《資本論》的數(shù)學(xué)邏輯解析

唐堅(jiān)

【摘要】數(shù)學(xué)來源于人們的日常生活及生產(chǎn)過程，是一種專門研究數(shù)量關(guān)系的科學(xué)。伴隨著社會實(shí)踐的不斷發(fā)展，人們對于數(shù)量關(guān)系的認(rèn)識日益深刻、廣泛。在數(shù)學(xué)的幫助下，人類能夠更加全面系統(tǒng)地分析各個(gè)事物間的數(shù)量關(guān)系，學(xué)習(xí)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和方法有利于人們掌握事物的本質(zhì)。其實(shí)，人類所開展的各類經(jīng)濟(jì)活動，同樣存在著相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，從這個(gè)意義上來說，數(shù)學(xué)不但是開展經(jīng)濟(jì)活動不可或缺的工具，還是經(jīng)濟(jì)科學(xué)分析的主要方法。馬克思本人不但精通數(shù)學(xué)，而且高度關(guān)注數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的運(yùn)用，在《資本論》中應(yīng)用了大量的數(shù)學(xué)方法?；诖?，本文就《資本論》的數(shù)學(xué)邏輯進(jìn)行探討。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué);《資本論》;數(shù)學(xué)邏輯

數(shù)學(xué)是專門研究數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，其主要特點(diǎn)有：第一，以量作為唯一的研究對象，因此數(shù)學(xué)是抽象性極強(qiáng)的科學(xué);第二，一切事物都有量，因此數(shù)學(xué)具備較強(qiáng)的適用性;第三，數(shù)學(xué)是高度重視精準(zhǔn)性、邏輯性的科學(xué)，而在所有的社會科學(xué)中，經(jīng)濟(jì)學(xué)是量的特征最顯著的科學(xué)，所以，要想厘清各類經(jīng)濟(jì)量間存在的關(guān)系，就必須運(yùn)用數(shù)學(xué)的相關(guān)理論知識。研究表明，《資本論》不僅是將歷史唯物主義與辯證唯物主義相結(jié)合的典范，還是將數(shù)學(xué)應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)學(xué)的重要典范。

一、數(shù)學(xué)對《資本論》的重要意義

經(jīng)濟(jì)發(fā)展過程與其他事物發(fā)展均有相同之處，不但有“質(zhì)”的規(guī)定性，還有“量”的規(guī)定性。《資本論》的寫作目的主要在于分析資本主義經(jīng)濟(jì)關(guān)系，不能僅考察其“質(zhì)”，還應(yīng)當(dāng)做到“質(zhì)”與“量”的同時(shí)考察。唯有從“質(zhì)”與“量”兩個(gè)不同的層面去研究資本主義經(jīng)濟(jì)關(guān)系，才可以從根本上掌握其變化、發(fā)展的基本規(guī)律。雖然《資本論》尤為注重對經(jīng)濟(jì)過程中“質(zhì)”的研究，但我們不能就此斷定《資本論》并未對經(jīng)濟(jì)過程中“量”的分析。那些否定《資本論》既運(yùn)用定性分析也運(yùn)用定量分析的觀點(diǎn)，不僅否認(rèn)了《資本論》內(nèi)容的豐富性，同樣也沒有正確理解馬克思所采取的科學(xué)研究方法。事實(shí)上，《資本論》對于經(jīng)濟(jì)過程的所有內(nèi)容，都進(jìn)行了大量的數(shù)量研究。

在對社會剩余價(jià)值的流通進(jìn)行研究時(shí)，馬克思明確指出，不管是生產(chǎn)資本形態(tài)，還是貨幣資本形態(tài)，不但需要從“質(zhì)”的層面將其劃分成勞動力與生產(chǎn)資料兩個(gè)類別，同時(shí)需要從“量”的層面確保勞動力與生產(chǎn)資料維持在相應(yīng)的比例范圍內(nèi)，如此才可以推動資本的有效循環(huán)。馬克思對生產(chǎn)資本、貨幣資本以及商品資本的“量”的變化過程進(jìn)行研究，并且強(qiáng)調(diào)：以上三種循環(huán)存在一個(gè)共同點(diǎn)，即價(jià)值增值是根本動機(jī)。對于資本周轉(zhuǎn)，馬克思著重研究了周轉(zhuǎn)次數(shù)、周轉(zhuǎn)時(shí)間對于資本增值造成的影響，主要分析了流動資本與固定資本在價(jià)值量補(bǔ)償方面的特征等。

在對剩余價(jià)值的分配進(jìn)行研究時(shí)，馬克思主要分析了資本主義商品價(jià)值量的構(gòu)成，著重研究了利潤以及成本在剩余價(jià)值的分配與生產(chǎn)過程中所處的具體地位。另外，馬克思還考察了對利潤率有所影響的各類因素，在歷史與邏輯相融合的基礎(chǔ)上，考察了生產(chǎn)價(jià)格的形成以及平均利潤率的產(chǎn)生，闡明了平均利潤率降低的規(guī)律性，并進(jìn)一步研究了影響該規(guī)律的多種因素。與此同時(shí)，馬克思還對借貸資本、商業(yè)資本以及資本主義地租等進(jìn)行了深入的研究，深刻揭露出了商業(yè)資本家、產(chǎn)業(yè)資本家、土地占有者以及借貸資本家等對于剩余價(jià)值總量的瓜分。

二、《資本論》的數(shù)學(xué)邏輯解析

（一）《資本論》與數(shù)學(xué)的特殊關(guān)系

在《資本論》第一卷中，馬克思將簡單的、普通的、擴(kuò)大的貨幣的各種價(jià)值形態(tài)，以“價(jià)值等式”的形式呈現(xiàn)出來;圍繞貨幣流通這一理念闡述了流通過程中的貨幣量、貨幣流通的平均速率、待流通商品的價(jià)值三者間的函數(shù)關(guān)系，以及可能存在的結(jié)合方式，在參考“數(shù)學(xué)上運(yùn)算變量和常量的定律”的基礎(chǔ)上，以公式來闡明可變資本在剩余價(jià)值形成過程中，與不變的資本起著完全不同的作用，對剩余價(jià)值率計(jì)算的各類不同公式進(jìn)行研究，分析了勞動日長度、勞動生產(chǎn)力以及勞動強(qiáng)度三種因素，在不同情況下對剩余價(jià)值及勞動力價(jià)格所造成的影響。

在《資本論》第二卷中，在對資本的周轉(zhuǎn)和循環(huán)過程進(jìn)行研究時(shí)，馬克思運(yùn)用了數(shù)學(xué)公式進(jìn)行計(jì)算，從“量”的方面分析了經(jīng)濟(jì)范疇內(nèi)的各種關(guān)系。在對社會總資本的再生產(chǎn)過程進(jìn)行研究時(shí)，馬克思創(chuàng)造了知名的擴(kuò)大再生產(chǎn)公式與再生產(chǎn)公式，從理論層面第一次將社會產(chǎn)品根據(jù)實(shí)物區(qū)分成消費(fèi)資料與生產(chǎn)資料兩種形式，根據(jù)價(jià)值不同劃分成新創(chuàng)造價(jià)值（V+m）與轉(zhuǎn)移價(jià)值（C）。因此，馬克思按照以上兩類劃分，在“兩表”（“總再生產(chǎn)過程的經(jīng)濟(jì)表”與“再生產(chǎn)過程表”）中，將各種社會產(chǎn)品以及其構(gòu)成要素的所有運(yùn)動以實(shí)線與虛線合理地體現(xiàn)出來。正是由于馬克思對社會產(chǎn)品進(jìn)行的兩種區(qū)分，及用其組成要素的價(jià)值補(bǔ)償與實(shí)物代替的理念對社會再生產(chǎn)的過程進(jìn)行研究，馬克思提出的“簡單再生產(chǎn)模式”才被人們更加認(rèn)可。在《資本論》中，“擴(kuò)大再生產(chǎn)公式”“簡單再生產(chǎn)公式”等，均是運(yùn)用數(shù)學(xué)模型及數(shù)學(xué)方程的代表性案例，其對現(xiàn)代社會經(jīng)濟(jì)問題的分析、探究發(fā)揮了巨大的指導(dǎo)作用。

在《資本論》第三卷中，馬克思針對剩余價(jià)值率和利潤率進(jìn)行了純數(shù)學(xué)層面的研究，將數(shù)學(xué)方法當(dāng)作經(jīng)濟(jì)分析的重要工具，并熟練運(yùn)用各種數(shù)學(xué)方法，巧妙化解各類經(jīng)濟(jì)問題，對再生產(chǎn)理論及利潤率降低趨勢進(jìn)行深入發(fā)掘，揭露出生產(chǎn)價(jià)格的根本性質(zhì)。馬克思將利潤率看作是有很多變量的“函數(shù)”，將資本、競爭抽象化，假設(shè)剩余價(jià)值率與利潤率在“量”方面是相同的，從而分析出剩余價(jià)值率與利潤率間的相互關(guān)系，并且提出首先應(yīng)該在單純的數(shù)學(xué)范疇內(nèi)開展分析。馬克思在對有著數(shù)量體現(xiàn)的經(jīng)濟(jì)范圍內(nèi)的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行研究時(shí)，著重采取數(shù)學(xué)方法進(jìn)行分析，有著極其重要的指導(dǎo)意義。比如，在《資本論》中馬克思假設(shè)利潤在數(shù)量方面是和剩余價(jià)值相同的，接著在純數(shù)學(xué)方面分析了剩余價(jià)值和利潤率間的關(guān)系，通過列出公式，來分析所有變量間的互相作用，從而推斷出利潤率的各類規(guī)律，得到了利潤率降低趨勢的最終結(jié)論。這不僅體現(xiàn)了對利潤率變化、發(fā)展有決定性影響的各類因素（不但有公式包含的變數(shù)，還有貨幣的周轉(zhuǎn)與價(jià)值、勞動日長度、勞動生產(chǎn)率、工資以及勞動強(qiáng)度等諸多因素，盡管在列式中并未體現(xiàn)），同時(shí)還闡明了剩余價(jià)值率和利潤率互相作用的基本規(guī)律。

（二）《資本論》的數(shù)理基礎(chǔ)

1.數(shù)論與政治算術(shù)。眾所周知，數(shù)主要包含整數(shù)、自然數(shù)、實(shí)數(shù)、有理數(shù)以及復(fù)數(shù)等。正整數(shù)的數(shù)學(xué)理論為算術(shù)，算術(shù)的核心就是算術(shù)的各種基本規(guī)律（主要有結(jié)合律、交換律、分配律等）。自然數(shù)是無窮無盡的，也就表明數(shù)系是無限的。1953年，Borel開啟了概率論在數(shù)論中運(yùn)用的先河，通過隨機(jī)數(shù)對事件的必然性進(jìn)行分析，堪稱是20世紀(jì)“數(shù)學(xué)界尤其是數(shù)論界最重要的成果之一”。此外，針對無限性的素?cái)?shù)序列、整數(shù)序列的隨機(jī)現(xiàn)象開展考察、研究，同樣是剖析數(shù)論的前沿話題。

對于“政治算術(shù)”，則可分為“政治”與“算術(shù)”兩部分。“政治”所指的是政治經(jīng)濟(jì)學(xué)，“算術(shù)”所指的是統(tǒng)計(jì)方法，提倡通過數(shù)據(jù)來對經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象進(jìn)行研究。在威廉·配第時(shí)期，統(tǒng)計(jì)學(xué)還沒有產(chǎn)生，“政治算術(shù)”為統(tǒng)計(jì)學(xué)的產(chǎn)生及后期發(fā)展提供了扎實(shí)的方法論基礎(chǔ)。數(shù)理統(tǒng)計(jì)是在概率論不斷發(fā)展的基礎(chǔ)上快速發(fā)展產(chǎn)生的，在17—20世紀(jì)期間，涌現(xiàn)出大量的數(shù)理統(tǒng)計(jì)工具，例如：Bayes方法、大樣本檢驗(yàn)、最小二乘法、顯著性檢驗(yàn)、小樣本分布等等。

2.勞動決定價(jià)值與用時(shí)間單位計(jì)量價(jià)值。勞動價(jià)值的根本性質(zhì)為勞動決定價(jià)值。勞動決定價(jià)值的分為用時(shí)間計(jì)算勞動量（計(jì)時(shí)勞動）、用實(shí)物計(jì)算勞動量（計(jì)件勞動）。然而，實(shí)物只是勞動的產(chǎn)品或者結(jié)果，時(shí)間才是人們付出的過程，因此需要以時(shí)間為單位來計(jì)量價(jià)值。馬克思在《資本論》中首先做出了以下兩種假設(shè)：商品是根據(jù)其價(jià)值售賣的;勞動力價(jià)格或許會高于其價(jià)值，卻永遠(yuǎn)不會低于其價(jià)值。在此假設(shè)的基礎(chǔ)上，馬克思借用了李嘉圖提出的“三個(gè)規(guī)律”，并且提出剩余價(jià)值與勞動力價(jià)值決定于“三個(gè)規(guī)律”的觀點(diǎn)。馬克思還假設(shè)：價(jià)值產(chǎn)品=勞動力價(jià)值+剩余價(jià)值=活勞動=工作日，其作為不變量，列式中的兩個(gè)因子成反比例關(guān)系。

3.微觀個(gè)量加≠總宏觀總量平衡。宏觀總量平衡的列式為投入產(chǎn)出模型。第一，與之有關(guān)的“增廣”里昂惕夫體系，包含基于折舊率的舊固定資本價(jià)格的計(jì)算中，“價(jià)格決定機(jī)制，能夠縮減成僅包括新品商品加工的決定機(jī)制，換言之，聯(lián)合生產(chǎn)機(jī)制能夠納入到某種非聯(lián)合生產(chǎn)機(jī)制內(nèi)”。第二，馬克思提出的“再生產(chǎn)圖式”中的數(shù)值例是通過總額來體現(xiàn)的，能夠?qū)⒖傤~劃分成單位價(jià)值與數(shù)量二者間的乘積。馬克思提出的“再生產(chǎn)圖式”，不但簡潔明了地體現(xiàn)出社會總資本的波動，同時(shí)還指出“均衡”是現(xiàn)實(shí)存在的。第三，關(guān)于資本主義經(jīng)濟(jì)波動，藤森賴明曾經(jīng)提到：根據(jù)資本主義經(jīng)濟(jì)的均衡增長與價(jià)格均衡等相關(guān)理論能夠獲悉，均衡增長是極其不穩(wěn)定的。對于均衡增長的不穩(wěn)定性進(jìn)行研究的模型，是以加速原理為基礎(chǔ)開展的投資及商品市場的均衡作為具體研究對象的。

（三）《資本論》中的數(shù)學(xué)方法

1.線段法。在《資本論》中，馬克思在考察相對剩余價(jià)值與工作日界限的具體概念時(shí)，就運(yùn)用了以下的線段：“ac線：a—b—c表示12小時(shí)的工作日，ab段表示10個(gè)小時(shí)的必要勞動，bc段表示2個(gè)小時(shí)的剩余勞動”。雖然工作的具體界限a、c已經(jīng)明確，但bc段依然是能夠延長的，不是向其終點(diǎn)c方向延長，而是由起點(diǎn)a向反方向延長。

2.列表法。此方法同樣屬于統(tǒng)計(jì)學(xué)范疇，列表法具備明確、清晰等諸多優(yōu)勢，尤其是在數(shù)據(jù)復(fù)雜而且需進(jìn)行歸類分析的情況下，其優(yōu)勢更加突顯，因此馬克思在《資本論》中采用了大量列表法。例如：在分析“資本主義積累基本規(guī)律的例證”的時(shí)候，馬克思通過不同的表格展現(xiàn)出資產(chǎn)階級的資產(chǎn)積累情況，以及無產(chǎn)階級的身體健康情況、收入情況等等。

3.公式法。此方法是體現(xiàn)不同要素間數(shù)量關(guān)系的主要方法。在大多數(shù)情形下，公式法與文字闡述相比顯得更加明確、清楚。比如，馬克思在對價(jià)值形式的發(fā)展變化進(jìn)行研究時(shí)，就運(yùn)用等式的形式將其表達(dá)出來，“X量商品A=Y量商品B”，并且說明：所有價(jià)值形式都是在此基礎(chǔ)型價(jià)值形式上衍生出來的。此類等價(jià)體現(xiàn)，事實(shí)上是將各種類型的商品所涵蓋的各類勞動轉(zhuǎn)變成一般人類勞動等共同的東西。等價(jià)形式與此類特殊商品相互結(jié)合后，此特殊商品也就成為了貨幣商品，又或是發(fā)揮貨幣的作用。

4.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型。經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型區(qū)別于純粹的數(shù)學(xué)公式，其涵蓋更加深刻、更加廣泛的經(jīng)濟(jì)內(nèi)容。其一，經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型可通過對不同經(jīng)濟(jì)要素間相互數(shù)量關(guān)系動態(tài)和靜態(tài)的展現(xiàn)，揭露出各種經(jīng)濟(jì)要素在“量”方面的波動態(tài)勢，及所有要素間比較繁雜的數(shù)量關(guān)系組合。其二，經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型主要從“質(zhì)”與“量”相結(jié)合的角度出發(fā)，反映經(jīng)濟(jì)活動過程的基本規(guī)律，其內(nèi)容已遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了純數(shù)量關(guān)系范疇，能夠?qū)ⅰ百|(zhì)”的變化與“量”的積累相互結(jié)合起來，進(jìn)而更加深入地體現(xiàn)出某種特定社會形態(tài)下經(jīng)濟(jì)關(guān)系的根本性質(zhì)。

三、新時(shí)代加強(qiáng)馬克思主義政治經(jīng)濟(jì)學(xué)數(shù)學(xué)邏輯的策略

（一）嚴(yán)格遵守“方法準(zhǔn)確化”準(zhǔn)則

馬克思主義政治經(jīng)濟(jì)學(xué)的核心內(nèi)容為何？這是人們創(chuàng)建與馬克思主義政治經(jīng)濟(jì)學(xué)相關(guān)的數(shù)學(xué)模型等所有工作的重要基礎(chǔ)。唯有掌握馬克思主義政治經(jīng)濟(jì)學(xué)的本質(zhì)，才可以真正做到“方法準(zhǔn)確化”，根據(jù)馬克思原先的理念去分析經(jīng)濟(jì)問題，研究解決各種經(jīng)濟(jì)矛盾，如此才能稱得上是運(yùn)用數(shù)學(xué)方法開展馬克思主義政治經(jīng)濟(jì)學(xué)分析。

（二）嚴(yán)格遵守“方法生動化”準(zhǔn)則

通過數(shù)學(xué)模型體現(xiàn)出馬克思主義政治經(jīng)濟(jì)學(xué)中“量”方面的關(guān)系，需要以此模型為基礎(chǔ)，生動、形象地表明現(xiàn)實(shí)的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象，并給出相應(yīng)的對策。

（三）嚴(yán)格遵守“方法簡約化”準(zhǔn)則

在馬克思主義政治經(jīng)濟(jì)學(xué)中，數(shù)學(xué)扮演的是“方法”與“工具”的角色，是服務(wù)于分析經(jīng)濟(jì)問題的。在對經(jīng)濟(jì)問題進(jìn)行認(rèn)識、分析時(shí)，應(yīng)當(dāng)采取數(shù)學(xué)方法使得整個(gè)過程簡約化，而并非是讓問題更加復(fù)雜化。換言之，在可以化解相同的經(jīng)濟(jì)問題時(shí)，簡約程度越高的數(shù)學(xué)方法，其解決問題的效果也就越好。

（四）嚴(yán)格遵守“方法靈活化”準(zhǔn)則

在進(jìn)行經(jīng)濟(jì)學(xué)分析時(shí)會遭遇各式各樣的經(jīng)濟(jì)問題，而這些經(jīng)濟(jì)問題的本質(zhì)與特征是完全不同的，因此，對于不同性質(zhì)的經(jīng)濟(jì)問題應(yīng)采取有針對性的數(shù)學(xué)方法。然而，經(jīng)濟(jì)學(xué)界有些學(xué)者熱衷于采取高等代數(shù)方法去認(rèn)識、分析、化解經(jīng)濟(jì)學(xué)方面的問題，無論何種經(jīng)濟(jì)學(xué)問題，一律采取高等代數(shù)方法，這種做法是盲目的、不可取的;有些學(xué)者熱衷于采取微分學(xué)方法去認(rèn)識、分析、化解經(jīng)濟(jì)學(xué)方面的問題，無論遇到何種經(jīng)濟(jì)學(xué)問題，都采取微分學(xué)方法，這種做法同樣是不可取的。