一種α 穩(wěn)定分布噪聲下的跳頻參數(shù)盲估計(jì)方法*

楊蕓丞，孫雪麗，鐘兆根

（海軍航空大學(xué)，山東 煙臺(tái) 264001）

0 引言

現(xiàn)代信息化戰(zhàn)爭中，跳頻通信由于其低截獲概率、組網(wǎng)方式靈活、信道衰減緩慢等優(yōu)點(diǎn)，在軍事通信、指揮、控制和情報(bào)系統(tǒng)中均得到了廣泛應(yīng)用［1］。對于信號(hào)偵察方而言，如何獲取敵方跳頻信號(hào)的參數(shù)信息，完成對跳頻信號(hào)特征參數(shù)的準(zhǔn)確估計(jì)具有重大的研究意義［2］。

傳統(tǒng)的跳頻信號(hào)參數(shù)估計(jì)算法，多以高斯白噪聲為背景噪聲模型。文獻(xiàn)［3］利用短時(shí)傅里葉變換（Short-Time Fourier Transform，STFT），計(jì)算量小，但存在時(shí)間分辨率和頻率分辨率矛盾的問題；文獻(xiàn)［4］應(yīng)用小波變換的方法對跳頻信號(hào)進(jìn)行分析，有效解決了時(shí)頻分辨率矛盾的問題，但小波基難以選取，且算法計(jì)算量較大；文獻(xiàn)［5］通過建立ARMA 模型估計(jì)跳變時(shí)刻和跳頻頻率，僅適用于正定條件；文獻(xiàn)［6］對信號(hào)樣本進(jìn)行原子分解，將時(shí)頻原子的參數(shù)值進(jìn)行聚類，但也受限于計(jì)算復(fù)雜度過大；這些算法均可實(shí)現(xiàn)跳頻參數(shù)的準(zhǔn)確估計(jì)。但是，在實(shí)際的空間環(huán)境中，往往存在顯著的非高斯性脈沖干擾，如電磁噪聲、大氣雷噪聲等。研究表明，這類噪聲近似于α 穩(wěn)定分布模型。在該噪聲影響下，以高斯白噪聲為噪聲模型的跳頻參數(shù)估計(jì)方法性能顯著下降乃至失效。鑒于此，文獻(xiàn)［7］提出了分?jǐn)?shù)低階的平滑偽Wigner-Ville（SPWVD）的方法，有效抑制了脈沖噪聲，但算法計(jì)算量大，不能達(dá)到瞬時(shí)估計(jì)的效果；文獻(xiàn)［8］提出了一種分?jǐn)?shù)低階STFT 的方法，解決了計(jì)算量大的問題，但該方法受限于不確定性原理，不能同時(shí)得到較好的時(shí)間分辨率和頻率分辨率。

針對α 穩(wěn)定分布噪聲背景下跳頻參數(shù)盲估計(jì)問題，同時(shí)克服文獻(xiàn)［8］的不足，本文首先對跳頻信號(hào)進(jìn)行兩次窗函數(shù)長短不同的分?jǐn)?shù)低階STFT，得到兩組時(shí)頻數(shù)據(jù)，然后將兩組時(shí)頻數(shù)據(jù)點(diǎn)乘，得到新的時(shí)頻表示，最后基于時(shí)頻分析的跳頻參數(shù)估計(jì)方法，實(shí)現(xiàn)跳頻參數(shù)的估計(jì)。該方法可以有效抑制脈沖性強(qiáng)的α 噪聲，同時(shí)獲得較好的時(shí)間分辨率和頻率分辨率。

1 基本原理

1.1 分?jǐn)?shù)低階STFT

假定窗函數(shù)h（t）平穩(wěn)，用h（t）截取非平穩(wěn)信號(hào)x（t）并求出該時(shí)刻的傅里葉變換，沿著時(shí)間序列不斷移動(dòng)窗函數(shù)h（t），求出各個(gè)時(shí)刻的傅里葉變換，這一方法稱為短時(shí)傅里葉變換［9］，即：

為更好地表征空間環(huán)境噪聲中非高斯脈沖性特點(diǎn)，本文采用α 穩(wěn)定分布噪聲作為背景噪聲模型。已知信號(hào)的統(tǒng)計(jì)矩作為識(shí)別信號(hào)特征的依據(jù)，是一種重要的數(shù)理統(tǒng)計(jì)量。假設(shè)隨機(jī)信號(hào)的特征指數(shù)為α，則階數(shù)大于α 的統(tǒng)計(jì)矩都是不存在的。若α穩(wěn)定分布（0＜α＜2）的隨機(jī)變量的p 階矩為，其收斂性滿足［9］：

特別地，當(dāng)α=2 時(shí)，

所以，α 穩(wěn)定分布（0＜α＜2）的二階矩以及二階以上的高階矩是不存在的，從而導(dǎo)致了基于二階矩及高階矩的信號(hào)分析方法（如STFT）會(huì)出現(xiàn)明顯的性能下降乃至失效?；诖?，分?jǐn)?shù)低階方法就成為了一種重要的時(shí)頻分析手段。

若α 穩(wěn)定分布（0＜α＜2）兩個(gè)隨機(jī)變量X 和Y滿足1＜α≤2，共變［10］定義為：

其中，S 表示單位圓；μ（·）為聯(lián)合SαS 分布機(jī)變量X和Y 的譜測度；算子〈·〉表示如下運(yùn)算：

共變僅適用于α 穩(wěn)定分布滿足1＜α≤2 的條件下，文獻(xiàn)［11］提出了分?jǐn)?shù)低階協(xié)方差的概念，作為一種更一般的分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量，對全部α 值均可適用。其定義為：

α 穩(wěn)定分布（0＜α＜2）不存在二階矩，但存在有限的p 階矩（0＜p＜α）。若先將x（t）做p 階的分?jǐn)?shù)低階算子運(yùn)算，再做STFT，即可得到分?jǐn)?shù)低階STFT 的定義式：

由式（8）可知，F(xiàn)LOSTFTx（t，f）的時(shí)頻性質(zhì)是由x（t）的p 階算子先通過加窗函數(shù)再做傅里葉變換得到的，而窗函數(shù)的長度直接影響了信號(hào)分析的準(zhǔn)確性。通常情況下，窗長越短的窗函數(shù)，F(xiàn)LOSTFTx（t，f）的時(shí)間分辨率越高、頻率分辨率越低；窗長越長的窗函數(shù)，F(xiàn)LOSTFTx（t，f）的時(shí)間分辨率越低、頻率分辨率越高。對于給定的窗函數(shù)h（t），假設(shè)時(shí)窗中心為Δt，頻窗中心為Δf，根據(jù)不確定性原理得到Heisenberg 不等式［12］：

通過式（9）可知，時(shí)域?qū)挾群皖l域?qū)挾炔荒苋∪我庑?，因此，分?jǐn)?shù)低階STFT 不可能得到任意高的時(shí)間分辨率和頻率分辨率。

1.2 組合窗函數(shù)的分?jǐn)?shù)低階STFT

在分?jǐn)?shù)低階STFT 中，窗函數(shù)的選取是極其重要的。窗函數(shù)一經(jīng)選擇，在整個(gè)二維聯(lián)合時(shí)頻分析的所有局部域中，時(shí)間、頻率的分辨率都是固定的，這也是分?jǐn)?shù)低階STFT 最大的不足。但是，通過研究不難發(fā)現(xiàn)，分?jǐn)?shù)低階STFT 有良好的能量聚集性。若假定非平穩(wěn)信號(hào)x（t）的能量在時(shí)域集中于［-t，t］的時(shí)間間隔內(nèi)，在頻域集中于［-f，f］的頻率間隔內(nèi)，經(jīng)分?jǐn)?shù)低階STFT，分?jǐn)?shù)低階STFT 的值將局域化在［-t，t］×［-f，f］上，而在其他區(qū)域內(nèi)，分?jǐn)?shù)低階STFT的值趨近于零。基于此，本文提出了一種組合窗函數(shù)的分?jǐn)?shù)低階STFT 時(shí)頻分析方法。

將式（8）離散化，得到離散的分?jǐn)?shù)低階STFT 表達(dá)式：

由式（10）可知，對于任意時(shí)刻的m，分?jǐn)?shù)低階STFT 可以看作對x（n）的p 階算子作離散傅里葉變換。在M 點(diǎn)離散傅里葉變換下，可得到：

由式（11）可知，在N 值確定的情況下，經(jīng)分?jǐn)?shù)低階STFT 變換后的數(shù)據(jù)維度就確定了下來，與窗函數(shù)的長度無關(guān)。

2 數(shù)學(xué)模型

2.1 標(biāo)準(zhǔn)SαS 分布的噪聲模型

α 穩(wěn)定分布沒有固定的概率密度函數(shù)表達(dá)式，但存在固定的特征函數(shù)表達(dá)式［13］：

其中：

式（12）中，α∈（0，2］為特征參數(shù)，β∈［-1，1］為對稱參數(shù)，γ＞0 為分散系數(shù)，a∈（-∞，∞）為位置參數(shù)，上述4 個(gè)參數(shù)確定了α 穩(wěn)定分布的特征函數(shù)。由文獻(xiàn)［13］可知，當(dāng)β=0，γ=1，a=0 時(shí)，對應(yīng)于標(biāo)準(zhǔn)SαS 分布。該分布的概率密度函數(shù)具有平滑、單峰分布、對稱等特點(diǎn)，與空間環(huán)境中脈沖噪聲信號(hào)的特征十分吻合。

文獻(xiàn)［14］利用Deroye 方法得到標(biāo)準(zhǔn)SαS 分布的隨機(jī)變量。具體步驟如下：

2）產(chǎn)生均值為1 的服從指數(shù)分布的隨機(jī)變量W；

3）定義隨機(jī)變量：

4）得到標(biāo)準(zhǔn)SαS 分布的隨機(jī)變量：

由前文可知，低階α 穩(wěn)定分布（0＜α＜2）的二階矩是不存在的，所以基于二階統(tǒng)計(jì)量方差定義的信噪比不再適用，為表征信號(hào)與噪聲的關(guān)系，引入廣義信噪比［14］：

2.2 跳頻信號(hào)的數(shù)學(xué)模型

跳頻信號(hào)的數(shù)學(xué)模型可以定義為［15］：

其中：

其中，A 為跳頻信號(hào)的功率，Th為跳變周期，To 為跳變時(shí)刻，fk為第k 次跳變頻率，rectT（ht）是高為1，寬為Th的閘門函數(shù)，n（t）為加性噪聲，本文采用標(biāo)準(zhǔn)SαS 分布的α 穩(wěn)定分布噪聲作為背景噪聲模型。

3 參數(shù)估計(jì)的基本步驟

本文采用基于時(shí)頻分析的跳頻參數(shù)估計(jì)方法，其核心思想是首先獲得聚集性良好、有足夠時(shí)頻分辨率的時(shí)頻分布，再進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。具體步驟歸納如下：

1）對跳頻信號(hào)x（t）采樣記作x（n），選取兩個(gè)窗長不同的窗函數(shù)作為時(shí)間窗，對x（n）作分?jǐn)?shù)低階STFT 變換，得到結(jié)果記作TFR1（m，n），TFR2（m，n）；

2）TFR1（m，n）×TFR2（m，n）得到新的時(shí)頻表示TFR（m，n）；

3）計(jì)算TFR（m，n）在每一個(gè)時(shí)刻m 點(diǎn)沿頻率軸的最大值，得到矢量y（m）；

4）對y（m）作快速傅里葉變換，得到離散跳周期的估計(jì)值Ne，則跳周期的估計(jì)值Te=Ne/Fs；

6）估計(jì)x（n）的跳頻頻率，得到跳頻頻率集：

圖1 GSNR=3 dB 時(shí)不同α 值跳頻信號(hào)時(shí)域圖與頻域圖

4 仿真結(jié)果及分析

4.1 跳頻信號(hào)的時(shí)頻分布

圖2 跳頻信號(hào)的三維時(shí)頻分布圖

從圖2 中可以清楚地看到跳頻信號(hào)時(shí)間、頻率、幅度的三維分布情況。其中，凸起的峰值數(shù)目代表了跳頻信號(hào)的數(shù)目，圖中8 個(gè)波峰對應(yīng)8 個(gè)跳頻信號(hào)。凸起的峰值越尖銳，能量就越密集，說明算法的性能越好。圖中，時(shí)間軸上的峰寬代表跳周期，峰值的變化時(shí)刻代表了信號(hào)的跳變時(shí)刻，頻率軸的峰值代表了信號(hào)頻率的大小。顯然，在四組三維時(shí)頻分布圖中，分?jǐn)?shù)低階STFT 對脈沖噪聲有抑制作用；而組合窗函數(shù)的分?jǐn)?shù)低階STFT 對脈沖噪聲抑制效果更為顯著，峰值更加尖銳，通過該算法獲得的跳頻信號(hào)特征參數(shù)值會(huì)有更好的性能指標(biāo)。

圖3 跳頻信號(hào)的等高線圖

為了更直觀地對不同時(shí)頻分析方法作出比較，圖3 給出了跳頻信號(hào)的等高線示意圖。圖3（a）是跳頻信號(hào)經(jīng)STFT 變換所得的等高線圖，由圖可見，脈沖性的α 噪聲使STFT 的時(shí)頻分析能力大大減弱。圖3（b）、圖3（c）是不同窗長的分?jǐn)?shù)低階STFT 變換所得的等高線圖，該方法對脈沖性的α 噪聲有一定的抑制作用，但不能同時(shí)獲得較好的時(shí)間分辨率和頻率分辨率，圖3（b）中短窗的分?jǐn)?shù)低階STFT 變換有較好的時(shí)間分辨率，圖3（c）中長窗的分?jǐn)?shù)低階STFT 變換有較好的頻率分辨率。圖3（d）是組合窗函數(shù)的分?jǐn)?shù)低階STFT 變換所得的等高線圖，可以直觀地看到，該方法對脈沖性的α 噪聲有顯著的抑制作用，性能明顯優(yōu)于上述方法，并可以同時(shí)得到較好的時(shí)間分辨率和頻率分辨率。

4.2 跳頻信號(hào)的參數(shù)估計(jì)

根據(jù)上文中參數(shù)估計(jì)的基本步驟可知，跳變時(shí)刻、跳頻頻率集的參數(shù)估計(jì)均基于跳頻周期的準(zhǔn)確估計(jì)，故跳頻周期的估計(jì)是特征參數(shù)估計(jì)的關(guān)鍵?；谏衔姆抡婺Ｐ停?值分別取1.5、0.8，將廣義信噪比作為自變量，分別通過STFT、分?jǐn)?shù)低階STFT（應(yīng)用時(shí)間分辨率更高的短窗）、組合窗函數(shù)的分?jǐn)?shù)低階STFT 對跳頻信號(hào)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，經(jīng)500 次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)，得到不同α 值跳頻周期的均方誤差如下頁圖4 所示。

圖4 GSNR=3 dB 時(shí)不同α 值跳頻周期均方誤差

由圖4（a）可知，對于α=1.5 的標(biāo)準(zhǔn)SαS 分布噪聲，采用組合窗函數(shù)的分?jǐn)?shù)低階STFT 在GSNR≥0 dB時(shí)，可以準(zhǔn)確地估計(jì)出跳頻周期；采用分?jǐn)?shù)低階STFT 和STFT 在GSNR≥2 dB 時(shí)才可以達(dá)到準(zhǔn)確估計(jì)跳頻周期的效果，同時(shí)，這也說明了在α=1.5 的條件下，對于脈沖性不強(qiáng)的噪聲信號(hào)，STFT 仍可適用。另一方面，在GSNR＜0 dB 時(shí)，采用組合窗函數(shù)的分?jǐn)?shù)低階STFT 得到的均方誤差更小，進(jìn)一步體現(xiàn)了該算法對跳頻周期的參數(shù)估計(jì)性能優(yōu)于分?jǐn)?shù)低階STFT 和STFT。由圖4（b）可知，對于α=0.8 的標(biāo)準(zhǔn)SαS 分布噪聲，采用組合窗函數(shù)的分?jǐn)?shù)低階STFT在GSNR≥1 dB 時(shí)，可以準(zhǔn)確地估計(jì)出跳頻周期；采用分?jǐn)?shù)低階STFT 在GSNR≥2 dB 時(shí)才可以達(dá)到準(zhǔn)確估計(jì)跳頻周期的效果；采用STFT 性能嚴(yán)重退化，在很大廣義信噪比前提下才能對跳頻周期有效估計(jì)。另一方面，在不同廣義信噪比條件下，組合窗函數(shù)的分?jǐn)?shù)低階STFT 得到的均方誤差更小，算法性能優(yōu)于分?jǐn)?shù)低階STFT 和STFT。同時(shí)比較圖4（a）和圖4（b），不難發(fā)現(xiàn)，隨著α 值的減小，幾種算法的跳頻周期均方誤差都會(huì)增大，估計(jì)性能下降；另一方面，組合窗函數(shù)的分?jǐn)?shù)低階STFT 算法性能優(yōu)于分?jǐn)?shù)低階STFT 和STFT。

對跳頻周期估計(jì)后，根據(jù)步驟5 對跳變時(shí)刻進(jìn)行有效估計(jì)。通過前文可知，在GSNR=3 dB 且α=1.5時(shí)，3 種方法均可準(zhǔn)確估計(jì)跳頻周期，為比較3 種情況下對跳變時(shí)刻、跳頻頻率的估計(jì)性能，本文在GSNR=3 dB 且α=1.5 的情況下采用STFT、分?jǐn)?shù)低階STFT、組合窗函數(shù)的分?jǐn)?shù)低階STFT 分別進(jìn)行500次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)，所得的跳變時(shí)刻估計(jì)如表1 所示。

表1 不同算法跳變時(shí)刻 單位：ms

由表1 可知，采用STFT 對跳變時(shí)刻進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，最大相對誤差為4.40%，即跳變時(shí)刻的誤差不超過0.22 ms；采用分?jǐn)?shù)低階STFT 跳變時(shí)刻進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，最大相對誤差為3.00%，即跳變時(shí)刻的誤差不超過0.15 ms；采用組合窗函數(shù)的分?jǐn)?shù)低階STFT跳變時(shí)刻進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，最大相對誤差1.40%，即跳變時(shí)刻的誤差不超過0.07 ms?？梢?，對跳變時(shí)刻的估計(jì)，組合窗函數(shù)的分?jǐn)?shù)低階STFT 算法性能優(yōu)于分?jǐn)?shù)低階STFT 和STFT。

對跳變時(shí)刻估計(jì)后，根據(jù)步驟6 對跳頻頻率進(jìn)行有效估計(jì)。表2 為估計(jì)結(jié)果。由表2 可知，應(yīng)用組合窗函數(shù)的分?jǐn)?shù)低階STFT 所得的跳頻頻率值比分?jǐn)?shù)低階STFT 和STFT 更為精確。

綜上所述，在跳頻信號(hào)的特征參數(shù)估計(jì)中，組合窗函數(shù)的分?jǐn)?shù)低階STFT 算法性能優(yōu)于分?jǐn)?shù)低階STFT 和STFT。

表2 不同算法跳頻頻率 單位：kHz

5 結(jié)論

本文針對在α 穩(wěn)定分布噪聲環(huán)境下，傳統(tǒng)的分析方法以及分?jǐn)?shù)低階STFT 的不足，提出了組合窗函數(shù)的分?jǐn)?shù)低階STFT 方法，該方法能夠同時(shí)獲得長窗函數(shù)的頻率分辨率和短窗函數(shù)的時(shí)間分辨率，在較低的廣義信噪比環(huán)境下，有效實(shí)現(xiàn)了對跳頻信號(hào)時(shí)頻分析。仿真實(shí)驗(yàn)表明，本文方法可以有效地抑制脈沖噪聲，在廣義信噪比較低的環(huán)境下完成跳頻信號(hào)的參數(shù)估計(jì)，且算法性能優(yōu)于分?jǐn)?shù)低階STFT和STFT，在信號(hào)截獲分析領(lǐng)域中具有一定的工程應(yīng)用價(jià)值。