一類具有時(shí)滯的非線性系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性

呂國棟，章春國

(杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為不僅取決于系統(tǒng)的當(dāng)前狀態(tài)，而且還取決于系統(tǒng)的初始狀態(tài)。實(shí)際系統(tǒng)中經(jīng)常出現(xiàn)時(shí)滯問題，造成系統(tǒng)不穩(wěn)定。近年來，時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性問題吸引了眾多學(xué)者的注意。文獻(xiàn)[1-2]主要考慮了時(shí)滯系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定性問題。文獻(xiàn)[3]通過建立與相空間范數(shù)相關(guān)的能量泛函，討論了時(shí)滯Karman Von方程吸引子的存在性。文獻(xiàn)[4]研究了一類具有變系數(shù)時(shí)變時(shí)滯的記憶型Euler-Bernoulli板方程的局域非線性反饋衰減特性。文獻(xiàn)[5]研究了一類具有時(shí)滯項(xiàng)的Timoshenko系統(tǒng)的反饋問題，并證明了該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[6]研究了具有時(shí)滯的線性分布參數(shù)控制系統(tǒng)的漸近鎮(zhèn)定問題，并給出了時(shí)滯偏微分方程組的應(yīng)用。本文將文獻(xiàn)中的相關(guān)結(jié)果推廣到具有時(shí)滯阻尼的非線性系統(tǒng)中，給出一個(gè)在應(yīng)用中易于驗(yàn)證的充分條件。

1 問題描述

本文研究時(shí)滯對(duì)具有阻尼非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響?？紤]以下初值問題:

(1)

為了得到系統(tǒng)的適定性，假設(shè)

(H1)A在H上生成指數(shù)穩(wěn)定的C0-半群S(t)，即，存在常數(shù)μ>0和M≥0滿足

(H2)f是滿足局部Lipschitz條件的連續(xù)函數(shù)且f(0)=0，即，對(duì)于任意的φ1,φ2∈W存在正常數(shù)L>0滿足

2 系統(tǒng)的適定性

下面給出系統(tǒng) (1)適定性(即解是否存在、唯一且穩(wěn)定)的證明。記算子T(t)

定理1如果假設(shè)(H1)和(H2)成立，那么抽象Cauchy問題 (1)存在唯一弱解：

(2)

證明首先證明y(t)是方程(1)的弱解。這里的迭代過程是標(biāo)準(zhǔn)的，詳見文獻(xiàn)[7]。選取y(0)(t)∈L2([-τ,+∞);)，滿足

y(0)(t)=φ(t)t∈[-τ,0]，y(0)(t)=T(t)φ(0)，t≥0

令

(3)

第k次迭代表示為

(4)

當(dāng)k=1時(shí)，由式(3)可知：t≥0時(shí)，有

因此，對(duì)于任何正整數(shù)k，應(yīng)用歸納法可得

(5)

因此，對(duì)于任意正整數(shù)k，應(yīng)用歸納原理可得

(6)

所以，y(t)滿足積分方程(2)，即y(t)是方程(1)的弱解。

接下來，證明積分方程(2)解的唯一性。令z(t)是積分方程(2)的另一個(gè)連續(xù)解，則有

運(yùn)用Gronwall不等式得到y(tǒng)(t)≡z(t)。證畢。

3 指數(shù)穩(wěn)定性

下面證明系統(tǒng)式(1)在適當(dāng)假設(shè)下的指數(shù)穩(wěn)定性。

首先，考慮以下無時(shí)滯問題：

(7)

類似地，在條件(H1)和(H2)成立的情況下，式(7)存在唯一弱解：

(8)

和

(9)

運(yùn)用Gronwall不等式，可得

(10)

接下來，對(duì)于t-τ>0和μ-ML>0，由式(4)和式(8)得

因此，得到

(11)

(12)

由Gronwall不等式得

(13)

假設(shè)系統(tǒng)滿足條件(H3)：

μ-MLeμ τ≥0

綜合上面的推理過程，有如下的結(jié)果：

定理2如果假設(shè)(H1)—(H3)成立，那么系統(tǒng)(1)是穩(wěn)定的。

4 實(shí)例驗(yàn)證

通過文獻(xiàn)[8]中的2個(gè)實(shí)例來驗(yàn)證所得結(jié)果的有效性。

例1考慮振動(dòng)弦的邊界鎮(zhèn)定問題：

(14)

式中，c>0表示波速，α>0和α1表示邊界阻尼系數(shù)，τ>0表示時(shí)滯。

設(shè)y=(w,wt)=(w,v),和D(y=(v,c2wxx)和

例2考慮一個(gè)具有分布阻尼的梁：

(15)

式中，a2>0表示彎曲剛度，γ>0和γ1表示分布阻尼系數(shù)，τ>0表示時(shí)間遲延。

設(shè)y=(w,wt)=(w,v),和D(y=(v,-a2wxxxx-2γv)及

綜上，假設(shè)(H1)—(H3)成立，結(jié)合定理2，反饋控制系統(tǒng)(14)和(15)的解是指數(shù)穩(wěn)定的。

5 結(jié)束語

本文研究了一類時(shí)滯對(duì)非線性阻尼系統(tǒng)的穩(wěn)定性的影響。對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)來說，時(shí)滯往往是系統(tǒng)穩(wěn)定性變差或是變成不穩(wěn)定的重要因素之一，因此，考慮具有時(shí)滯的系統(tǒng)十分有意義，當(dāng)無時(shí)滯系統(tǒng)是穩(wěn)定的，時(shí)滯在某個(gè)范圍時(shí)，時(shí)滯系統(tǒng)仍能保持穩(wěn)定性。今后將進(jìn)一步考慮擴(kuò)大時(shí)滯的范圍以保證系統(tǒng)穩(wěn)定性。