基于量子力學(xué)的單分子彈性理論模型研究

解梟雄，成 博，劉 峰，王俊元

(中北大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，山西 太原 030051)

近年來(lái)，隨著納米技術(shù)的發(fā)展，基于原子力顯微鏡的單分子力譜由于其高靈敏度和可操作性，已經(jīng)成為納米尺度上測(cè)量各種分子內(nèi)、分子間以及界面間相互作用力的有效工具[1-3]。經(jīng)過(guò)近20年的發(fā)展，基于單分子力譜的實(shí)驗(yàn)研究方法已經(jīng)廣泛應(yīng)用在各個(gè)方面，包括高分子鏈的本征彈性、超分子結(jié)構(gòu)的相互作用力、固-液界面間的解吸附力以及分子馬達(dá)的組裝力等[4-8]。尤其在單分子納米力學(xué)研究中，測(cè)定單個(gè)聚合物鏈的純彈性力學(xué)性能可以被用來(lái)揭示其分子的構(gòu)象轉(zhuǎn)變、鏈結(jié)構(gòu)形態(tài)以及聚集態(tài)形態(tài)等諸多行為的內(nèi)在機(jī)理[9-12]。與逐漸成熟的單分子實(shí)驗(yàn)研究相比，相應(yīng)的彈性理論模型研究卻進(jìn)展緩慢，而這對(duì)于人們更進(jìn)一步地理解單分子鏈彈性行為非常重要。到目前為止并沒(méi)有一種準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型被用來(lái)描述單個(gè)聚合物分子鏈的理論彈性行為。

之前，基于Flory等[13]的工作，自由結(jié)合鏈(freely jointed chain，F(xiàn)JC)模型、自由旋轉(zhuǎn)鏈(freely rotating chain，F(xiàn)RC)模型和蠕蟲狀鏈(worm-like chain，WLC)模型作為3個(gè)基本的彈性理論模型被用來(lái)描述高分子的單鏈彈性行為。然而，隨著單分子實(shí)驗(yàn)技術(shù)的發(fā)展，發(fā)現(xiàn)這3種理論模型并不能很好地描述高分子鏈的彈性行為，這是因?yàn)樵摾碚撃Ｐ蛢H考慮熵彈性對(duì)分子鏈彈性的影響，并沒(méi)有考慮焓彈性(鍵長(zhǎng)和鍵角的改變)對(duì)其的影響[14-17]。2005年，Hugel等[16]通過(guò)采用基于量子力學(xué)(quantum mechanics)的從頭計(jì)算法(ab-initio calculations)對(duì)幾種典型高分子的重復(fù)單元進(jìn)行了理論彈性計(jì)算，通過(guò)對(duì)STO-6G、TZV和MP2/TZV等3種基組算法進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)MP2/TZV理論能夠更準(zhǔn)確地描述高分子的焓彈性。結(jié)合MP2/TZV理論的量子力學(xué)計(jì)算結(jié)果，Cui等[17]在此基礎(chǔ)上，將焓彈性引入到3種基礎(chǔ)模型中，進(jìn)而發(fā)展了3種新的模型，即基于量子力學(xué)計(jì)算的QM-FJC模型、QM-FRC模型和QM-WLC模型。近年來(lái)他們進(jìn)行了一系列高分子的單分子力譜實(shí)驗(yàn)，結(jié)果已經(jīng)證明這些模型可以很好地描述一些聚合物單個(gè)分子鏈的本征彈性，比如含C-C骨架的聚合物、天然纖維素、DNA、蛋白質(zhì)等高分子[8,18-19]。但是，這3種模型對(duì)于各類高分子的適用性卻鮮有報(bào)道。

1 單分子力譜實(shí)驗(yàn)

材料和樣品準(zhǔn)備：左旋聚乳酸與實(shí)驗(yàn)中所用試劑(分析純)，均購(gòu)自西格瑪奧德里奇中國(guó)公司；蛋白質(zhì)I278是由8個(gè)I27(肌聯(lián)蛋白的第27個(gè)結(jié)構(gòu)域)聚合而成，購(gòu)自美國(guó)雅典娜環(huán)境科學(xué)公司。在進(jìn)行單分子力譜實(shí)驗(yàn)之前，首先將樣品(PLLA和I278)溶解于相應(yīng)的溶劑(二氯甲烷和水)中并稀釋，最終配置成濃度為1 μg/ml的稀溶液，然后取少量樣品溶液置于新鮮基底(石英片或金片)上物理吸附0.5 h，最后使用去離子水對(duì)其進(jìn)行沖洗，去掉吸附不牢固的分子，完成制片。

所有的單分子力譜實(shí)驗(yàn)均在原子力顯微鏡(MPF-3D,Asylun Research, CA)上完成。實(shí)驗(yàn)前在原子力顯微鏡針尖與樣品之間加入少許壬烷，以保證針尖處于液相環(huán)境中，當(dāng)針尖壓向基底表面捕捉到樣品分子時(shí)，針尖與基底會(huì)形成分子橋，接著隨著針尖從基底上遠(yuǎn)離，分子鏈被拉伸直至斷裂。在針尖的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，固定針尖的微懸臂與針尖的運(yùn)動(dòng)位移被記錄下來(lái)并且最終轉(zhuǎn)化為拉伸力與拉伸長(zhǎng)度相關(guān)的曲線圖。實(shí)驗(yàn)所使用的針尖為氮化硅針尖，拉伸速率為2 μm/s。

2 結(jié)果與討論

本文選取兩種典型高分子左旋聚乳酸(PLLA)和聚蛋白質(zhì)(I278)作為研究對(duì)象，測(cè)得其在非極性有機(jī)溶劑壬烷中的單分子彈性曲線，再分別利用QM-FRC、QM-FJC以及QM-WLC 3種模型來(lái)擬合所得實(shí)驗(yàn)曲線，并且通過(guò)計(jì)算擬合曲線和實(shí)驗(yàn)曲線之間的平均力值偏差來(lái)比較和分析3種模型對(duì)于高分子的適用性。

眾所周知，當(dāng)一個(gè)高分子鏈處于非極性有機(jī)溶劑中時(shí)，由于分子鏈與溶劑分子之間除了存在范德華相互作用并無(wú)其他特殊的相互作用，這可以用來(lái)近似模擬理論計(jì)算中的真空環(huán)境，因此高分子鏈在非極性有機(jī)溶劑中的單分子力譜通?？梢员碚髌浔菊鲝椥訹7,14]。

首先筆者利用原子力顯微鏡測(cè)得左旋聚乳酸(PLLA)在非極性有機(jī)溶劑——壬烷中的單分子力譜。從圖1中可以看到這是一個(gè)典型的力-距離拉伸曲線(簡(jiǎn)稱力曲線)，當(dāng)分子鏈拉伸超過(guò)其輪廓長(zhǎng)度之后，開始表現(xiàn)出它的彈性，隨著分子鏈長(zhǎng)度的不斷伸長(zhǎng)，力隨著拉伸長(zhǎng)度也在增加，直到分子鏈與基底或者針尖之間的分子橋斷裂，拉伸力驟減為0。由于每次拉伸實(shí)驗(yàn)過(guò)程中不同分子鏈的拉伸距離不同，因此無(wú)法進(jìn)行統(tǒng)一的比較和分析，需要將曲線進(jìn)行歸一化處理[14]。如圖2所示，經(jīng)過(guò)對(duì)實(shí)驗(yàn)曲線進(jìn)行歸一化后，發(fā)現(xiàn)這些曲線都可以很好地重合在一起，表明所得到的力曲線是PLLA在非極性有機(jī)溶劑中的單鏈拉伸行為，也就是單個(gè)PLLA鏈的本征彈性。

圖1 多個(gè)PLLA單分子鏈(不同長(zhǎng)度)在非極性有機(jī)溶劑(壬烷)中被拉伸所獲得的力曲線(不同的輪廓長(zhǎng)度)

圖2 歸一化后的不同輪廓長(zhǎng)度力曲線

接著筆者以FJC、FRC以及WLC模型作為基礎(chǔ)，利用量子力學(xué)的從頭計(jì)算法，基于MP2/TZV理論，分別計(jì)算出這兩種高分子單個(gè)重復(fù)單元的理論焓彈性，進(jìn)而將兩者結(jié)合發(fā)展成為新的基于量子力學(xué)計(jì)算的QM-FJC、QM-FRC以及QM-WLC模型。

FJC模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式：

(1)

FRC模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式：

(2)

WLC模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式：

(3)

式中：R為在力F作用下高分子鏈末端距；F為高分子鏈端所受到的拉伸力；L0為分子鏈在自由狀態(tài)下(即F=0)的輪廓長(zhǎng)度；LF為分子鏈在力F作用下的輪廓長(zhǎng)度；kB為波爾茨曼常數(shù)；T為絕對(duì)溫度；lk為庫(kù)恩長(zhǎng)度；lb為旋轉(zhuǎn)單元長(zhǎng)度；lp為持續(xù)長(zhǎng)度。

基于MP2/TZV理論的量子力學(xué)計(jì)算結(jié)果為：

(4)

式中：γn為多項(xiàng)式系數(shù)，其中γ1為線性彈性模量，其余的為非線性修正系數(shù)，n為多項(xiàng)式階數(shù)，用來(lái)修正非線性彈性模量的重要物理量，與量子力學(xué)計(jì)算結(jié)果有關(guān)。PLLA與聚蛋白的量子力學(xué)計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1。

表1 PLLA與聚蛋白的量子力學(xué)計(jì)算結(jié)果 nN

通過(guò)將3種基本模型與量子力學(xué)計(jì)算結(jié)果相結(jié)合，從而得到3個(gè)新模型，即QM-FJC、QM-FRC以及QM-WLC模型。在這3個(gè)新模型中，每個(gè)模型僅有一個(gè)變量(lk,lb,lp)，當(dāng)給定一個(gè)確定值時(shí)，就可以產(chǎn)生一條相應(yīng)的理論擬合曲線。

使用這3種新模型分別去擬合所得到的實(shí)驗(yàn)曲線[8,14]。為了找到最佳的擬合參數(shù)值，計(jì)算實(shí)驗(yàn)曲線與理論模型擬合曲線的力值平均偏差ΔF:

(5)

式中：Fexp為實(shí)驗(yàn)曲線上某數(shù)據(jù)點(diǎn)處的拉伸力；Ffit為模型擬合曲線上該數(shù)據(jù)點(diǎn)處的拉伸力值；n1為曲線上數(shù)據(jù)點(diǎn)的數(shù)量。

經(jīng)過(guò)擬合后，從圖3可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)lb=0.36 nm時(shí)，QM-FRC模型擬合曲線與實(shí)驗(yàn)曲線的力值平均偏差最小(ΔF1=11.957 22 pN)，因此lb=0.36 nm是QM-FRC模型擬合PLLA分子鏈本征彈性曲線的最佳值。經(jīng)過(guò)與實(shí)驗(yàn)曲線對(duì)比(如圖4所示)，發(fā)現(xiàn)兩者可以在整個(gè)力值區(qū)間內(nèi)很好地重合，而且0.36 nm正好是PLLA單個(gè)結(jié)構(gòu)單元的長(zhǎng)度[20]，說(shuō)明該參數(shù)與結(jié)構(gòu)相關(guān)。當(dāng)lk=0.72 nm時(shí)，QM-FJC模型擬合曲線與實(shí)驗(yàn)曲線的力值平均偏差最小(ΔF2=11.934 16 pN，如圖5所示)，因此lk=0.72 nm是QM-FJC模型擬合PLLA分子鏈本征彈性曲線的最佳值。通過(guò)將此值所對(duì)應(yīng)的QM-FJC模型擬合曲線與實(shí)驗(yàn)曲線對(duì)比(如圖6所示)，可以看出兩者可以很好地重合，而且lk=0.72 nm正好是lb=0.36 nm的2倍，這也表明該模型是個(gè)與結(jié)構(gòu)參數(shù)相關(guān)的模型。

圖3 不同lb值下的QM-FRC模型擬合曲線與實(shí)驗(yàn)曲線之間的力值平均偏差示意圖

圖4 PLLA在壬烷中獲得的力曲線(實(shí)線)與QM-FRC模型最佳擬合曲線(虛線)對(duì)比圖

圖5 不同lk值下的QM-FJC模型擬合曲線與實(shí)驗(yàn)曲線之間的力值平均偏差示意圖

圖6 實(shí)驗(yàn)曲線(實(shí)線)與QM-FJC模型擬合曲線(虛線)對(duì)比圖

將QM-FJC和QM-FRC模型擬合曲線與實(shí)驗(yàn)曲線的力值平均偏差進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)其差距僅有0.015 6 pN。為了進(jìn)一步理解該現(xiàn)象，筆者將QM-FJC與QM-FRC擬合曲線進(jìn)行比較，如圖7(a)所示，可以發(fā)現(xiàn)這兩條曲線并無(wú)較明顯差別，基本可以很好地重合，僅在15 pN以下有些不同(如圖7(b)所示)。然而由于單分子力譜實(shí)驗(yàn)曲線在15 pN以下的范圍內(nèi)分辨率并不高，因此QM-FJC與QM-FRC模型擬合曲線的差距可以忽略，說(shuō)明這兩種模型都可以描述單個(gè)PLLA鏈的本征彈性行為。而對(duì)于QM-WLC模型，當(dāng)lp=1.37 nm時(shí)，擬合曲線與實(shí)驗(yàn)曲線的力值平均偏差最小(ΔF3=24.131 9 pN，如圖8(a)所示)。對(duì)擬合曲線和實(shí)驗(yàn)曲線進(jìn)行比較，如圖8(b)所示，發(fā)現(xiàn)在大多數(shù)力值區(qū)域內(nèi)兩者可以很好重合，但是在中低力區(qū)卻不能很好重合。這說(shuō)明雖然此模型也可以用來(lái)描述其單個(gè)PLLA鏈的彈性行為，但是相比于QM-FRC和QM-FJC模型在中低力區(qū)還是有明顯的差距，也就是說(shuō)，QM-WLC模型并不能夠準(zhǔn)確描述PLLA單分子鏈的自身彈性行為。

圖7 QM-FJC與QM-FRC模型擬合曲線對(duì)比

圖8 PLLA實(shí)驗(yàn)曲線與QM-WLC模型擬合曲線對(duì)比

隨后，筆者又測(cè)得了另一種高分子——聚蛋白質(zhì)在壬烷中的單分子力譜(如圖9所示)，并利用這3種模型擬合了單個(gè)解折疊的蛋白質(zhì)鏈的單分子本征彈性行為，發(fā)現(xiàn)當(dāng)lp=0.38 nm時(shí)，QM-WLC模型擬合曲線與實(shí)驗(yàn)曲線的力值平均偏差最小(ΔF4=27.611 6 pN，如圖10(a)所示)，即此值為最佳擬合值。通過(guò)與實(shí)驗(yàn)曲線對(duì)比，如圖10(b)所示，發(fā)現(xiàn)當(dāng)lp=0.38 nm時(shí)，QM-WLC模型擬合曲線與實(shí)驗(yàn)曲線可以在整個(gè)力區(qū)內(nèi)很好地重合，說(shuō)明該模型可以用來(lái)描述單個(gè)解折疊蛋白質(zhì)鏈的本征彈性行為。另外，0.38 nm正好是解折疊蛋白質(zhì)鏈的一個(gè)結(jié)構(gòu)單元長(zhǎng)度[21]，說(shuō)明該參數(shù)與結(jié)構(gòu)相關(guān)。當(dāng)lb=0.11 nm時(shí)，QM-FRC模型擬合曲線與實(shí)驗(yàn)曲線的力值平均偏差最小(ΔF5=42.227 01 pN，如圖11(a)所示)。當(dāng)lk=0.22 nm時(shí)，QM-FJC模型擬合曲線與實(shí)驗(yàn)曲線的力值平均偏差最小(ΔF6=42.182 23 pN，如圖11(c)所示)。將它們與實(shí)驗(yàn)曲線分別進(jìn)行對(duì)比，如圖11(b)和圖11(d)所示，可以看出，無(wú)論是QM-FJC還是QM-FRC模型，都是在高力區(qū)可以重合，低力區(qū)不可以重合。這說(shuō)明QM-WLC模型比較適合于描述單個(gè)解折疊蛋白質(zhì)鏈的彈性行為，而QM-FRC和QM-FJC模型并不能夠準(zhǔn)確描述單個(gè)解折疊蛋白質(zhì)鏈的本征彈性。

圖9 不同輪廓長(zhǎng)度的蛋白質(zhì)單分子鏈在壬烷中獲得的歸一化后的力曲線

圖10 蛋白質(zhì)實(shí)驗(yàn)曲線與QM-WLC模型擬合曲線對(duì)比

圖11 蛋白質(zhì)實(shí)驗(yàn)曲線與QM-FJC和QM-FRC模型擬合曲線對(duì)比

由于是在非極性有機(jī)溶劑中得到的力曲線，而且分子鏈與溶劑分子之間并沒(méi)有明顯的相互作用，僅僅存在范德華力的作用，因此其單分子力譜可以表征其本征彈性，所以此種擬合結(jié)果的差異應(yīng)該歸因于其分子鏈本身的分子結(jié)構(gòu)。解折疊的蛋白質(zhì)分子鏈內(nèi)存在酰胺鍵，PLLA的分子鏈內(nèi)存在酯鍵，由于酰胺鍵相對(duì)于酯鍵而言更加穩(wěn)定一些，且鏈內(nèi)旋轉(zhuǎn)也受阻，因此可能會(huì)表現(xiàn)得更加剛性。QM-WLC模型是以WLC模型作為基礎(chǔ)，可能更加適合描述較剛性一些的高分子的單鏈彈性行為，而QM-FJC和QM-FRC模型則更加適合描述較柔性一些的高分子的單鏈彈性行為。

3 結(jié)論

通過(guò)3種理論模型與基于原子力顯微鏡的單分子力譜實(shí)驗(yàn)曲線對(duì)比分析發(fā)現(xiàn)：QM-FRC模型與QM-FJC模型在描述PLLA單分子鏈彈性行為時(shí)，平均力值偏差更小，擬合度更高，而QM-WLC模型在描述聚蛋白質(zhì)單分子鏈彈性行為時(shí)，平均力值偏差更小，擬合度更高。因此，本文得到如下結(jié)論：

1)描述柔性單分子鏈(如PLLA)的本征彈性，應(yīng)選擇QM-FJC和QM-FRC理論模型。

2)描述剛性分子鏈(如聚蛋白質(zhì))的本征彈性，應(yīng)選擇QM-WLC理論模型。

3)通過(guò)QM-FJC理論模型與QM-FRC理論模型擬合曲線的比較，發(fā)現(xiàn)僅在15 pN以下擬合曲線發(fā)生偏離，而且其與實(shí)驗(yàn)曲線的平均力值偏差小于0.1 pN，遠(yuǎn)小于原子力顯微鏡的分辨率。因此在單分子實(shí)驗(yàn)中，兩種模型都可以被用于描述柔性分子鏈的本征彈性。