基于高質量過程的指數分布中位數控制圖的統(tǒng)計設計

曹程明，馬義中

(南京理工大學 經濟管理學院，江蘇 南京 210094)

0 引言

隨著現(xiàn)代生產制造技術的不斷提高，產品的不合格率或過程缺陷率不斷降低，傳統(tǒng)p圖或c圖中的大量打點值為零，造成控制圖出現(xiàn)錯誤警報概率過高、不能提供關于過程狀態(tài)的有效信息等問題。將不合格品或者過程缺陷的出現(xiàn)定義為事件，監(jiān)控事件間隔時間(Time Between Events，TBE)能夠避免傳統(tǒng)控制圖在高質量過程監(jiān)控中的缺陷。Montgomery[1]建議通過TBE監(jiān)控高質量過程。

假設事件的發(fā)生用泊松過程描述，則TBE是一系列獨立同分布的指數分布隨機變量[2]。針對TBE服從指數分布的過程，Zhang等[3]以r個事件之間的間隔時間服從Gamma分布設計了Gamma控制圖(Gamma chart)，提高了控制圖對過程偏移的探測能力；Yang等[4-5]研究了指數分布控制圖(exponential chart)和Gamma控制圖，為了應對沒有足夠樣本數據估計參數的情況，提出序貫抽樣方案，然而研究沒有分析參數估計對其所設計控制圖性能的影響。由于參數估計量固有的波動，在同一設計方法下設計出的控制圖的性能將出現(xiàn)差異，這種差異被稱為使用者與使用者之間的波動(practitioner-to-practitioner variability)，該波動令使用者不能確定所設計控制圖的錯誤警報概率，影響了其對控制圖的信心。

Jensen等[6]和Psarakis等[7]指出研究參數未知情況下的控制圖性能具有重要意義；Saleh等[8]采用運行鏈長均值ARL的分位數和運行鏈長均值的標準差SDARL分析了參數未知的指數加權移動平均(Exponentially Weighted Moving Average, EWMA)控制圖的性能；Hu等[9]認為ARL和運行鏈長的標準差SDRL適合用于單個控制圖的性能分析，而在參數未知情況下，平均運行鏈長均值AARL越接近設定值ARL0，說明控制圖的性能越接近參數已知的情況，SDARL值越小說明參數估計對控制圖性能的影響越小，AARL和SDARL適合分析某一具體設計方法下的控制圖的性能。

為了應對實際中樣本數據較少的問題，Jones等[10]和Gandy等[11]提出Bootstrap方法，該方法通過調整控制限，使得在一定概率水平下過程受控時控制圖的ARL不小于設定值；Zhao等[12]研究了參數未知的c圖的性能，并用Bootstrap方法對其控制限進行調整，分析表明Bootstrap方法能夠減少參數估計對控制圖性能的影響；Hu等[9]研究表明，Bootstrap方法能夠使過程受控時控制圖的ARL在一定概率水平下不小于設定值，而僅以較小的控制圖性能損失為代價。

相比于均值控制圖，中位數控制圖對樣本數據中存在異常值的過程和非正態(tài)過程穩(wěn)健[13]。當總體分布為偏態(tài)分布時，中位數能更好地反映樣本情況，而且樣本中位數易于計算。針對TBE服從指數分布的這一偏態(tài)過程，本文提出中位數控制圖。首先，給出了參數已知和未知情況下中位數控制圖的設計方法；其次，應用條件錯誤警報概率、AARL和SDARL分析了參數估計對所設計中位數控制圖性能的影響；接著，針對小樣本問題，采用Bootstrap方法對設計出的控制限進行調整，以減少由參數估計造成的使用者之間的波動問題；最后，用算例說明指數分布中位數控制圖在實際中的應用。

1 中位數控制圖的設計

1.1 參數已知的情況

假設事件的發(fā)生用泊松過程描述，則TBE是獨立同分布的指數分布隨機變量。用X表示兩個連續(xù)事件之間的間隔時間，則X的概率密度函數為

(1)

式中λ為事件的發(fā)生率。

(2)

(3)

令U和L為控制圖的上下控制限，在參數已知的情況下，對于給定的錯誤警報概率α0，有

(4)

當過程發(fā)生偏移時，設偏移量為ρ，λ1=ρλ0。打點值落在控制限之內的概率為

(5)

則控制圖的運行鏈長均值為

(6)

對于雙邊控制圖，如果上下控制限兩側的概率均為α0/2，則ARL在受控狀態(tài)下(ρ=1)不一定能取得最大值。假設ARL(ρ)對ρ可導，為了使ARL在受控狀態(tài)下(ρ=1)取得最大值，令

ARL′(1)=0，

(7)

則

(8)

通過式(8)可得

β′(1)=0。

(9)

因此，對于給定的錯誤警報概率，無偏的中位數控制圖的控制限可由下式得到：

(10)

(11)

將式(11)代入式(10)，通過二分法求解式(10)得到p1。為了便于使用控制圖，不同錯誤警報概率(α0)和不同子組觀測值數(n=3，5)的無偏中位數控制圖設計參數如表1所示。

表1 控制圖的設計參數

1.2 參數未知的情況

在參數未知的情況下，通常通過樣本數據估計得到的參數估計值設置控制限參數。假設現(xiàn)有m個服從參數值為λ0的指數分布的觀測值樣本數據，則λ0的極大似然估計為

(12)

由中位數控制圖的無偏設計得參數未知的控制圖的控制限為：

2 中位數控制圖的性能分析

(14)

顯然，在參數未知的情況下，樣本差異會導致參數估計誤差不同，控制圖發(fā)出信號的概率會隨參數估計量的不同而不同。因此控制圖發(fā)出信號的概率是δ的條件概率，稱為條件錯誤警報概率(CFAR)，其揭示了使用者之間的波動。

針對TBE服從指數分布過程的監(jiān)控問題，Kumar等[14]通過運行鏈長條件分布研究了參數未知的Tr控制圖(Tr-chart)，研究結果表明，由于使用者之間的波動，只有當樣本數非常大時(大于1 000)，參數未知的Tr控制圖的性能才能接近參數已知的情況。本章將中位數控制圖與Tr控制圖的性能進行對比分析。

2.1 中位數控制圖的條件錯誤警報概率

錯誤警報概率是控制圖在過程受控時發(fā)出信號的概率，是控制圖設計中的一個重要參數。中位數控制圖的條件錯誤警報概率為

(15)

為了便于分析條件錯誤警報概率，令

(16)

式中Y=2(m-1)×δ服從自由度為2m的χ2分布[14]。為了分析樣本數m和子組大小n對α(Y)值的影響，計算n=3，5，m=30，50，200，1 000時的α(Y)值，如圖1所示(α0=0.002 7)。為了便于比較中位數控制圖和Tr控制圖，計算r=3，5，m=30，50，200，1 000時Tr控制圖的α(Y)值，如圖1所示(α0=0.002 7)。圖1每個子圖中豎向分隔線將圖形分為兩部分，在分隔線處α(Y)=α0(Y=2(N-1))，在分隔線的左邊δ=Y/2(N-1)<1，表示參數被高估，反之參數被低估。

從圖1可見，對于所有n和r的取值，在Y的分布的尾部，α(Y)的值均偏離設定值α0，隨著樣本數的增加，偏離量越來越小，說明參數估計會使控制圖的性能產生較大波動，而且隨著樣本數的增加，其影響越來越??；當樣本數相同時，中位數控制圖α(Y)的值均比Tr控制圖更接近設定值α0，說明參數估計對中位數控制圖性能的影響更小；對于中位數控制圖，分隔線兩側的α(Y)值均大于α0，說明無論參數被高估還是低估，控制圖的CFAR都會變大，相應的ARL變短。

2.2 過程受控時中位數控制圖的AARL和SDARL

過程受控時控制圖的的條件平均運行鏈長(ICARL)是CFAR的倒數，因此也看做Y的函數，即

(17)

則

(18)

表2 過程受控時中位數控制圖和Tr控制圖的AARL和SDARL

由表2可見，隨著樣本數m的增加，中位數控制圖和Tr控制圖的AARL值越接近設定值ARL0，SDARL值越小，說明隨著樣本數m的增加，參數未知的控制圖的性能越接近參數已知的情況。當子組大小相同時(n=3，r=3或n=5，r=5)，相比于Tr控制圖，中位數控制圖的AARL值更接近設定值ARL0，SDARL值更小。Zhang等[15]建議SDARL值應小于設定值ARL0的10%，對于Tr控制圖，當r=3，5時，需要1 000個樣本數據才可以使SDARL值小于設定值ARL0的10%，而對于中位數控制圖，當n=3時需要100個樣本數據，當n=5時需要200個樣本數據。

綜上所述，相比于Tr控制圖，參數估計量的波動對中位數控制圖性能的影響更小，使用者用估計參數設計出的控制圖的條件錯誤警報概率值更接近設定值α0，即參數估計量的波動對中位數控制圖性能的影響更小。

3 調整控制圖的控制限

3.1 控制限調整步驟

(2)從第一階段樣本數據得到j=1,…,B個Bootstrap樣本X1,j,X2,j,…,Xm,j。

(4)由式(19)計算得到kj(j=1,…,B)：

(19)

(5)取kj的d%的分位數，即為調整系數k。

d%為調整目標，調整后的控制圖的CFAR有d%的可能性不大于設定值α0。B一般取1 000。

3.2 控制限調整前后控制圖的性能對比

表3 控制限調整前后過程受控時的ARL小于設定值的百分比 %

表4 控制限調整前后控制圖在過程失控時的AARL

通過對比分析控制限調整前后控制圖性能可以看出，控制限調整后的控制圖能夠使過程受控時的ARL在設定概率水平下不小于設定值ARL0，即調整控制限對控制圖探測過程偏移能力的影響小。另外，在仿真過程中注意到，每一次使用Bootstrap方法調整的系數k都不同，但是差別很小。表5和表6所示為m=30，50，100，150，200，α0=0.002，0.002 7，0.005，0.01，n=3，5，d%=0.9時的調整系數k，表中k值為1 000次仿真結果的平均值。在實際使用中，使用者可以直接用表5和表6中的k值，也可以自行計算k。

表5 基于Bootstrap方法的調整系數k(n=3)

表6 基于Bootstrap方法的調整系數k(n=5)

4 實例分析

5 結束語

本文提出用中位數控制圖監(jiān)控TBE服從指數分布的過程，給出了參數已知和未知情況下中位數控制圖的設計方法及控制圖設計參數。相比于Tr控制圖，本文所設計的中位數控制圖在過程受控時，其AARL更接近設定值ARL0，SDARL更小，即參數估計量的波動對中位數控制圖性能的影響更小。

針對小樣本問題(m<200時)，用Bootstrap方法調整所設計控制圖的控制限，調整后的控制限能夠有效減少參數估計量波動對控制圖性能的影響。實例分析表明，指數分布中位數控制圖對過程偏移具有較好的檢出能力。當參數未知時，本文使用極大似然估計方法估計過程參數，并未考慮到過程的先驗信息，后續(xù)研究可以結合貝葉斯估計方法設計指數分布的中位數控制圖。