足邊值條件

其中u(t)不恒等于0，對任意t∈[a,b]，則

證明利用時標積分和邊值條件（8），可將方程（4）化為式（10）和式（11）：

由式（6）（8）以及Cauchy積分的定義和引理4，可得式（12）和式（13）：

由式（12）和式（13），可得

從而，由式（8）（10）（11）（14）以及假設H2和引理4，可得

其中

類似地，由式（7）（8）和引理4，有

從而，由式（8）（10）（11）（18）以及假設H2和引理4，可得

其中

下證

事實上，若命題（22）非真，則有

從而由假設H2以及式（10）（23）可得

根據(jù)式（24）和假設H1有

從而對一切a≤t≤b，由式（12）（25）可得u(t)≡0。這與邊值條件（8）矛盾，所以不等式（22）成立。

類似地可證下述不等式

成立。進而由式（15）（16）（19）（20）（22）（26）以及假設H2可得

再結合式（17）（21）即可得結論（9）成立。

推論1設a,b∈Tk，σ(a)≤b，且假設H1和H2成立，如果方程（4）的非平凡解(u(t),v(t))滿足邊值條件（8），則

證明由(i=1,2)、式（9）及假設H2可直接證得式（28）成立。

推論2設a,b∈Tk，σ(a)≤b，且假設H1和H2成立，如果方程（4）的非平凡解(u(t),v(t))滿足邊值條件（8），則

證明由

以及式（28）和假設H2可直接證得式（29）成立。

對二階半線性動力方程（5），由式（14）或（18）易得下述定理2。

定理2設a,b∈Tk，σ(a)≤b，如果方程（5）有一個非平凡解u(t)滿足邊值條件

其中u(t)不恒等于零，對任意t∈[a,b]，則

由于

由定理2可直接得下述推論3。

推論3設a,b∈Tk，σ(a)≤b，如果方程（5）有一個非平凡解u(t)滿足邊值條件（30），則

4 結語

本文在邊值條件（8）下，建立了擬線性時標動力方程（4）的Lyapunov型不等式；進而探討了作為時標動力方程（4）的特殊情形的二階半線性時標動力方程（5），在邊值條件（30）下的Lyapunov型不等式。所得結果可為進一步研究時標動力方程解的特性提供參考。