GPS高程擬合方法及精度分析

陸治兵 高波

摘? 要：以GPS測量的大地高為基礎(chǔ)，利用似大地水準(zhǔn)面獲得正常高，是一種創(chuàng)新的高程測量方法，而GPS擬合方法是否恰當(dāng)，擬合后的精度能否滿足要求，直接關(guān)系到GPS高程測量方式在實際工程中的應(yīng)用。通過工程實例研究了多項式擬合、多面函數(shù)擬合、克里金插值法等GPS高程擬合方式的差異性。通過對精度分析，得出各種擬合方式的優(yōu)劣勢，以利于在實際生產(chǎn)中選取合適的擬合方法。

關(guān)鍵詞：GPS高程擬合? 多項式擬合? 多面函數(shù)? 克里金插值? 精度

中圖分類號：P228 ? ?文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1672-3791（2020）01（b）-0046-05

Abstract： It was an innovative elevation measurement method which obtained Normal Height by using quasi-geoid，based on the GPS geodetic height， but the GPS elevation fitting method and fitting precision of the method was directly related to the application of GPS elevation measurement method in practical projects. The differences of the GPS elevation fitting method such as polynomial fitting， multiple-Surface function fitting， Kriging interpolation method were studied in engineering examples. The superiority and inferiority of the GPS elevation fitting method which helped to choose the optimal fitting method in the actual production was obtained by accuracy analysis.

Key Words： GPS elevation fitting; Polynomial fitting; Multiple-Surfacefunction fitting; Kriging interpolation; Accuracy

全球衛(wèi)星定位系統(tǒng)（GPS）以其全天候、高精度、自動化、高效益等特點已成功應(yīng)用于大地測量、工程測量，其在大范圍的高精度測量控制網(wǎng)、城市控制網(wǎng)、工程控制網(wǎng)、測圖控制網(wǎng)中發(fā)揮極為重要的作用，逐步撼動著常規(guī)測量技術(shù)的地地位，這也包括了幾何水準(zhǔn)測量。

在不是強制需要正常高的項目中，GPS已能夠利用似大地水準(zhǔn)面（確定高程異常）獲得正常高替代水準(zhǔn)測量任務(wù)完成工程測量或科學(xué)研討任務(wù)，如地形沉降監(jiān)測、災(zāi)害危害分析、道路運輸控制等[1]。如何利用有效控制點布設(shè)、恰當(dāng)?shù)母叱虜M合方式把GPS大地高轉(zhuǎn)換為滿足工程需求精度正常高，是大家關(guān)注的要點問題。

1? GPS高程擬合方法

在一定的區(qū)域中，首先應(yīng)存在一部分已知正常高的已知點，再采取GPS聯(lián)測的方式獲取其大地高，通過相同點的大地高及正常高獲得高程異常。若測區(qū)中具有數(shù)量足夠多的觀測點，且點位分布均勻，就可根據(jù)已測點上的高程異常值構(gòu)建某種曲面來逼近測區(qū)似大地水準(zhǔn)面以推算其他待測點的高程異常值，進而獲得正常高。

1.1 多項式法

1.2 多面函數(shù)法

基本思想：任何不規(guī)則連續(xù)曲面，總能用N個有規(guī)律曲面的數(shù)學(xué)表面的集合來疊加逼近表達。

1.3 克里金插值法

克里金插值的原理是概率統(tǒng)計中無偏、最小方差條件。假設(shè)在研究區(qū)域化變量Z（x），待插值點為x0，樣本點記為xi（i=1，2，…，n），在點xi處的屬性值記為Z（xi），則待插值點x0處的屬性值是各個樣本點屬性值的加權(quán)和，記為式（13）。

（13）

其中，λi為待定權(quán)系數(shù)。

根據(jù)無偏條件得到權(quán)系數(shù)滿足關(guān)系式∑ni=1λi=1，方差最小條件能夠得到求解權(quán)系數(shù)的方程組。

根據(jù)克里金插值的原理看出，插值部分分為兩個步驟：第一步為根據(jù)對插值點的關(guān)系程度確定待插值點周圍的已知點。第二部為獲得克里金方程組，依方程組解算出權(quán)重系數(shù)值，得到待插值點屬性值。

（1）鄰域搜索有效點。

現(xiàn)有的鄰域搜索方法主要是建立空間橢球體。針對每個待插值點，以它的空間坐標(biāo)為中心，確定（x，y，z）方向的半徑，以建立一個橢球體。遍歷每個已知點，若已知點落在該橢球體內(nèi)，將其標(biāo)識為有效點，否則，放棄該點。建立橢球體的參數(shù)主要有：（x，y，z）軸向的半徑以及己知點個數(shù)、搜索方向。

空間橢球體3個軸向的半徑主要與變差函數(shù)的變程、地質(zhì)數(shù)據(jù)特征、已知點分布情況等有關(guān)。根據(jù)所需己知點個數(shù)的多少，橢球體是可以進行動態(tài)縮放的，當(dāng)所需的已知點個數(shù)很少時，可以將橢球體進行收縮;當(dāng)需要較多數(shù)量的已知點時，將橢球體放大。

（2）克里金方程組。

2? GPS擬合水準(zhǔn)精度評定

GPS擬合水準(zhǔn)精度進行評定時，為了盡可能準(zhǔn)確的評定GPS擬合成果精度，應(yīng)盡量布設(shè)GPS點與幾何水準(zhǔn)進行聯(lián)測，確保水準(zhǔn)聯(lián)測起點覆蓋整個網(wǎng)絡(luò)并分布均勻，以便有效的開展外部檢核。

①按照規(guī)范要求利用檢核點和己知點之間的距離L（km）求出檢核點擬合殘差的限值，依據(jù)限值來評定水準(zhǔn)擬合的外符合精度情況。

②以GPS水準(zhǔn)測量方式求出GPS點間的正常高程差，在己知點間形成附合或閉合高程導(dǎo)線，并對比分析閉合差與限差，從而評定GPS水準(zhǔn)精度。

3? 項目實例

3.1 工程概況

結(jié)合工程實例利用一測區(qū)已有成果資料對上述GPS擬合水準(zhǔn)方法進行分析，論證上述方法的可行性，對不同GPS擬合方法的成果精度進行簡要分析。實例測區(qū)地形復(fù)雜（見圖1），北部區(qū)域地形類別為山區(qū)，其高差起伏較大。利用測區(qū)C級GPS觀測數(shù)據(jù)，經(jīng)約束平差獲得觀測點平面成果，觀測點高程成果為二等水準(zhǔn)測量獲得，平面及高程成果數(shù)據(jù)精度符合本文擬合精度要求。

3.2 實例分析

3.2.1 多項式擬合

測區(qū)部分區(qū)域為山區(qū)，此次多項式擬合方法，分別采用已知點12點和17點分別擬合二次多項式和三次多項式求解轉(zhuǎn)換參數(shù)，多項式擬合模型的內(nèi)符合和外符合精度統(tǒng)計見表1。

從1表可以看出，選取已知點的數(shù)量不同，多項式階數(shù)的選取不同，均導(dǎo)致成果精度不一樣。（1）12點擬合比17點擬合的內(nèi)符合精度高，因為擬合的已知點選取較少，用來約束平差的方程較少;（2）從外符合精度來看，二次多項式精度總體優(yōu)于三次多項式成果;（3）17點擬合時相對于12點擬合，其內(nèi)符合精度方面二次多項式變化不大，三次多項式卻顯著降低，但外符合精度基本一樣。結(jié)合算例，該區(qū)域使用二次多項式擬合精度更高，選取已知點17點時擬合效果更佳。

3.2.2 多面函數(shù)擬合

此次多面函數(shù)擬合方法分別采用12點和17點構(gòu)建核函數(shù)，經(jīng)過多次反復(fù)試算，最終12點的核函數(shù)平滑因子定為1.4×109，17點的核函數(shù)模型平滑因子定為1.14×1010，獲得模型的外符合精度見表2。

從表2看出，外符合精度方面17個已知點擬合明顯優(yōu)于12個已知點擬合，亦優(yōu)于多項式擬合結(jié)果。相對于多項式擬合方法，多面函數(shù)擬合的的離散程度更小，精度更高，更接近真值。

3.2.3 克里金插值法

該算例中采用的是普通克里金方法，理論變差函數(shù)基本模型分別采用線性模型和高斯模型，分別采用12點和17點擬合實驗變差函數(shù)，經(jīng)過多次反復(fù)試算，線性模型和高斯模型分別采用12點和17點擬合的外符合精度統(tǒng)計見表3。

從表3可以看出，采用克里金插值法，理論變差函數(shù)基本模型分別采用線性模型和高斯模型，精度相差不大;分別采用12點和17點擬合實驗變差函數(shù)，擬合函數(shù)模型的外符合精度比采用多面函數(shù)模型時精度略有提高。

3.2.4 精度評定

依據(jù)規(guī)范限差指標(biāo)要求，利用結(jié)合檢核點與最近已知點的路線長，獲得檢核點擬合殘差的限值，與觀測點水準(zhǔn)高程成果對比，具體情況見圖2、圖3。

結(jié)合表1～表3與圖2、圖3反映的各點擬合精度可以看出以下方面。

（1）采用多項式擬合方法僅能滿足等外水準(zhǔn)精度要求，但難以保證滿足四等水準(zhǔn)的精度要求。

（2）多面函數(shù)擬合方法擬合精度相較多項式擬合有提高，采用17點進行擬合時基本能夠滿足四等水準(zhǔn)測量的精度要求。

（3）采用克里金插值法擬合的精度比多面函數(shù)有進一步提高，完全可以滿足四等水準(zhǔn)測量的精度要求。

3? 結(jié)語

該文結(jié)合工程案例，對3種GPS高程擬合方法陳國進行對比分析，得到的結(jié)論如下。

（1）多項式擬合方法中隨著階數(shù)的增加，內(nèi)符合精度顯著提高，但外符合精度變化不大，因為隨著階數(shù)的增加用于約束模型的條件方程會減少。實例中無論是二次和三次多項式擬合方法，其結(jié)果均達不到四等水準(zhǔn)的精度要求，但可以達到普通水準(zhǔn)測量精度要求。

（2）地形復(fù)雜的測區(qū)可優(yōu)先選用多面函數(shù)擬合法，能反映出測區(qū)內(nèi)部的高低地形變化程度。但是其無法提取直接確定合適的光滑因子制約了其效率，要通過試驗才能獲得比較理想的光滑因子。選用相同的擬合點的核函數(shù)，光滑因子越大有利于擬合效果的改善，但并不是光滑因子無限大，擬合的殘差就趨近于零，當(dāng)超過某極限值時，擬合殘差反而會增大。隨著擬合點的不同和核函數(shù)的不同，最佳擬合的光滑因子的值也是不同的。該文中選用17個點進行多面函數(shù)擬合時，基本可以達到四等水準(zhǔn)測量的精度要求。

（3）克里金插值法函數(shù)模型相對于傳統(tǒng)的、單純的函數(shù)模型，在理論上更為完善嚴(yán)密，也改善了高程擬合的精度，該例中用12點和17點擬合精度穩(wěn)定，都能達到四等水準(zhǔn)測量精度的要求。

（4）選用合適的GPS/水準(zhǔn)擬合模型對GPS高程進行處理，其高程精度能滿足等外水準(zhǔn)測量的精度指標(biāo)，甚至可以達到四等水準(zhǔn)測量精度要求。

參考文獻

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