基于壓阻反饋信號(hào)納米梁非線性振動(dòng)控制

孔維旭， 劉燦昌， 萬(wàn) 磊， 黨 壯， 賀成泰

(山東理工大學(xué)交通與車輛工程學(xué)院， 淄博 255049)

隨著納米技術(shù)的發(fā)展，微型化、高靈敏度、穩(wěn)定性好的納機(jī)電系統(tǒng)(nano-electromechanical system，NEMS)器件研究成為近年來科研工作者的熱點(diǎn)。納米梁是納米諧振器、振蕩器、傳感器等納機(jī)電系統(tǒng)器件的關(guān)鍵承載原件[1-3]。當(dāng)梁處于納米尺寸時(shí)，其振動(dòng)行為容易從線性區(qū)跨越進(jìn)非線性區(qū)，表現(xiàn)出多種非線性特性[5-8]。常用的納米梁直流、交流電壓靜電驅(qū)動(dòng)方式也會(huì)產(chǎn)生非線性效應(yīng)[4]，導(dǎo)致納米梁的振動(dòng)產(chǎn)生失穩(wěn)，嚴(yán)重制約NEMS器件的工作穩(wěn)定性。因此，NEMS器件的非線性振動(dòng)控制研究成為學(xué)者們的研究?jī)?nèi)容之一，具有重要的工程意義。

NEMS器件非線性振動(dòng)控制方法的研究成為中外學(xué)者的研究熱點(diǎn)問題之一。Dumitru等[9]研究了靜電驅(qū)動(dòng)懸臂梁微諧振器的非線性響應(yīng)，建立了包含靜電力和卡西米爾力的非線性動(dòng)力學(xué)方程，并利用多尺度方法對(duì)方程進(jìn)行了分析。Rhoads等[10]通過提出一種新型的納米梁結(jié)構(gòu)裝置，將諧振器的純參數(shù)激勵(lì)的優(yōu)點(diǎn)與梁的簡(jiǎn)單幾何結(jié)構(gòu)相結(jié)合，提出了交流激勵(lì)電壓控制的具有理想響應(yīng)特性的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)方程。Shaat等[11]針對(duì)納米材料的靜電驅(qū)動(dòng)梁，提出了一種精確的非線性模型，選用Euler-Bernoulli梁作為模擬靜電驅(qū)動(dòng)的納米梁模型，并研究了梁結(jié)構(gòu)和尺寸大小對(duì)靜電驅(qū)動(dòng)納米梁固有頻率、非線性動(dòng)力學(xué)的影響。Najar等[12]在考慮了小尺度效應(yīng)下，研究了在非線性力和直流電壓作用下納米梁的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，納米制動(dòng)器建模選Euler-Bernoulli懸臂梁，利用Hamilton原理推導(dǎo)出彈性模型中的控制方程和邊界條件。Bornassi等[13]利用Euler-Bernoulli梁建立了納米器件在靜電力和分子間力作用下的運(yùn)動(dòng)方程，利用微分求積法求解非線性動(dòng)力學(xué)方程。Younis等[14]應(yīng)用直接多尺度法研究了一類單極板驅(qū)動(dòng)兩端固支微梁振器的主共振特性，探討了軸向力及中性面變形對(duì)于非線性共振頻率的影響，研究了不同參數(shù)對(duì)于系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的影響Abdel Rahman等[15]用同樣的方法研究了單極板驅(qū)動(dòng)兩端固支梁諧振器的超諧和亞諧振動(dòng)問題，分了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)分岔特性，指出在某些參數(shù)情況下系統(tǒng)可能包含多穩(wěn)態(tài)解情況。

壓阻效應(yīng)是指當(dāng)材料受到應(yīng)力時(shí),其載流子的平均有效質(zhì)量增加或減小(取決于應(yīng)力方向、晶體取向和電流方向)，從而電阻率發(fā)生改變的現(xiàn)象。壓阻效應(yīng)一般比電阻應(yīng)變效應(yīng)大兩個(gè)數(shù)量級(jí),被廣泛應(yīng)用于各種壓阻傳感器[16-18]?；趬鹤栊?yīng)，可以制作各種應(yīng)力應(yīng)變傳感器。常用的壓阻效應(yīng)半導(dǎo)體材料有硅和鍺的摻雜半導(dǎo)體，其中P型硅的壓阻效應(yīng)比較明顯。壓阻效應(yīng)已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用在各種傳感器的研究工作中，如壓阻傳感器，壓阻壓力傳感器，壓阻式加速度傳感器。對(duì)于硅納米結(jié)構(gòu)的壓阻的分析和研究是近年來NEMS研究人員的重要課題，相比N型硅而言，P型單晶硅表現(xiàn)出更大的壓阻效應(yīng)。納米結(jié)構(gòu)的壓阻效應(yīng)的研究對(duì)于基于壓阻效應(yīng)工作的傳感器有著十分重要的意義[19]。硅壓阻式壓力傳感器采用先進(jìn)微型化制作工藝集成硅壓阻膜片作為敏感元件, 利用多晶硅的壓阻效應(yīng), 在壓阻膜片上淀積的絕緣層二氧化硅上淀積制備三個(gè)多晶硅壓敏電阻, 與壓阻膜片組成惠斯通電橋[20-21]。

本文選用Euler-Bernoulli梁作為物理模型，基于壓阻效應(yīng)對(duì)靜電激勵(lì)下的納米梁非線性振動(dòng)控制進(jìn)行分析研究，考慮多種因素對(duì)納米梁非線性振動(dòng)的影響。旨在以硅壓阻作為系統(tǒng)振動(dòng)信號(hào)提取與檢測(cè)的新型理論方法，利用線性、非線性振動(dòng)分析方法，對(duì)非線性振動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行控制，為非線性振動(dòng)控制提供一種新思路。

1 壓阻效應(yīng)納米梁非線性振動(dòng)模型

壓阻效應(yīng)是指當(dāng)材料受到外加機(jī)械應(yīng)力時(shí)，材料的體電阻率發(fā)生變化的材料性能。晶體結(jié)構(gòu)的形變破壞了能帶結(jié)構(gòu)，從而改變了電子遷移率和載流子密度，使材料電阻率或電導(dǎo)發(fā)生變化。由半導(dǎo)體電阻理論可知：

ΔR=pσR

(1)

式(1)中:p為縱向壓阻系數(shù)；σ為電阻的縱向應(yīng)力。將胡克定律σ=Eε代入式(1)可以得到：

ΔR=pERhw″

(2)

利用壓阻效應(yīng)提取振動(dòng)信號(hào)的納米梁振動(dòng)控制系統(tǒng)如圖1所示。懸臂梁上表面靠近固定端部位粘貼硅壓阻膜片，硅壓阻膜片與外接的三個(gè)電阻組成惠斯通電橋電路。納米懸臂梁在交變靜電激勵(lì)力作用下產(chǎn)生受迫振動(dòng)，納米梁根部的硅壓阻膜片阻值發(fā)生變化。利用惠斯通電橋電路可以將該信號(hào)輸出，經(jīng)信號(hào)放大器放大后，作為控制信號(hào)進(jìn)行振動(dòng)控制。由于硅壓阻膜片長(zhǎng)度較短，忽略硅壓阻膜片隨著納米梁變形時(shí)曲率的變化。

圖1 納米梁控制系統(tǒng)示意Fig.1 Nanobeam control system schematic

取R=R1，可以得到惠斯通電橋兩端輸出電壓為

v=0.125pEhUw″

(3)

式(3)中:U為惠斯通電橋供電電壓，h為納米梁高度。

由物理模型可知，系統(tǒng)微分方程可表示為

(4)

納米梁諧振器非線性振動(dòng)偏微分運(yùn)動(dòng)方程和邊界條件為

(5)

式(5)中：E、A、I和ρ分別為納米梁的楊氏模量、橫截面積、截面慣性矩和材料密度；b*是單位長(zhǎng)度黏滯阻尼系數(shù)；l為納米梁的長(zhǎng)度；W是納米梁的寬度；g是納米梁和驅(qū)動(dòng)電極間的距離；K為反饋增益參數(shù)；V1和V0為作用于納米梁的直流和交流激勵(lì)電壓；Ω*為交流激勵(lì)圓頻率；gf為系統(tǒng)反饋增益參數(shù)；Γ=(0.125pEh)2。

由于直流電壓V1遠(yuǎn)大于交流激勵(lì)電壓V0, 忽略高階項(xiàng), 得到：

(6)

對(duì)運(yùn)動(dòng)方程和邊界條件進(jìn)行無量綱化處理，得到無量綱運(yùn)動(dòng)方程和邊界條件為

(7)

u(0,t)=u′(0,t)=u(1,t)=u′(1,t)=0

(8)

兩邊同時(shí)乘以(1+u)2(1-u)2, 得到:

cos(Ωt)]-k(1-u)2U2u″2

(9)

整理得:

εk(1-u)2U2u″2+C

(10)

式(10)中:C為高階項(xiàng)，可忽略。

2 多尺度方法分析

式(9)為非線性方程, 采用多尺度方法, 設(shè)解的形式為

u(z,t,ε)=u0(z,T0,T1)+εu1(z,T0,T1)+…

(11)

比較同次冪的系數(shù), 得到:

(12)

(13)

邊界條件為

(14)

式中：Dn=?/?Tn,n=0,1,2,…，式(12)的近似解為

(15)

3 主共振

在外加電壓載荷激勵(lì)下，會(huì)出現(xiàn)各種共振現(xiàn)象。現(xiàn)研究激勵(lì)頻率接近系統(tǒng)固有頻率一半時(shí)納米梁的共振和穩(wěn)定性。激勵(lì)頻率可以寫成：

2Ω=wk+εσ

(16)

式(16)中:σ為調(diào)諧參數(shù)。

(17)

分離式(17)的虛部和實(shí)部，得到：

(18)

(19)

由式(18)、式(19)，可以得到振動(dòng)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)方程為

(20)

4 主共振數(shù)值分析

納米梁振動(dòng)系統(tǒng)存在多值、分岔和混沌等一系列復(fù)雜的非線性特性，這些非線性特性對(duì)穩(wěn)定的納米梁振動(dòng)系統(tǒng)有特別明顯的影響。結(jié)合理論推導(dǎo)和數(shù)值模擬兩種方法，分析硅納米梁壓阻效應(yīng)非線性振動(dòng)特性。通過幅頻響應(yīng)方程和相頻響應(yīng)方程得到納米梁非線性振動(dòng)控制因素，其中包括納米梁參數(shù)、阻尼、激勵(lì)電壓和反饋增益參數(shù)等。旨在分析硅壓阻反饋信號(hào)的納米梁非線性振動(dòng)及振幅的規(guī)律，并且以納米梁一階振動(dòng)模態(tài)為例分析控制參數(shù)和系統(tǒng)參數(shù)對(duì)硅壓阻效應(yīng)納米梁振動(dòng)的影響。

表1給出了納米梁物理參數(shù)，仿真得到系統(tǒng)非線性振動(dòng)分析與控制的幅頻響應(yīng)曲線。圖2給出了交流激勵(lì)電壓不同時(shí)的幅頻特性響應(yīng)曲線。當(dāng)交流激勵(lì)電壓幅值等于0.2、0.25 V時(shí)，共振頻率點(diǎn)在左區(qū)間，在最大振幅點(diǎn)發(fā)生跳躍現(xiàn)象，振動(dòng)響應(yīng)不穩(wěn)定。當(dāng)交流激勵(lì)電壓幅值減小至0.1 V時(shí)，振動(dòng)趨于穩(wěn)定，振動(dòng)響應(yīng)曲線向左偏離σ=0軸趨勢(shì)減緩。從圖2可以知道，隨著交流激勵(lì)電壓幅值增大，最大振幅逐漸增大，幅頻特性響應(yīng)曲線逐漸向左彎離σ=0軸, 納米梁非線性振動(dòng)呈現(xiàn)軟彈簧特性。

表1 納米梁物理參數(shù)Table 1 Physical parameters of nanobeam

圖2 交流激勵(lì)電壓幅值不同時(shí)的幅頻響應(yīng)曲線Fig.2 Amplitude-frequency response curves fordiffevent amplitudes of AC excitation voltage

無量綱阻尼不同時(shí)的幅頻特性響應(yīng)曲線如圖3所示。由圖3得，在遠(yuǎn)離共振區(qū)間處，改變無量綱阻尼值對(duì)振幅影響較小，增大阻尼可以使最大振幅減小。隨著無量綱阻尼的增大，振動(dòng)響應(yīng)逐漸趨于穩(wěn)定，多值區(qū)間逐漸減小至消失，最大振幅點(diǎn)與共振頻率點(diǎn)的偏移量逐漸減小，這與實(shí)際情況相符。

圖4描述了反饋增益參數(shù)K不同時(shí)的系統(tǒng)幅頻特性響應(yīng)曲線。由圖4可得，反饋增益參數(shù)對(duì)最大振幅影響較小，當(dāng)頻率遠(yuǎn)離共振區(qū)域時(shí)，反饋增益參數(shù)對(duì)振幅影響較小。在反饋增益參數(shù)逐漸增大的過程中，納米梁非線性振動(dòng)行為逐漸向軟彈簧特性過渡。當(dāng)反饋增益參數(shù)等于8時(shí)，最大振幅點(diǎn)近似在σ=0處得到，納米梁振動(dòng)呈現(xiàn)線性振動(dòng)。由圖4及幅頻響應(yīng)方程可以得到，反饋增益參數(shù)是通過改變非線性項(xiàng)的值實(shí)現(xiàn)對(duì)納米梁非線性振動(dòng)的控制。因此可以選擇適當(dāng)?shù)姆答佋鲆鎱?shù)，實(shí)現(xiàn)對(duì)納米梁振動(dòng)的穩(wěn)態(tài)控制。

圖3 無量綱阻尼不同時(shí)的幅頻特性曲線Fig.3 Amplitude-frequency curves for different-dimensionless damping coefficient

圖4 反饋增益參數(shù)K不同時(shí)的幅頻響應(yīng)曲線Fig.4 Amplitude-frequency curves for different-parameters K of feedback gains

圖5給出了納米梁與極板間初始距離不同時(shí)的幅頻特性響應(yīng)曲線。當(dāng)初始間距為470、450 nm時(shí)，在σ=0的左區(qū)間，存在多值區(qū)間，系統(tǒng)振動(dòng)不穩(wěn)定，由于非線性項(xiàng)的作用，幅頻特性響應(yīng)曲線向左偏離σ=0軸。由圖5可得，隨著納米梁與極板間距初始距離減小，系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)逐漸趨于穩(wěn)定，最大振幅減小，曲線向左偏離σ=0軸減緩。

激勵(lì)電壓不同時(shí)，最大振幅與納米梁長(zhǎng)度的關(guān)系曲線如圖6所示。由圖6可知，當(dāng)激勵(lì)電壓幅值相同時(shí)，最大振幅隨著納米梁長(zhǎng)度的增加而增加。且當(dāng)納米梁長(zhǎng)度相同時(shí)，最大振幅隨著激勵(lì)電壓幅值的增加而增加。當(dāng)系統(tǒng)阻尼不同時(shí)，最大振幅與納米梁長(zhǎng)度的關(guān)系曲線由圖7所示。由圖7可知，阻尼相同時(shí)，最大振幅與納米梁長(zhǎng)度正相關(guān)，且當(dāng)納米梁長(zhǎng)度相同時(shí)，最大振幅與阻尼值同樣正相關(guān)。

圖5 梁與極板距離不同時(shí)的幅頻響應(yīng)曲線Fig.5 Amplitude-frequency response curves when the initial distance between nanobeam and plate is different

圖6 交流激勵(lì)電壓幅值不同時(shí)最大振幅隨納米梁長(zhǎng)度變化曲線Fig.6 The maximum amplitude of the AC excitation voltage amplitude is different from that of the nanobeam

圖7 阻尼不同時(shí)最大振幅隨納米梁長(zhǎng)度變化曲線Fig.7 Curves of maximum amplitude with nanometer beam length when damping is different from that of the nanobeam

反饋增益參數(shù)不同時(shí)臨界電壓與納米梁長(zhǎng)度的關(guān)系曲線如圖8所示。由圖8可知，反饋增益參數(shù)相同時(shí)，臨界電壓與納米梁長(zhǎng)度負(fù)相關(guān)。當(dāng)納米梁長(zhǎng)度相同時(shí)，臨界電壓與反饋增益參數(shù)負(fù)相關(guān)。

圖8 反饋增益參數(shù)不同時(shí)臨界電壓隨納米梁長(zhǎng)度變化曲線Fig.8 Curves of critical voltage as a function of nanobeam length when feedback gain parameters are different from that of the nanobeam

結(jié)合圖2～圖5，通過交流激勵(lì)電壓、無量綱阻尼、反饋增益參數(shù)和梁到極板距離能夠得到非線性微分方程里非線性項(xiàng)的大小。通過改變以上幾個(gè)參數(shù)，可以改變非線性項(xiàng)數(shù)值大小，繼而控制和降低納米梁振動(dòng)系統(tǒng)的非線性。當(dāng)交流激勵(lì)電壓從0.25 V降到0.1 V時(shí)，系統(tǒng)的非線性減小約60%左右。當(dāng)無量綱阻尼從0.058 5增大至0.087 8時(shí)，系統(tǒng)的非線性減弱40%左右。增大反饋增益參數(shù)或減小梁與極板距離，能夠使系統(tǒng)的非線性振動(dòng)逐漸趨于穩(wěn)定。圖6～圖8分別反映了交流激勵(lì)電壓幅值、阻尼值和反饋增益參數(shù)與納米梁長(zhǎng)度的關(guān)系。

5 近似解和數(shù)值解對(duì)比結(jié)果

為了使論證結(jié)果具有正確性和客觀性，在近似解法的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步算出了數(shù)值解，從而可以根據(jù)兩種解法進(jìn)行對(duì)照。

令u=φ(x)q(t)，由式(10)可以得到：

(21)

(22)

根據(jù)式(21)、式(22)，通過程序可以得到數(shù)值解結(jié)果。以交流激勵(lì)電壓0.1 V和0.2 V時(shí)的近似解幅頻響應(yīng)曲線為例，將數(shù)值解圖像繪制在近似解幅頻特性曲線圖上，其對(duì)比結(jié)果如圖9所示?？傮w來說兩種曲線符合情況較好，近似解與數(shù)值解客觀誤差必然存在，但是，微小誤差對(duì)總體結(jié)果的影響可以忽略。兩種計(jì)算結(jié)果良好的貼合性，說明本文近似計(jì)算解法具有合理性和客觀性。

圖9 近似解(MMS)和數(shù)值解(LTI)運(yùn)算結(jié)果對(duì)比Fig.9 Approximate solution (MMS) and numerical solution (LTI) operation result comparison chart from that of the nanobeam

6 結(jié)論

(1)通過加載交流激勵(lì)電壓控制納米梁振動(dòng)，硅壓阻膜片阻值隨納米梁振動(dòng)發(fā)生變化，利用這種阻值變化作為反饋信號(hào)來控制納米梁非線性振動(dòng)。這種方法可以較好地控制納米梁的非線性振動(dòng)行為。根據(jù)近似計(jì)算結(jié)果，可以得到交流激勵(lì)電壓、無量綱阻尼、反饋增益參數(shù)和極板與納米梁間距的幅頻響應(yīng)關(guān)系曲線圖。

(2)交流激勵(lì)電壓、無量綱阻尼、反饋增益參數(shù)和梁到極板距離能夠改變非線性項(xiàng)數(shù)值大小，繼而控制和降低納米梁振動(dòng)系統(tǒng)的非線性。當(dāng)交流激勵(lì)電壓從0.25 V降到0.1 V時(shí), 系統(tǒng)的非線性減小約60%。當(dāng)無量綱阻尼從0.058 5增大至0.087 8時(shí)，系統(tǒng)的非線性減弱約40%。增大反饋增益參數(shù)或減小梁與極板距離，能夠使系統(tǒng)非線性振動(dòng)逐漸趨于穩(wěn)定。

(3)臨界電壓與反饋增益參數(shù)負(fù)相關(guān)。最大振幅與阻尼負(fù)相關(guān)，但是最大振幅與激勵(lì)電壓正相關(guān)。為了使非線性振動(dòng)趨于穩(wěn)定，根據(jù)研究結(jié)果對(duì)各參數(shù)進(jìn)行調(diào)整，可以得到較好的控制效果。