區(qū)間二型時(shí)滯模糊系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

李靜靜，周紹生

(1．杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310018；2.杭州電子科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

L.A.Zadeh[1]于1975年首次提出二型模糊集合理論。從空間維數(shù)來(lái)看，一型模糊集合用二維空間來(lái)描述，二型模糊集合則用三維空間來(lái)描述，因此二型模糊集合大大增加了設(shè)計(jì)的自由度，且能更好地表述系統(tǒng)的不確定信息。區(qū)間二型T-S模糊模型不僅降低了運(yùn)算的復(fù)雜度，而且還保持了廣義二型T-S模糊模型的優(yōu)點(diǎn)，因此具有更多的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

在許多實(shí)際工程系統(tǒng)中，時(shí)滯常常導(dǎo)致系統(tǒng)退化、振蕩、混沌甚至不穩(wěn)定等現(xiàn)象。因此，帶有時(shí)滯的T-S模糊系統(tǒng)的研究非常有意義，目前已取得很好的結(jié)果。文獻(xiàn)[2]通過(guò)構(gòu)造一個(gè)時(shí)滯分割的Lyapunov-Krasovskii泛函來(lái)減小系統(tǒng)穩(wěn)定性準(zhǔn)則的保守性。文獻(xiàn)[3]運(yùn)用二階凸組合的思想，以及二次凸函數(shù)的性質(zhì)，得到保守性較小的穩(wěn)定性準(zhǔn)則。文獻(xiàn)[4]采用模糊加權(quán)相關(guān)矩陣和倒數(shù)凸組合方法得到比文獻(xiàn)[2-3]保守性更小的穩(wěn)定性準(zhǔn)則。近年來(lái)，區(qū)間二型時(shí)滯模糊系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析和控制器設(shè)計(jì)受到廣大學(xué)者的關(guān)注。文獻(xiàn)[5]利用自由加權(quán)矩陣的方法，建立了區(qū)間二型時(shí)滯模糊系統(tǒng)的穩(wěn)定和鎮(zhèn)定條件。文獻(xiàn)[6]針對(duì)區(qū)間二型常時(shí)滯模糊系統(tǒng)，利用Wirtinger不等式建立了相關(guān)鎮(zhèn)定條件，但是Wirtinger不等式比二階Bessel-Legendre的保守性更高，在減小結(jié)果的保守性上仍然有一定的改進(jìn)空間。本文針對(duì)區(qū)間二型時(shí)變時(shí)滯模糊系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題，構(gòu)造改進(jìn)了Lyapunov-Krasovskii泛函，并給出系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件。

1 系統(tǒng)模型

用If-then規(guī)則描述基于T-S模型的區(qū)間二型時(shí)滯模糊系統(tǒng)：

(1)

(2)

區(qū)間二型時(shí)滯模糊系統(tǒng)可以表述為：

(3)

式中，

(4)

2 主要結(jié)果

Ξ13=Y11-Y12+Y13+Y21-Y22+Y23+Y31-Y32+Y33-P12,

Ξ23=3R-Y11+Y12-Y13+Y21-Y22+Y23-Y31+Y32-Y33,

證明本文構(gòu)造了如下Lyapunov-Krasovskii泛函

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

結(jié)合式(8)和式(9)中的第一項(xiàng)，再利用引理1，得到：

(11)

(12)

(13)

3 數(shù) 例

例1對(duì)于區(qū)間二型時(shí)滯模糊系統(tǒng)(3)，當(dāng)s=2時(shí)，各參數(shù)矩陣選取如下：

表1 給定不同的μ值得到的d值比較

通過(guò)改變?chǔ)虂?lái)獲得使系統(tǒng)(3)漸近穩(wěn)定的最大允許時(shí)滯上界d,并與文獻(xiàn)[2]、文獻(xiàn)[4]的方法比較，結(jié)果如表1所示。由表1可以明顯看出：使用本文方法得到的最大允許時(shí)滯上界d比文獻(xiàn)[2]、文獻(xiàn)[4]得到的值大，說(shuō)明本文所得到的穩(wěn)定性準(zhǔn)則的保守性更小。

例2對(duì)于區(qū)間二型時(shí)滯模糊系統(tǒng)(3)，當(dāng)s=2且μ未知時(shí)，各參數(shù)矩陣選取如下：

表2 不同方法所得到的穩(wěn)定性結(jié)果比較

采用本文方法，使用MATLAB中的LMI工具箱, 得到使系統(tǒng)(3)漸近穩(wěn)定的最大允許時(shí)滯上界d,并與文獻(xiàn)[3]、文獻(xiàn)[4]的方法比較，結(jié)果如表2所示。

由表2可以明顯看出：使用本文方法得到的最大允許時(shí)滯上界d比文獻(xiàn)[3]、文獻(xiàn)[4]得到的值大，且決策變量數(shù)比文獻(xiàn)[4]的少，說(shuō)明本文所得到的穩(wěn)定性準(zhǔn)則的保守性更小。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文研究區(qū)間二型時(shí)變時(shí)滯模糊系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析問(wèn)題。首先，分析現(xiàn)有文獻(xiàn)中存在的問(wèn)題;然后，構(gòu)造一種帶有三重積分項(xiàng)的增廣Lyapunov-Krasovskii泛函,并結(jié)合二階Bessel-Legendre不等式、倒數(shù)凸組合的方法以及擴(kuò)展的Jensen不等式得到該Lyapunov-Krasovskii泛函導(dǎo)數(shù)的緊上界;最后，以線性矩陣不等式形式給出一個(gè)具有較小的保守性且決策變量數(shù)較少的穩(wěn)定性判據(jù)。本文未考慮區(qū)間二型時(shí)變時(shí)滯模糊系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)問(wèn)題，下一步將對(duì)此展開(kāi)相關(guān)研究。