關(guān)于彎曲時(shí)空中的量子場(chǎng)論的一種新構(gòu)想

董振銘

摘? 要：在彎曲時(shí)空中的無(wú)窮遠(yuǎn)處設(shè)置一個(gè)量子實(shí)驗(yàn)室，該無(wú)窮遠(yuǎn)處的度規(guī)是閔可夫斯基度規(guī)，即將彎曲時(shí)空的無(wú)窮遠(yuǎn)處視為平直時(shí)空，在量子實(shí)驗(yàn)室的參考系中量子的產(chǎn)生和湮滅可以按照平直時(shí)空的量子場(chǎng)論來(lái)處理，對(duì)于同一個(gè)粒子的產(chǎn)生或湮滅，在非無(wú)窮遠(yuǎn)處的彎曲時(shí)空某一點(diǎn)參考系當(dāng)中看來(lái)，要滿(mǎn)足廣義相對(duì)論中的時(shí)間和空間膨脹收縮的結(jié)果。即在量子實(shí)驗(yàn)室的參考系看來(lái)，空間中某一點(diǎn)x某一時(shí)刻t產(chǎn)生或者湮滅的一個(gè)粒子，在彎曲時(shí)空中某一點(diǎn)參考系看來(lái)，是x'處和t'時(shí)刻產(chǎn)生或湮滅的粒子，時(shí)間和空間的差異是按照兩個(gè)參考系之間進(jìn)行變換后的結(jié)果。如果僅僅把引力視為時(shí)空彎曲的效應(yīng)，將量子實(shí)驗(yàn)室參考系和彎曲時(shí)空參考系平權(quán)，認(rèn)為在彎曲時(shí)空參考系中的量子產(chǎn)生湮滅現(xiàn)象在量子實(shí)驗(yàn)參考系中也滿(mǎn)足這種對(duì)應(yīng)關(guān)系，則能利用量子力學(xué)的平移算符和彎曲時(shí)空的度規(guī)張量構(gòu)造出彎曲時(shí)空中的量子場(chǎng)論。

關(guān)鍵詞：彎曲時(shí)空? 量子場(chǎng)論? 平移算符? 度規(guī)張量

中圖分類(lèi)號(hào)：O412.3;O413.4 ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2020）01（b）-0218-03

Abstract： Set a quantum laboratory in a point at infinity in the curved spacetime， the metric of the point is minkowski metric. The creation and annihilation of quantum in quantum laboratory reference frame can be handled in accordance with the flat space-time quantum field theory， for the same particle‘s creation or annihilation， in another point on the curved spacetime reference frame， to meet the result of the general theory of relativity in time and space expansion or shrinkage. Assume a particle that is created or annihilated at some point x at some time t in quantum lab reference frame， the same particle that is created or annihilated at x and t at some point in the reference frame of in curved spacetime， the difference in time and space is the result of a transformation between two reference frames. If only regard the effect of gravity as bending spacetime， quantum laboratory reference frame and the reference frame of a curved spacetime are equal， we can think quantum phenomena in curved spacetime reference frame also meet this kind of corresponding relation between the reference frames， so we can use the translation of quantum mechanics operator and the metric tensor to structure the quantum field theory in curved spacetime.

Key Words： Curved spacetime; Quantum field theory; Translation operator; The metric tensor

關(guān)于彎曲時(shí)空中的量子場(chǎng)論介紹，國(guó)內(nèi)比較著名的有北京師范大學(xué)劉遼先生所著的《彎曲時(shí)空量子場(chǎng)論與量子宇宙學(xué)》教材，書(shū)中討論的是經(jīng)典引力場(chǎng)背景下的量子場(chǎng)論，而非量子引力理論。不同于書(shū)中通過(guò)一個(gè)量子物質(zhì)場(chǎng)的有效作用量[1]將引力場(chǎng)方程和量子物質(zhì)場(chǎng)聯(lián)系起來(lái)的方法，文章將引力視為一種純粹的時(shí)空彎曲作用，而不將經(jīng)典引力場(chǎng)與量子場(chǎng)論中的粒子場(chǎng)同等視為一種場(chǎng)，從而避開(kāi)引力場(chǎng)和量子場(chǎng)之間的矛盾以及引力量子化帶來(lái)的種種困難，試圖提出一種關(guān)于彎曲時(shí)空量子場(chǎng)論的新構(gòu)想、新觀(guān)點(diǎn)。

1? 量子實(shí)驗(yàn)室參考系與彎曲時(shí)空參考系（以史瓦西度規(guī)為例，文章中的度規(guī)均使用國(guó)際單位制，而不是自然單位制）

假設(shè)一個(gè)靜止的球?qū)ΨQ(chēng)大質(zhì)量密度天體，該天體的對(duì)外部空間的作用結(jié)果是空間不再是平直的閔可夫斯基度規(guī)，而是史瓦西度規(guī)，時(shí)空的線(xiàn)元滿(mǎn)足：

在史瓦西時(shí)空的無(wú)窮遠(yuǎn)處設(shè)置一個(gè)量子實(shí)驗(yàn)室，在量子實(shí)驗(yàn)室中進(jìn)行相對(duì)論性的量子實(shí)驗(yàn)。根據(jù)量子場(chǎng)論，相對(duì)論性的量子現(xiàn)象會(huì)有粒子的產(chǎn)生或者湮滅，粒子數(shù)可以不守恒，這是量子場(chǎng)論區(qū)別于非相對(duì)論量子力學(xué)的最大區(qū)別[2]。在無(wú)窮遠(yuǎn)的平直時(shí)空中產(chǎn)生或湮滅的某些種類(lèi)的微觀(guān)粒子是具有非零的靜止質(zhì)量的，比如電子。按廣義相對(duì)論的觀(guān)點(diǎn)，這些實(shí)物粒子可以彎曲時(shí)空，產(chǎn)生引力作用，但是，就算有微觀(guān)粒子的產(chǎn)生，其帶來(lái)的引力作用是可以忽略的，比起電磁、強(qiáng)相互作用和弱相互作用，微觀(guān)領(lǐng)域的引力作用也是忽略不計(jì)的[3]。那么我們忽略掉產(chǎn)生或湮滅的微觀(guān)粒子所帶來(lái)的對(duì)時(shí)空度規(guī)的影響，即在量子實(shí)驗(yàn)室參考系里面，量子實(shí)驗(yàn)的結(jié)果遵循平直時(shí)空的量子場(chǎng)論，即一般的量子場(chǎng)論。

如果我們?cè)诹孔訉?shí)驗(yàn)室里進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，得到的其中一個(gè)現(xiàn)象是在t1時(shí)刻在r1處湮滅了一個(gè)光子，然后又在t2時(shí)刻在r2處產(chǎn)生了一個(gè)光子，設(shè)它們之間是類(lèi)光間隔，記為事件1。其中t1、r1、t2、r2都是相對(duì)于量子實(shí)驗(yàn)室參考系而言的。

而在非無(wú)窮遠(yuǎn)處（彎曲時(shí)空），比如史瓦西空間中的r處，在該處設(shè)一個(gè)觀(guān)測(cè)點(diǎn)，以它為參考系，在該參考系中，事件1是在t1'時(shí)刻在r1'處湮滅了一個(gè)光子，然后又在t2'時(shí)刻在處r2'產(chǎn)生了一個(gè)光子，由于在平直時(shí)空中是類(lèi)光間隔，那么變換到彎曲時(shí)空中依舊是類(lèi)光間隔[4]。

那么t2-t1與t2'-t1'之間的關(guān)系、x2-x1與x2'-x1'之間的關(guān)系由什么來(lái)決定呢？

2? 彎曲時(shí)空的膨脹與收縮

無(wú)論在平直時(shí)空還是在彎曲時(shí)空，光的傳播的間隔（類(lèi)光間隔）都滿(mǎn)足ds2=0。

以一把尺子自己本身作為參考系，即參考系相對(duì)尺子靜止，測(cè)得的尺子長(zhǎng)度都是尺子的固有長(zhǎng)度[5]，是洛倫茲不變量，不會(huì)因尺子位置的時(shí)空狀態(tài)而改變。

如果尺子在平直時(shí)空，一束光從一把尺子的一段傳播到另一端，由r1到r2，經(jīng)過(guò)時(shí)間t1到t2，徑向傳播，那么：在平直時(shí)空中用光測(cè)量尺子的固有長(zhǎng)度用時(shí)t2-t1，在彎曲時(shí)空中用光測(cè)量尺子的固有長(zhǎng)度用時(shí)t2'-t1'，光速不變，尺子固有長(zhǎng)度一致，由式（6）可知彎曲時(shí)空（史瓦西度規(guī)）中時(shí)間比平直時(shí)空較慢。

前面的討論是同一把尺子分別放在平直時(shí)空和彎曲時(shí)空測(cè)量固有長(zhǎng)度，由光速不變可得時(shí)間膨脹收縮公式（6）式。

接下來(lái)是一把尺子放在彎曲時(shí)空，在彎曲時(shí)空參考系和平直時(shí)空參考系兩個(gè)系看同一個(gè)事件的區(qū)別。

將尺子置于彎曲時(shí)空中，在尺子的該點(diǎn)參考系測(cè)量其固有長(zhǎng)度，光的傳播用時(shí)t2'-t1'，測(cè)量所得的距離（固有長(zhǎng)度）c（t2'-t1'）是同時(shí)在無(wú)窮遠(yuǎn)處的平直時(shí)空參考系看來(lái)，在彎曲時(shí)空處光的傳播用時(shí)t2-t1，測(cè)得的距離（非固有長(zhǎng)度）是c（t2-t1），空間膨脹收縮公式：結(jié)合時(shí)間膨脹收縮公式（6）式和空間膨脹收縮公式（7）式，顯然同一物體的固有長(zhǎng)度不會(huì)發(fā)生改變。

3? 事件1在量子實(shí)驗(yàn)室參考系和彎曲時(shí)空參考系的區(qū)別

發(fā)生在量子實(shí)驗(yàn)室（平直時(shí)空）的事件1，在彎曲時(shí)空的處觀(guān)測(cè)點(diǎn)所觀(guān)測(cè)得到的結(jié)果必然滿(mǎn)足時(shí)空的收縮。那么相對(duì)的，如果事件1是發(fā)生在彎曲時(shí)空中的觀(guān)測(cè)點(diǎn)，那么在量子實(shí)驗(yàn)室觀(guān)測(cè)到的結(jié)果也應(yīng)該滿(mǎn)足時(shí)空的膨脹。

也就是說(shuō)，如果把引力看作一種純粹的時(shí)空效應(yīng)，那么原來(lái)在平直時(shí)空的量子場(chǎng)論，當(dāng)變換到彎曲時(shí)空時(shí)，只需考慮時(shí)空的彎曲效應(yīng)。

從第二點(diǎn)中的討論可以看出，這種時(shí)空的彎曲可以直接與度規(guī)張量的矩陣元聯(lián)系在一起。

以標(biāo)量粒子為例，原來(lái)在量子實(shí)驗(yàn)室的相對(duì)論性量子實(shí)驗(yàn)，滿(mǎn)足下面式子的描述（四維形式，愛(ài)因斯坦約定求和，此處使用了自然單位制）：

當(dāng)事件1發(fā)生在彎曲時(shí)空時(shí)，彎曲時(shí)空觀(guān)測(cè)點(diǎn)的結(jié)果仍然可以用上述式子描述（類(lèi)似固有長(zhǎng)度，在引力場(chǎng)尺度下忽略實(shí)驗(yàn)室尺寸），位于量子實(shí)驗(yàn)室（平直時(shí)空）的觀(guān)測(cè)結(jié)果則要求上述式子所表述的物理結(jié)果滿(mǎn)足時(shí)空膨脹的結(jié)果。

4? 平移算符與膨脹收縮算符

曾謹(jǐn)言先生所著的《量子力學(xué)教程（第四版）》中有一個(gè)用來(lái)描述量子體系坐標(biāo)平移的算符，被稱(chēng)為平移算符[6]，如下：。當(dāng)平移算符作用于波函數(shù)（x）時(shí)，得。

對(duì)算符進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)[7]展開(kāi)，得：

平移算符相當(dāng)于使原來(lái)的波函數(shù)的坐標(biāo)x變?yōu)閤-a。

以史瓦西度規(guī)（球?qū)ΨQ(chēng)）為例，g00是時(shí)間t項(xiàng)的度規(guī)矩陣元，g11是r項(xiàng)的度規(guī)矩陣元，可以將平移算符改為：

暫時(shí)把上式稱(chēng)為史瓦西膨脹收縮算符，用exp（g）表示。

如果令算符作用后的坐標(biāo)r，t為r'，t'，那么由，，可得第二點(diǎn)中的時(shí)空膨脹收縮公式（6）式和（7）式。

當(dāng)exp（g）作用于場(chǎng)量（r，t，...）、外源J（r，t，...）兩者和其余的表達(dá)式中的時(shí)空坐標(biāo)量r，t時(shí)，空間坐標(biāo)量由r變?yōu)?，此時(shí)再處理出來(lái)對(duì)應(yīng)的會(huì)得到空間膨脹的結(jié)果，時(shí)間坐標(biāo)量由t變?yōu)?，同理?huì)得到時(shí)間膨脹的結(jié)果，此時(shí)得到的描述結(jié)果符合時(shí)空效應(yīng)。不同的度規(guī)應(yīng)該根據(jù)時(shí)空效應(yīng)求得對(duì)應(yīng)的膨脹收縮算符，結(jié)果的形式與exp（g）是類(lèi)似的。

假設(shè)我們處于弱場(chǎng)或者平直時(shí)空中，討論一個(gè)處于史瓦西度規(guī)強(qiáng)場(chǎng)（彎曲時(shí)空）中的相對(duì)論性量子實(shí)驗(yàn)（標(biāo)量粒子），那么在我們看來(lái)，描述這個(gè)量子實(shí)驗(yàn)的一套數(shù)學(xué)工具應(yīng)該是：場(chǎng)量'（x）=exp（g）（x）。外源J'（x）=exp（g）J（x）;其余地方的時(shí)空坐標(biāo)x'=exp（g）x。剩下的式子用上述3類(lèi)量寫(xiě)出可保證算符不重復(fù)作用，上述式子描述的結(jié)果符合時(shí)空效應(yīng)。

5? 觀(guān)測(cè)者時(shí)空和量子實(shí)驗(yàn)時(shí)空

再根據(jù)第二點(diǎn)的方法計(jì)算觀(guān)測(cè)者時(shí)空和量子實(shí)驗(yàn)室時(shí)空之間的膨脹收縮關(guān)系，得出對(duì)應(yīng)的膨脹收縮算符exp（g實(shí)驗(yàn)室對(duì)于g觀(guān)），再作用于'（x）和其他各種物理量，則可得到符合觀(guān)測(cè)者觀(guān)測(cè)結(jié)果的量子場(chǎng)論描述。

6? 結(jié)論

如果將引力作用視為純粹的時(shí)空彎曲效應(yīng)，利用時(shí)空的度規(guī)可得時(shí)空之間的膨脹收縮關(guān)系，再根據(jù)膨脹收縮關(guān)系構(gòu)建膨脹收縮算符（一般使用度規(guī)矩陣元表示），算符作用于場(chǎng)量、時(shí)空坐標(biāo)等物理量和式子，即可得到滿(mǎn)足時(shí)空效應(yīng)的量子場(chǎng)論，即彎曲時(shí)空中的量子場(chǎng)論。

7? 應(yīng)用與局限

彎曲時(shí)空量子場(chǎng)論不同于量子引力論，是一種具有一定局限性的、出于某些應(yīng)用和研究目的的廣義相對(duì)論和量子場(chǎng)論的融合產(chǎn)物。但一個(gè)有效或者說(shuō)在一定精度上近似有效的彎曲時(shí)空量子場(chǎng)論對(duì)天體高能粒子物理、實(shí)驗(yàn)室高能粒子對(duì)撞機(jī)等都有很大的應(yīng)用，而且啟發(fā)人們?nèi)ヌ綄び钪嬉ΜF(xiàn)象與微觀(guān)粒子現(xiàn)象之間的聯(lián)系。

參考文獻(xiàn)

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