扣準(zhǔn)核心知識(shí) 實(shí)施有效教學(xué)

范韋莉

[摘要]小學(xué)數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)學(xué)科，其核心知識(shí)就是基礎(chǔ)中的核心，具有內(nèi)在邏輯的連貫性和一致性。對(duì)人教版教材高年級(jí)圖形與幾何領(lǐng)域中的核心知識(shí)及其表現(xiàn)形式進(jìn)行解析，探索高年級(jí)圖形與幾何中核心知識(shí)的課堂生長(zhǎng)路徑，思考并嘗試提煉高年級(jí)圖形與幾何中核心知識(shí)的教學(xué)基本策略。

[關(guān)鍵詞]圖形與幾何;核心知識(shí);生長(zhǎng)路徑;基本策略

[中圖分類號(hào)]G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A [文章編號(hào)]1007-9068（2020）08-0001-03

一、梳理與分析：圖形與幾何的知識(shí)結(jié)構(gòu)

要讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)有一個(gè)整體的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，教師就要從整體上把握教學(xué)知識(shí)點(diǎn)問的本質(zhì)聯(lián)系，站在一個(gè)較高的層次審視與處理教材?！皥D形與幾何”領(lǐng)域的學(xué)習(xí)對(duì)于發(fā)展學(xué)生的空間觀念、培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力等方面都有重要作用。要研究該領(lǐng)域，首先就要弄清楚該領(lǐng)域的學(xué)習(xí)內(nèi)容，因此筆者對(duì)小學(xué)階段人教版教材中圖形與幾何領(lǐng)域的所有內(nèi)容進(jìn)行了梳理：一年級(jí)是認(rèn)識(shí)物體和圖形的拼組;二年級(jí)是圖形的運(yùn)動(dòng)，包括平移和旋轉(zhuǎn);三年級(jí)開始接觸平面圖形，主要是認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方形和正方形及其面積的計(jì)算;四年級(jí)主要學(xué)習(xí)平行四邊形和梯形，還有平行與垂直;五年級(jí)繼續(xù)研究多邊形（三角形、平行四邊形和梯形）的面積，并深入研究立體圖形，即長(zhǎng)方體和正方體的表面積和體積;六年級(jí)研究圓的特征、周長(zhǎng)和面積，及圓柱和圓錐。除此之外，在低、中、高年級(jí)分別安排了觀察物體、圖形的運(yùn)動(dòng)以及位置與方向等內(nèi)容。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對(duì)圖形與幾何的年段目標(biāo)做了具體的闡述，用“發(fā)展”和“進(jìn)一步發(fā)展”等具有嚴(yán)格層級(jí)之分的詞語(yǔ)描述了各個(gè)階段要達(dá)到的目標(biāo)。不難看出，分散在不同年級(jí)的圖形與幾何知識(shí)的編排特點(diǎn)是：點(diǎn)一線一面一體，呈混合螺旋編排結(jié)構(gòu)，其中一維、二維、三維圖形交替共存，遞進(jìn)發(fā)展，從生活到數(shù)學(xué)、從直觀到抽象、從整體到局部，教學(xué)目標(biāo)逐步提高。

二、深耕與界定：高年級(jí)圖形與幾何領(lǐng)域中的核心知識(shí)及其表現(xiàn)形式

雖受教學(xué)時(shí)間限制和小學(xué)生年齡特點(diǎn)、認(rèn)知規(guī)律的影響，但為了體現(xiàn)小學(xué)教育課程的基礎(chǔ)性特點(diǎn)，“合理地選擇和確定雙基”“優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容”“凸顯核心知識(shí)”的教學(xué)勢(shì)在必行。正如美國(guó)21世紀(jì)學(xué)習(xí)框架中所指出的：“21世紀(jì)的教育要建立在核心知識(shí)基礎(chǔ)之上?！边@里的核心知識(shí)不是指一個(gè)個(gè)零散的知識(shí)點(diǎn)，而是指那些適用范圍廣，自我生長(zhǎng)和遷移能力強(qiáng)的基礎(chǔ)知識(shí)，它們?cè)跀?shù)學(xué)課程和教材中處于重要的、不可或缺的主干地位。

筆者選取了高年級(jí)圖形與幾何中的內(nèi)容，從課前診斷、教學(xué)設(shè)計(jì)、學(xué)生活動(dòng)、反饋檢測(cè)等入手，嘗試找到那些學(xué)生能理解并在忘記其非本質(zhì)信息或周邊信息之后，依舊可以提取應(yīng)用，進(jìn)而提升自身學(xué)習(xí)力的核心知識(shí)。

核心知識(shí)一：圓，包括圓的認(rèn)識(shí)、圓周率、圓的周長(zhǎng)和面積計(jì)算。圓是小學(xué)階段唯一一個(gè)曲線平面圖形，圓的相關(guān)知識(shí)中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)史且初步涉及極限思想，為后續(xù)圓柱、圓錐的學(xué)習(xí)及中學(xué)圓的相關(guān)定理探索做好了準(zhǔn)備。

核心知識(shí)二：長(zhǎng)方體和正方體的特征、表面積與體積計(jì)算。這部分內(nèi)容是系統(tǒng)研究立體圖形的開始，是二維向三維擴(kuò)展的重要節(jié)點(diǎn)，學(xué)習(xí)柱體體積均要以此為支撐。

核心知識(shí)三：圓柱和圓錐的特征、圓柱的表面積和體積計(jì)算、圓錐的體積計(jì)算。圓柱和圓錐皆可看作旋轉(zhuǎn)體，表面既有平面又有曲面。對(duì)幾何體的認(rèn)識(shí)從表面都是平面到表面含有曲面，是學(xué)生認(rèn)知的一次飛躍，為后續(xù)第三學(xué)段學(xué)習(xí)圓的性質(zhì)奠定了基礎(chǔ)。

核心知識(shí)四：體積、體積單位及其進(jìn)率。這也是空間觀念從二維向三維發(fā)展的重要節(jié)點(diǎn)，是后續(xù)研究各類圖形體積的基礎(chǔ)。

核心知識(shí)五：用數(shù)對(duì)確定位置。它是解析幾何（坐標(biāo)幾何）的起始，滲透數(shù)形結(jié)合思想，對(duì)初中坐標(biāo)幾何的學(xué)習(xí)具有重要意義。

通過初步的實(shí)踐與審視，在高年級(jí)圖形與幾何領(lǐng)域，核心知識(shí)主要包括圖形的概念和特征、單位計(jì)量與周長(zhǎng)、體積計(jì)算、圖形的運(yùn)動(dòng)和變化、圖形與位置。第一，圖形的概念和特征為后續(xù)學(xué)習(xí)起到奠基作用;第二，單位計(jì)量主要滲透從直接計(jì)量到間接計(jì)量的思想方法;第三，圖形的位置、運(yùn)動(dòng)和變化的學(xué)習(xí)，有助于發(fā)展學(xué)生的空間觀念和思維能力。由此得出：高年級(jí)圖形與幾何領(lǐng)域中的核心知識(shí)，通常處于某個(gè)知識(shí)鏈的核心位置或某個(gè)教學(xué)單元的起點(diǎn)位置，多指向圖形與幾何內(nèi)容初次集中教學(xué)的起點(diǎn);其具體內(nèi)容是學(xué)生必須掌握的數(shù)學(xué)概念、幾何圖形的特征和計(jì)算公式，以及蘊(yùn)含的操作方法、數(shù)學(xué)思想方法。這樣的數(shù)學(xué)知識(shí)，有利于學(xué)生喚醒元認(rèn)知，形成必備品格和關(guān)鍵能力。

三、探索與實(shí)踐：高年級(jí)圖形與幾何中核心知識(shí)的課堂生長(zhǎng)路徑

高年級(jí)圖形與幾何的教學(xué)應(yīng)遵循從具體到一般的原則，從大量例證中概括共同屬性，提煉核心要素。在梳理人教版教材的過程中，筆者發(fā)現(xiàn)：高年級(jí)圖形與幾何中的核心知識(shí)相對(duì)集中于圖形的認(rèn)識(shí)與測(cè)量，圖形運(yùn)動(dòng)的核心知識(shí)主要在“圖形的放大與縮小”一課，圖形位置的核心知識(shí)主要在“確定位置”一課。故下面提煉的核心知識(shí)教學(xué)的操作路徑主要針對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)與測(cè)量。

階段一：感知。當(dāng)學(xué)生熟悉相關(guān)內(nèi)容后，教師組織學(xué)生談?wù)搶W(xué)習(xí)對(duì)象，了解學(xué)生是如何理解的，并提供信息引導(dǎo)學(xué)生從事有目的的活動(dòng)或獲得相關(guān)的認(rèn)知。如教學(xué)認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方體時(shí)，教師先讓學(xué)生量出牙膏盒的長(zhǎng)、寬、高各是多長(zhǎng)，從而得出：牙膏盒擺放的位置和方向不同，它的長(zhǎng)、寬、高是可以變換的;然后再揭示長(zhǎng)、寬、高的概念，并請(qǐng)學(xué)生找一找牙膏盒各個(gè)面的長(zhǎng)、寬各是多少。

階段二：探索。為了讓學(xué)生主動(dòng)地進(jìn)行探索，教師應(yīng)選取那些目標(biāo)概念和方法較為明顯的材料和任務(wù)。如體積與容積的教學(xué)中，提供紙盒、紙巾、土豆和雞蛋等教學(xué)素材，以“把這些物體根據(jù)體積的大小排列”等任務(wù)，促使學(xué)生根據(jù)物體特征思考不同的體積比較方法。有些物體能直接判斷體積大小，當(dāng)體積較接近時(shí)可用計(jì)數(shù)比較的方法（凸顯體積大小與單位體積的關(guān)系），還可用排水實(shí)驗(yàn)比較不規(guī)則物體的體積大?。ㄌN(yùn)含體積等量轉(zhuǎn)化）。這就賦予看似簡(jiǎn)單的內(nèi)容多元的意義和內(nèi)涵。

階段三：概括。教師應(yīng)給予學(xué)生自主分類、比較異同、同伴質(zhì)疑等活動(dòng)機(jī)會(huì)，并組織學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)對(duì)象的共同屬性進(jìn)行討論和描述，以使學(xué)生獲得更為清晰的認(rèn)知。如體積與容積的教學(xué)中，在建立體積和容積概念的基礎(chǔ)上，還需要幫助學(xué)生體悟兩者之間的聯(lián)系與區(qū)別。可以紙箱為教學(xué)素材，逐步呈現(xiàn)三個(gè)問題：“如果紙箱的外壁不斷加厚，體積和容積有什么變化？”“如果紙箱的內(nèi)壁不斷加厚，體積和容積有什么變化？”“如果紙箱的內(nèi)壁不斷變薄，體積和容積又有什么變化？”在這樣充滿挑戰(zhàn)的漸進(jìn)式問題情境中，學(xué)生邊想象邊體會(huì)物體的體積和容積隨著壁厚的變化而發(fā)生的變化。對(duì)于第三個(gè)問題，可凸顯“零厚度”，此時(shí)容積即等于體積，滲透了極限思想。從中學(xué)生能概括出體積必須是從物體外部觀察，容積則需要從物體里邊觀察的結(jié)論，進(jìn)而讓核心概念的建構(gòu)與理解走向深刻。

階段四：辨析。給學(xué)生提供不同層次類型的學(xué)習(xí)材料，再通過對(duì)一些標(biāo)準(zhǔn)圖示及變式的判別，加深學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)對(duì)象的內(nèi)涵與外延的進(jìn)一步理解。如幫助學(xué)生建立長(zhǎng)方體模型時(shí)，先去掉一條棱，引導(dǎo)學(xué)生想象這個(gè)長(zhǎng)方體的大小，再去掉一些棱，提問：“至少留下哪幾條棱，才能想象出這個(gè)長(zhǎng)方體的大?。俊睂W(xué)生邊想象邊操作，最后發(fā)現(xiàn)至少要留下相交于同一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱。這一活動(dòng)使學(xué)生對(duì)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高的理解由辨認(rèn)各部分名稱上升到知道“長(zhǎng)、寬、高決定長(zhǎng)方體的大小”。去棱的過程不僅深化了學(xué)生對(duì)長(zhǎng)方體性質(zhì)與特征的認(rèn)識(shí)，還培養(yǎng)了學(xué)生的空間想象能力。

階段五：綜合。引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)與歸納，并能將其整合到一個(gè)易于描述和應(yīng)用的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中，即溝通相近概念，形成概念體系，實(shí)現(xiàn)認(rèn)知由“要素”向“關(guān)系”提升。如探索長(zhǎng)方體和正方體的異同時(shí)，學(xué)生不僅能從面、棱、頂點(diǎn)去分析，還能畫出凸顯包含關(guān)系的圖示，厘清相應(yīng)的類屬關(guān)系，從而形成合理有序的知識(shí)系統(tǒng)。

四、思考與提煉：高年級(jí)圖形與幾何中核心知識(shí)的教學(xué)基本策略

1.關(guān)注認(rèn)知，喚醒經(jīng)驗(yàn)一核心知識(shí)教學(xué)的首要前提

數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)是建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上的。圖形與幾何內(nèi)容來自豐富的現(xiàn)實(shí)原型，與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系緊密。然而，這部分內(nèi)容涉及三維空間與二維平面的互換，而小學(xué)生的年齡特征決定了他們的認(rèn)知水平有局限性，空間觀念難以建立。因此教師要吃透學(xué)情，充分關(guān)注學(xué)生的原有認(rèn)知，重點(diǎn)研究學(xué)生的現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)，尋找核心知識(shí)與學(xué)生最近發(fā)展區(qū)之間的最佳契合點(diǎn)。如“圓柱的認(rèn)識(shí)”的前測(cè)題：

（1）關(guān)于圓柱，你知道什么？

（2）請(qǐng)你任意畫出一個(gè)圓柱。

對(duì)于第（1）題，80%的學(xué)生能說出：圓柱可以滾動(dòng);圓柱上下直直的，有兩個(gè)圓，且一樣大;圓柱有一個(gè)側(cè)面。對(duì)于第（2）題，73%的學(xué)生畫不標(biāo)準(zhǔn)或畫不出來。從前測(cè)數(shù)據(jù)中可以發(fā)現(xiàn)：學(xué)生在現(xiàn)實(shí)生活中所接觸的物體都是以三維狀態(tài)存在的，但學(xué)生對(duì)它們大多是一種整體的直覺認(rèn)識(shí)，很難建立其立體的表象。因此教學(xué)中可以先讓學(xué)生通過摸一摸、看一看、量一量、比一比、滾一滾等實(shí)際操作認(rèn)識(shí)圓柱的面的特點(diǎn)，采用多種方法探索圓柱的兩個(gè)底面圓完全相同的特征;再引導(dǎo)學(xué)生觀察、推理，運(yùn)用立體旋轉(zhuǎn)的方式喚起學(xué)生的原有認(rèn)知。

2.創(chuàng)設(shè)情境，引疑激趣——核心知識(shí)教學(xué)的重要基礎(chǔ)

布魯納說過：“探索是數(shù)學(xué)的生命線?！苯處熞懿蹲缴钪杏腥さ默F(xiàn)象，創(chuàng)設(shè)出和諧愉快而又充滿挑戰(zhàn)性的情境，以促進(jìn)核心知識(shí)教學(xué)。如教學(xué)“圓的認(rèn)識(shí)”時(shí)，第一步，設(shè)問：“如果你給汽車選輪子（長(zhǎng)方形、正方形、圓形），你會(huì)選哪一個(gè)？”第二步，播放視頻，讓學(xué)生觀察汽車開動(dòng)的情況;第三步，合作探索為什么選用圓形輪子的汽車行駛起來不會(huì)忽高忽低。這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)，把原本平淡甚至枯燥的數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化成豐富有趣的情境，激起學(xué)生主動(dòng)探究的欲望。

3.聚焦體驗(yàn)，促進(jìn)理解——核心知識(shí)教學(xué)的必要手段

波利亞認(rèn)為，學(xué)習(xí)任何知識(shí)的最佳途徑是由自己去發(fā)現(xiàn)，因?yàn)檫@種發(fā)現(xiàn)理解最深，也最容易掌握其中的規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系。觀察是學(xué)生獲得初步空間觀念的主要途徑，包括對(duì)圖形的觀察、對(duì)實(shí)物模型的觀察以及對(duì)實(shí)驗(yàn)的觀察等。如教學(xué)體積概念時(shí)，教師先出示兩個(gè)同樣大小且裝有同樣多的水（水未滿杯）的杯子，再拿出一塊石頭放入其中一個(gè)杯子，學(xué)生觀察到水位上升了，因?yàn)樵瓉硭奈恢帽皇^占去了;然后再拿出一塊更大的石頭放入另一個(gè)杯子中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)這次水位上升得比剛才高，因?yàn)檫@塊石頭比剛才那塊大。這時(shí)讓學(xué)生說說對(duì)體積的理解，學(xué)生就能逐步完善對(duì)體積這一抽象概念的認(rèn)知。當(dāng)然，對(duì)于核心知識(shí)的教學(xué)，僅靠觀察是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。學(xué)生在學(xué)習(xí)和理解知識(shí)時(shí)會(huì)習(xí)慣性地使用直觀思維，然而，只有將抽象的知識(shí)直觀化，才能實(shí)現(xiàn)知識(shí)的內(nèi)化，動(dòng)手操作是將知識(shí)直觀化的重要方法。如當(dāng)學(xué)生認(rèn)識(shí)扇形的特征，形成清晰的“圓心角”“弧”“扇形”等數(shù)學(xué)概念后，可以安排學(xué)生用圓形紙片動(dòng)手制作一個(gè)扇形，并涂色。學(xué)生在動(dòng)手操作中體會(huì)到準(zhǔn)確地找到一個(gè)圓的圓心是制作扇形的關(guān)鍵;在展示自己作品和評(píng)價(jià)同伴作品的過程中，感受到扇形的大小與半徑、圓心角這兩個(gè)因素有關(guān)，逐步體悟到“扇形是圓的一部分”這一特點(diǎn)。

4.聯(lián)想想象，拓展空間——核心知識(shí)教學(xué)的有效措施

心理學(xué)認(rèn)為，想象是人在頭腦里對(duì)已儲(chǔ)存的表象進(jìn)行加工改造，形成新形象的心理過程。數(shù)學(xué)中很多概念的建構(gòu)都要基于想象，它是培養(yǎng)學(xué)生空間觀念的一個(gè)重要途徑。如教學(xué)“圓的認(rèn)識(shí)”時(shí)，在學(xué)生理解了定點(diǎn)、定長(zhǎng)，能用圓規(guī)畫出圓后，可播放體育老師拿著繩子和大勺子在操場(chǎng)上畫出了一個(gè)大大的圓的視頻，接著讓學(xué)生結(jié)合鐘面上的指針運(yùn)動(dòng)和機(jī)場(chǎng)雷達(dá)想象“圓”，并描述這是一些什么樣的圓;而后讓學(xué)生基于呈現(xiàn)的兩個(gè)點(diǎn)，閉著眼睛想象，讓其中一個(gè)點(diǎn)動(dòng)起來，得到一個(gè)新的點(diǎn)，繼續(xù)轉(zhuǎn)，又得到一個(gè)新的點(diǎn)……把這些點(diǎn)連起來，就成了一個(gè)圓。兩次想象活動(dòng)，既是對(duì)圓的特征的一次應(yīng)用，又反過來促進(jìn)了對(duì)圓的認(rèn)識(shí)，更使學(xué)生的思維能力與空間觀念得到了進(jìn)一步提升。

5.挖掘內(nèi)涵，把握本質(zhì)——核心知識(shí)教學(xué)的關(guān)鍵途徑

知識(shí)的內(nèi)涵是這一知識(shí)區(qū)別于其他知識(shí)的特質(zhì)，雖然表征這些“特質(zhì)”的方式是多樣的，但這些“特質(zhì)”是唯一且不可替換的。如對(duì)于“圖形的放大和縮小”的本質(zhì)含義“圖形對(duì)應(yīng)邊按一定的比例放大或縮小”，接近一半的學(xué)生能大概了解，但缺乏完整清晰的認(rèn)識(shí)，還有少數(shù)學(xué)生把這一概念和生活中的概念混淆。課堂教學(xué)中，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生畫圖舉例說明什么是圖形的放大，討論數(shù)學(xué)意義上的“放大”與生活中的“拉升”有何區(qū)別，在完成對(duì)“放大”的定性認(rèn)識(shí)之后，再組織學(xué)生探討關(guān)于放大的定量刻畫。又如圓的面積計(jì)算方法的探究，其實(shí)就是讓學(xué)生懂得，在探索陌生知識(shí)時(shí)，可以把陌生的知識(shí)化為熟悉的知識(shí)，但需要根據(jù)學(xué)情，進(jìn)行后續(xù)深度和廣度的挖掘，讓學(xué)生知道“轉(zhuǎn)化”存在多種可能性：圓可以轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形、平行四邊形、三角形等，雖然拼出的圖形不同，但本質(zhì)一致：化陌生為熟悉。這樣的補(bǔ)充、滲透、完善，促進(jìn)了學(xué)生對(duì)核心知識(shí)的實(shí)質(zhì)性理解，進(jìn)而建立正確的知識(shí)體系。

總而言之，要使學(xué)生能獲得長(zhǎng)效性發(fā)展，獲得真正的數(shù)學(xué)素養(yǎng)與思維能力，就得立足于核心知識(shí)的教學(xué)，要厘清知識(shí)的內(nèi)涵和外延，讓學(xué)生學(xué)習(xí)的主線更加明晰地展露出來。但形成完整的知識(shí)體系，非核心知識(shí)的補(bǔ)充與完善同樣必不可少。非核心知識(shí)可以開闊學(xué)生的視野，可以讓知識(shí)的呈現(xiàn)更為豐盈，可以使知識(shí)的聯(lián)系更為緊密。當(dāng)然，無論是核心知識(shí)教學(xué)還是非核心知識(shí)教學(xué)，都需要教師不斷地去實(shí)踐、反思和提煉。