一道以圓為基礎(chǔ)的綜合題的解題思考

摘?要：本文以2019年云南省學(xué)業(yè)水平考試第23題為背景，從試題分析、解題展示引發(fā)解后反思，提出了以中考題為依托開展課堂教學(xué)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生不斷總結(jié)與反思，加強(qiáng)元認(rèn)知的開發(fā)，使學(xué)生真正領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的思想和方法，提升數(shù)學(xué)思維層次，提升數(shù)學(xué)解題能力。

關(guān)鍵詞：原題呈現(xiàn);解題展示;解后反思

一、 原題呈現(xiàn)

（2019年云南23題）如圖，AB是⊙C的直徑，M、D兩點(diǎn)在AB的延長(zhǎng)線上，E是⊙C上的點(diǎn)，且DE2=DB·DA。延長(zhǎng)AE至F，使AE=EF，設(shè)BF=10，cos∠BED=45。

（1）求證：△DEB∽△DAE;

（2）求DA、DE的長(zhǎng);

（3）若點(diǎn)F在B、E、M三點(diǎn)確定的圓上，求MD的長(zhǎng)。

二、 試題分析

試題是2019年云南省學(xué)業(yè)水平考試第23題壓軸題，設(shè)有3個(gè)小問，主要考查三角形相似的判定及性質(zhì)、圓的性質(zhì)、等腰三角形的判定、勾股定理、銳角三角函數(shù)及共圓問題。第（1）問證三角形相似是考查相似三角形的判定：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似。第（2）問求線段DA、DE的長(zhǎng)包含在DE2=DB·DA，只需求出AB的長(zhǎng)，找到DE、DB的關(guān)系即可求解，實(shí)際上是考查相似三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)及勾股定理。（3）求DM的長(zhǎng)，結(jié)合（2）只需求出AM的長(zhǎng)即可求解，考查的是共圓、圓的性質(zhì)及相似三角形的判定及性質(zhì)，對(duì)學(xué)生的應(yīng)用能力要求較高。三個(gè)小問緊密聯(lián)系，第（2）問要用到第（1）問的結(jié)論，第（3）問要用到第（2）問中求出的線段長(zhǎng)來解題，故學(xué)生做題是需要整體把握性質(zhì)和特征。

三、 解題展示

本題是以圓為背景的綜合體，涉及三角形的相似、銳角三角函數(shù)。常應(yīng)用兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似和兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等證三角形相似，然后利用相似三角形的性質(zhì)解題。

解第（1）問：

看見等積式就聯(lián)想到對(duì)應(yīng)線段成比例，所以證三角形相似只需找夾角相等即可。

∵DE2=DB·DA，

∴DBDE=DEDA。

∵∠D=∠D，

∴△DEB∽△DAE。

解第（2）問：

所求線段DA、DE的長(zhǎng)包含在DE2=DB·DA中，而DA=DB+AB，故只需求出AB的長(zhǎng)，找到DE、DB的關(guān)系即可求解。

∵AB是直徑，∴BE⊥AF。

∵AE=FE，BF=10，∴AB=BF=10。

∵由（1）中△DEB∽△DAE，∴∠A=∠BED，

∴cosA=cos∠BED=45，

∴在Rt△ABE中，AE=ABcosA=10×45=8，

∴BE=AB2-AE2=6。

∵△DEB∽△DAE，∴DBDE=BEAE=68=34，

∴設(shè)DB=3k，DE=4k，則DA=DB+AB=3k+10，則（4k）2=3k（3k+10），

∴k=307，∴DE=1207，DA=1607。

解第（3）問：

由點(diǎn)F在B、E、M三點(diǎn)確定的圓上推出F、B、E、M四點(diǎn)共圓。由（2）知∠BEF=90°，由此推出BF是直徑，從而推出∠BMF=90°，進(jìn)而推出△ABE∽△AFM，從而利用相似求出AM，即可得DM的長(zhǎng)。

連接FM。

∵點(diǎn)F在B、E、M三點(diǎn)確定的圓上，∴F、B、E、M四點(diǎn)共圓。

∵由（2）知∠BEF=90°，

∴BF是直徑，∴∠BMF=90°，∴∠BMF=∠AEB。

∵∠A=∠A，∴△ABE∽△AFM，

∴ABAF=AEAM1016=8AMAM=645，

∴MD=AD-AM=1607-645=35235。

四、 解后反思

中考真題凝結(jié)了命題者的智慧，體現(xiàn)了新課標(biāo)的要求與理念，好的中考題不僅有選拔功能，而且有很好的教學(xué)導(dǎo)向，每一道題都值得學(xué)習(xí)與探究，以中考題為依托開展課堂教學(xué)具有較好的現(xiàn)實(shí)意義。

1. 要在平時(shí)的教學(xué)中回歸課本加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)，學(xué)生只有掌握了基礎(chǔ)知識(shí)，才能對(duì)知識(shí)更深層次的認(rèn)識(shí)，才能達(dá)到提高解題能力的效果。

2. 要在平時(shí)教學(xué)中，教師要關(guān)注解題過程。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本身就是一個(gè)過程，平時(shí)教學(xué)中要立足課標(biāo)，注重學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系。

3. 要在平時(shí)的教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生解題的反思。一是培養(yǎng)解題前思路的反思。在求解某一道題前，要認(rèn)真審題，通過聯(lián)想和反思找到求解的思路。二是培養(yǎng)解題中的目標(biāo)反思。要訓(xùn)練學(xué)生將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成若干小問題進(jìn)行分析，一一完成。分析后留給學(xué)生思考的時(shí)間，這樣才能提高學(xué)生幾何分析的能力，才能訓(xùn)練和培養(yǎng)學(xué)生的解題能力。三是解題后思維剖析反思。學(xué)生完成解題后，要將題目中涉及的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行鞏固，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法。

4. 要教會(huì)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法。教學(xué)時(shí)應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，由規(guī)律發(fā)現(xiàn)方法，同時(shí)讓學(xué)生展示自己的發(fā)現(xiàn)，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，這樣既教會(huì)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法，又讓學(xué)生產(chǎn)生了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的原動(dòng)力。

5. 要在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)進(jìn)行反思。一是課前回顧前節(jié)課知識(shí)的反思，看看自己前節(jié)課知識(shí)的掌握鞏固情況;二是課堂中讓學(xué)生做好重點(diǎn)內(nèi)容的摘記，從摘記中體驗(yàn)課堂學(xué)習(xí)的內(nèi)容;三是一節(jié)課結(jié)束時(shí)讓學(xué)生進(jìn)行反思，想想自己本節(jié)課有什么收獲、疑問;四是讓學(xué)生養(yǎng)成睡前在頭腦中回顧一天的學(xué)習(xí)內(nèi)容，對(duì)一天的學(xué)習(xí)情況進(jìn)行反思，從而及時(shí)鞏固當(dāng)天的學(xué)習(xí)內(nèi)容。

五、 結(jié)束語

總之，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生不斷總結(jié)與反思，加強(qiáng)元認(rèn)知的開發(fā)，使學(xué)生真正領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的思想和方法，提升數(shù)學(xué)思維層次，提升數(shù)學(xué)解題能力。

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作者簡(jiǎn)介：

查書平，云南省曲靖市，云南省曲靖市馬龍區(qū)第一中學(xué)。