基于Volterra 級(jí)數(shù)的航空年事故率預(yù)測(cè)方法*

王 瑛，郭之俊，孫 贇，李 超，董澤磊

（1.空軍工程大學(xué)裝備管理與無(wú)人機(jī)工程學(xué)院，西安 710051；2.解放軍95084 部隊(duì)，廣東 佛山 528000）

0 引言

航空年事故率是包括人、機(jī)、環(huán)在內(nèi)的復(fù)雜系統(tǒng)在構(gòu)成系統(tǒng)的組件失效、組件間復(fù)雜耦合關(guān)系、系統(tǒng)外部干擾，以及導(dǎo)致系統(tǒng)危險(xiǎn)狀態(tài)的單個(gè)組件行為共同作用下涌現(xiàn)出來(lái)的損失事件。事故是系統(tǒng)組件在微觀層面發(fā)生非線(xiàn)性耦合作用下而表現(xiàn)在宏觀層面的涌現(xiàn)行為［1］。對(duì)于航空年事故率的預(yù)防既要在微觀層面針對(duì)構(gòu)成裝備系統(tǒng)的部件進(jìn)行可靠性分析、人為因素分析、環(huán)境分析等系統(tǒng)組元分析，也要在宏觀層面對(duì)航空裝備的安全態(tài)勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)與評(píng)估，特別是對(duì)于航空年事故率的數(shù)目進(jìn)行準(zhǔn)確預(yù)測(cè)［2］，通過(guò)量化的指標(biāo)反映航空裝備的安全狀況，根據(jù)預(yù)測(cè)結(jié)果確定系統(tǒng)的危險(xiǎn)，建立裝備系統(tǒng)目標(biāo)，設(shè)計(jì)安全約束，從系統(tǒng)的角度出發(fā)實(shí)現(xiàn)裝備的安全涌現(xiàn)特性。因此，航空年事故率的準(zhǔn)確預(yù)測(cè)對(duì)實(shí)現(xiàn)航空安全，充分發(fā)揮武器裝備的性能具有重要的現(xiàn)實(shí)意義［3］。

美國(guó)開(kāi)展航空年事故率的預(yù)測(cè)工作始于20 世紀(jì)70 年代［4-5］，目前已經(jīng)構(gòu)建出比較完整的年事故率預(yù)測(cè)體系，該體系在安全態(tài)勢(shì)研究、年事故率預(yù)防［5］等方面發(fā)揮了積極的作用［6-7］。

國(guó)內(nèi)針對(duì)航空年事故率的預(yù)測(cè)工作從1987 年開(kāi)始，應(yīng)用的方法比較單一，預(yù)測(cè)精度難以滿(mǎn)足裝備管理需求。國(guó)內(nèi)的預(yù)測(cè)主要以灰色模型及其組合模型為主，但是這些方法只能從某種程度上反映事故致因的復(fù)雜性，不能完全反映出事故致因非線(xiàn)性耦合的特點(diǎn)，因此，預(yù)測(cè)效果都不理想，特別是當(dāng)系統(tǒng)無(wú)法提供其發(fā)展變化的最新信息時(shí)，模型的預(yù)測(cè)效果會(huì)驟然降低。

航空年事故率的產(chǎn)生是“人-機(jī)-環(huán)”等多種危險(xiǎn)因素耦合交互決定的一種整體涌現(xiàn)結(jié)果，事故的預(yù)測(cè)表現(xiàn)出較強(qiáng)的非線(xiàn)性特性，根據(jù)相鄰數(shù)據(jù)存在相關(guān)性的特性［8］，對(duì)歷年航空年事故率數(shù)據(jù)進(jìn)行處理發(fā)現(xiàn)，航空裝備相鄰年份的事故萬(wàn)時(shí)率差值表現(xiàn)出一定的混沌特性?；煦缇哂须S機(jī)性同時(shí)符合確定的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，其復(fù)雜性可以更好地描述事故致因因素的復(fù)雜性，本文嘗試建立混沌預(yù)測(cè)模型［9］，對(duì)航空年事故率進(jìn)行預(yù)測(cè)。

本文首先對(duì)原有年份的事故率數(shù)據(jù)預(yù)處理，得到相鄰年份事故率的差值，然后通過(guò)0-1 混沌特性判定方法確定該時(shí)序的混沌特性。針對(duì)處理后的時(shí)序，利用相空間重構(gòu)的方法重構(gòu)相空間，通過(guò)互信息法確定延遲時(shí)間［10-11］，通過(guò)假近鄰法確定嵌入維數(shù)，重構(gòu)的相空間在幾何意義上等價(jià)于航空年事故率非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)［12-13］。在上述重構(gòu)的相空間的基礎(chǔ)上，通過(guò)利用改進(jìn)的Volterra 級(jí)數(shù)預(yù)測(cè)的方法對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行預(yù)測(cè)［14］。

1 航空年事故率時(shí)序混沌特性判定

0-1 混沌特性判定方法是由Melbourne 與Gottwald 于2009 年提出［15］，該方法最大的特點(diǎn)是不需要重構(gòu)相空間，可以直接對(duì)其進(jìn)行混沌特性的判定。首先，定義兩個(gè)平移變量p（n）與q（n）［15］。

如果p（n）與q（n）的相圖為無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)，那么原時(shí)間序列中存在混沌現(xiàn)象，反之，不存在。為了研究p（n）與q（n）的散布特征，定義均方位移M（n）。p（n）與q（n）的相圖為無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)時(shí)，M（n）關(guān)于時(shí)間線(xiàn)性遞增，其漸進(jìn)增長(zhǎng)率Kc→1，如果Kc→0，則原時(shí)間序列不存在混沌特性［15］。

考慮到事故數(shù)據(jù)不易收集，本文以美軍1971年-2001 年A 級(jí)飛行事故10 萬(wàn)時(shí)率為例對(duì)混沌預(yù)測(cè)的可行性進(jìn)行討論，相鄰年份事故萬(wàn)時(shí)率的差值如表1 所示。該差值組成的時(shí)間序列共30 組數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)具有混沌性，為了進(jìn)一步研究，同時(shí)彌補(bǔ)航空年事故率數(shù)據(jù)較少的不足，本文基于二次插值法在每組數(shù)據(jù)間插入9 組數(shù)據(jù)，則原始數(shù)據(jù)擴(kuò)充為291組數(shù)據(jù)，如圖1 所示，擴(kuò)充后數(shù)據(jù)集第10i+1 組數(shù)據(jù)為原數(shù)據(jù)集第i 組數(shù)據(jù)的原始值（i=0，1，…，29），利用0-1 混沌特性檢驗(yàn)擴(kuò)充數(shù)據(jù)的混沌特性，保證數(shù)據(jù)的一致性。

表1 相鄰年份事故率差值（%）

圖1 相鄰年份事故率差值時(shí)序圖

利用0-1 混沌特性判定方法對(duì)相鄰年份事故萬(wàn)時(shí)率差值時(shí)間序列進(jìn)行分析，可以得到p（n）與q（n）的相圖，如圖2 所示，作出M（n）隨時(shí)間的變化圖，如圖3 所示。分析圖2 和圖3 可得，p（n）與q（n）的散布特征符合布朗運(yùn)動(dòng)，M（n）隨時(shí)間線(xiàn)性增長(zhǎng)，漸進(jìn)增長(zhǎng)率Kc=0.998 6，即Kc→1，所以航空裝備相鄰年份事故率的差值時(shí)序具有混沌特性。

圖2 p（n）與q（n）的相圖

圖3 均方位移的變化圖

2 航空年事故率時(shí)序的相空間重構(gòu)

通過(guò)上節(jié)的分析可以判定該時(shí)間序列具有混沌特性，在本節(jié)中對(duì)該時(shí)間序列進(jìn)行相空間的重構(gòu)。

2.1 相空間的重構(gòu)

由此重構(gòu)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型F（·）為：

式中，T 表示的是預(yù)測(cè)步長(zhǎng)。

在相空間的重構(gòu)過(guò)程中，延遲時(shí)間和嵌入維數(shù)的確定非常重要，對(duì)于相關(guān)參數(shù)的選取有很多研究，下面求解相應(yīng)的參數(shù)。

2.2 延遲時(shí)間和嵌入維數(shù)的確定

互信息法［9］將互信息函數(shù)的第1 個(gè)極小值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的時(shí)延確定為延遲時(shí)間。

通過(guò)互信息法確定相鄰年份事故萬(wàn)時(shí)率差值時(shí)間序列的平均互信息與延遲時(shí)間的關(guān)系圖如圖4所示，分析圖4 可知，該時(shí)間序列在時(shí)取得第1個(gè)極小值，即相空間重構(gòu)的延遲時(shí)間為。

圖4 平均互信息與延遲時(shí)間的關(guān)系

假近鄰法［10］要求當(dāng)相空間的嵌入維數(shù)增大至某個(gè)數(shù)值時(shí)，相空間中的軌道會(huì)充分展開(kāi)，假近鄰點(diǎn)消失，此時(shí)的嵌入維數(shù)即為最佳嵌入維數(shù)。

通過(guò)假近鄰法確定相鄰年份事故萬(wàn)時(shí)率差值時(shí)間序列的嵌入維數(shù)與假近鄰率的關(guān)系圖如圖5所示，分析圖5 可知，該時(shí)間序列從m=6 時(shí)假近鄰率趨于恒定，即相空間重構(gòu)的嵌入維數(shù)為m=6。

圖5 假近臨率與嵌入維數(shù)的關(guān)系

2.3 最大Lyapunov 指數(shù)

通過(guò)wolf 方法，在重構(gòu)的相空間基礎(chǔ)上進(jìn)行計(jì)算可得Lyapunov 指數(shù)，Lyapuvov 指數(shù)的示意圖如圖6 所示，大部分指數(shù)，比較可得最大Lyapunov 指數(shù)為，即該時(shí)間序列具有混沌特性，由此驗(yàn)證了上文中0-1 混沌特性判定方法的正確性。

圖6 Lyapunov 指數(shù)示意圖

3 Volterra 自適應(yīng)預(yù)測(cè)模型

根據(jù)上節(jié)的計(jì)算可知，重構(gòu)相空間可以得到混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型F（·），本節(jié)通過(guò)Volterra 級(jí)數(shù)展開(kāi)式對(duì)混沌系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型F（·）進(jìn)行逼近，由此構(gòu)造出混沌時(shí)間序列的Volterra 自適應(yīng)預(yù)測(cè)模型。假設(shè)該模型的輸入為

輸出為

Volterra 級(jí)數(shù)展開(kāi)式的計(jì)算如式（5）所示。

上式可化簡(jiǎn)為

上式中

定義預(yù)測(cè)的誤差為：

可以應(yīng)用歸一化LMS（NLMS）的自適應(yīng)算法實(shí)時(shí)調(diào)整濾波器的系數(shù)［16-21］。相關(guān)研究表明，權(quán)值的調(diào)整量大小往往由輸入向量U（n）和U（n-1）的相關(guān)系數(shù)ρ（n）決定，當(dāng)輸入向量U（n）同U（n-1）正交，即相關(guān)系數(shù)ρ（n）=0 時(shí)，該濾波器的收斂速度最快。為表示輸入向量U（n）在當(dāng)前的時(shí)刻同前一時(shí)刻不相關(guān)的部分可以引入如下新的向量：

因?yàn)?/p>

所以，Z（n）與n-1 時(shí)刻的輸入U(xiǎn)（n-1）是正交的，所以可以用Z（n）作為輸入向量，濾波器的系數(shù)可以按照如下方式進(jìn)行更新：

圖7 相鄰年份事故率差值時(shí)序預(yù)測(cè)流程圖

4 實(shí)驗(yàn)分析

將插值擴(kuò)充后的291 組航空裝備相鄰年份事故率差值的時(shí)間序列數(shù)據(jù)分為兩組，前251 組數(shù)據(jù)（即原始數(shù)據(jù)集前26 組數(shù)據(jù)）為訓(xùn)練集，后40 組數(shù)據(jù)（即原始數(shù)據(jù)集后4 組數(shù)據(jù)）為測(cè)試集。

將數(shù)據(jù)輸入Volterra 自適應(yīng)預(yù)測(cè)模型，對(duì)時(shí)間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，可得到預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)與真實(shí)數(shù)據(jù)的對(duì)比圖，如圖8 所示，兩者的預(yù)測(cè)誤差如圖9 所示，其中預(yù)測(cè)集中第10、20、30、40 個(gè)數(shù)據(jù)分別對(duì)應(yīng)1998 年-2001 年的預(yù)測(cè)差值，根據(jù)1997 年數(shù)據(jù)可以計(jì)算得到1998 年-2001 年的事故率。

圖8 真實(shí)值與預(yù)測(cè)值

圖9 預(yù)測(cè)誤差

通過(guò)圖8、圖9 可以看出，Volterra 自適應(yīng)預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)效果較好，精度較高，將該預(yù)測(cè)結(jié)果與灰色時(shí)序組合預(yù)測(cè)模型進(jìn)行比較，如表2 所示。從表中可見(jiàn)，Volterra 自適應(yīng)預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)相對(duì)誤差控制在2%以?xún)?nèi)，雖然相對(duì)誤差有逐漸變大的趨勢(shì)，但預(yù)測(cè)精度仍然比較高，滿(mǎn)足航空年事故率的預(yù)測(cè)要求。

表2 混沌時(shí)序模型的1998 年～2001 年預(yù)測(cè)結(jié)果

5 結(jié)論

研究證明：經(jīng)過(guò)0-1 混沌特性判定方法判定美國(guó)空軍1971 年-2001 年航空裝備相鄰年份事故率差值時(shí)間序列具有混沌特性，并通過(guò)最大Lyapunov指數(shù)的方法驗(yàn)證其有效性。

二階Volterra 自適應(yīng)預(yù)測(cè)模型既利用系統(tǒng)的線(xiàn)性因素，又利用系統(tǒng)的非線(xiàn)性因素，更符合混沌系統(tǒng)的特性，能夠很好地反映相鄰年份事故率差值時(shí)間序列的變化規(guī)律。

本文采用混沌時(shí)間序列的預(yù)測(cè)方法對(duì)航空年事故率進(jìn)行預(yù)測(cè)的嘗試是有效的，經(jīng)過(guò)與灰色時(shí)序組合預(yù)測(cè)方法對(duì)比，本文方法精度更高，為航空年事故率的預(yù)測(cè)研究進(jìn)行了新的嘗試。