數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用與建議

紀(jì)定春 蔣紅珠 王若飛

(1.四川省成都師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 610068；2.廣東省廣州市華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 510631)

一、數(shù)學(xué)歸納法的發(fā)展及簡介

數(shù)學(xué)歸納法是一種基本的數(shù)學(xué)證明方法，主要用于證明與正整數(shù)有關(guān)的一些數(shù)學(xué)命題，它是溝通特殊到一般、有限到無限的橋梁.數(shù)學(xué)歸納法的思想起源于畢達(dá)哥拉斯時代，從特殊的點(diǎn)子數(shù)出發(fā)，歸納出一般結(jié)論.歐幾里得對素數(shù)有無窮的證明過程，充分地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)歸納法中歸納遞推的思想.13世紀(jì)末，法國數(shù)學(xué)家萊維·本·熱爾松在證明排列組合問題時，用了現(xiàn)代意義下數(shù)學(xué)歸納法中的歸納奠基和歸納推理的思想，這標(biāo)志數(shù)學(xué)歸納法逐漸走向成熟.帕斯卡在證明帕斯卡三角時，明確運(yùn)用了現(xiàn)代意義上的數(shù)學(xué)歸納法的兩個核心步驟，即歸納奠基和歸納推理兩個步驟，這意味著數(shù)學(xué)歸納法證明的正式確立.意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾發(fā)表了《算術(shù)原理新方法》，建立了自然數(shù)五條公理，數(shù)學(xué)歸納法有了理論依據(jù)，標(biāo)志著數(shù)學(xué)歸納法走向成熟.隨后，數(shù)學(xué)歸納法呈現(xiàn)多樣化的發(fā)展，形成了不同類型的歸納法，如第二數(shù)學(xué)歸納法、蹺蹺板歸納法、倒推歸納法、跳躍歸納法、累積歸納法、無窮歸納法、區(qū)間歸納法等.接下來將介紹第一數(shù)學(xué)歸納法(以下均簡稱：數(shù)學(xué)歸納法)及其應(yīng)用.

數(shù)學(xué)歸納法：

假設(shè)命題P(n)是關(guān)于正整數(shù)n的命題，如果P(n)滿足：(1)命題P(1)為真.(2)假設(shè)命題P(k)為真，證明命題P(k+1)為真.由命題(1)、(2)為真，則對正整數(shù)n，都有命題P(n)成立.

驗(yàn)證命題P(1)為真，稱為歸納奠基；通過假設(shè)命題題P(k)為真，證明命題P(k+1)為真，稱為歸納遞推(歸納推理)；最后步驟為下結(jié)論.

二、數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用

1.求證數(shù)列通項(xiàng)中的應(yīng)用

例1(2014年廣東高考數(shù)學(xué)卷)設(shè)數(shù)列{an}的前面的n項(xiàng)和為Sn，關(guān)系為Sn=2nan+1-3n2-4n，n∈N*，且S3=15.(1)求a1，a2，a3的值；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解析對問題(1)，由于數(shù)列Sn，滿足Sn=2nan+1-3n2-4n.容易得a1=3，a2=5，a3=7.

對問題(2)，由問題(1)中a1，a2，a3值，猜數(shù)列{an}通項(xiàng)為：an=2n+1.

現(xiàn)在用數(shù)學(xué)歸納法來證明以上的猜想.

(1)當(dāng)n=1時，顯然結(jié)論成立.

(2)假設(shè)當(dāng)n=k時結(jié)論成立，即ak=2k+1，前k項(xiàng)和為Sk=3+5+…+(2k+1)=k(k+2).

由數(shù)列Sk滿足Sk=2kak+1-3k2-4k.

則k(k+2)=2kak+1-3k2-4k，整理可得ak+1=2k+3.

即ak+1=2(k+1)+1，所以當(dāng)n=k+1時成立.

由(1)和(2)，對任意的n∈N*，有an=2n+1.

故數(shù)列{an}通項(xiàng)為an=2n+1.

評注該試題的第二個問題，巧用問題(1)的結(jié)果，先猜測出數(shù)列的通項(xiàng)相公式，然后再證明猜想，充分體現(xiàn)了“先猜后證”的思維模式，在數(shù)學(xué)史上很多數(shù)學(xué)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)，往往就是建立在已有的知識基礎(chǔ)上，利用先猜想后證明的方式進(jìn)行的.

2.證明不等式中的應(yīng)用

例2(2019年浙江高考數(shù)學(xué)卷第20題)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a3=4，a4=S3，數(shù)列{bn}滿足：對每個n∈N*，Sn+bn，Sn+1+bn，Sn+2+bn成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；

解析問題(1)，解答過程略.利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的知識點(diǎn)及上述的關(guān)系式可得，數(shù)列an=2n-2，bn=n2+n，其中n∈N*.

顯然這個不等式是關(guān)于正整數(shù)n的命題，考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明.

(1)當(dāng)n=1時，有c1=0<2，顯然不等式成立.

即當(dāng)n=k+1時，不等式成立.

評注該試題從直接法不容易解決，又注意到需要求證的命題為一個關(guān)于正整數(shù)n的命題，自然想到使用數(shù)學(xué)歸納法.

例3(2014安徽高考數(shù)學(xué)理科卷第21題)設(shè)c>0，整數(shù)p>1，p∈N*.(1)證明：當(dāng)x>-1且x≠0時，有(1+x)p>1+px；(2)略.

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是目前應(yīng)用最廣泛的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，是一種復(fù)雜的非線性映射系統(tǒng)，能以任意精度逼近，削弱坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中的系統(tǒng)誤差與異常誤差等因素的影響。但該方法具有容易陷入局部極小值、外推能力差等缺點(diǎn)，因此，還需要研究改進(jìn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)算法，進(jìn)一步提高該方法在坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中的精度與可靠性。

證明問題(1)是關(guān)于正整數(shù)p的命題，考慮使用數(shù)學(xué)歸納法.①當(dāng)p=2時，有(1+x)2=1+2x+x2.當(dāng)x>-1且x≠0，有x2>0，故(1+x)2>1+2x成立.②假設(shè)當(dāng)p=k(k≥2)時，命題(1+x)k>1+kx成立.由假設(shè)可得(1+x)k+1=(1+x)k(1+x)>(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2.因?yàn)閗x2>0，所以(1+x)k+1>1+(k+1)x.故當(dāng)p=k+1時命題成立.

由①和②知，對于任意的整數(shù)p>1，p∈N*，當(dāng)x>-1且x≠0時，有不等式(1+x)p>1+px成立.

評注該試題的解法除了數(shù)學(xué)歸納法之外還有其它方法，如二項(xiàng)式展開、伯努利不等式.解決該問題的關(guān)鍵在于巧用“(1+x)k+1”的變形，然后根據(jù)假設(shè)的不等式進(jìn)行放縮.

3.證明整除性中的應(yīng)用

例4證明：當(dāng)n∈N*時，11n+2+122n+1能夠被133整除.

證明這是一個關(guān)于正整數(shù)n的整除性命題問題，考慮使用數(shù)學(xué)歸納法.

(1)當(dāng)n=1時，11n+2+122n+1=113+123=(11+12)(112-11·12+122)=23×133.則當(dāng)n=1時，能被133整除.

(2)假設(shè)當(dāng)n=k時，11k+2+122k+1能夠被133整除.

當(dāng)n=k+1時，有11n+2+122n+1=11k+3+122k+3，采用“配湊法”變形可得11k+3+122k+3=133×122k+1+11×(11k+2+122k+1).

其中133×122k+1能夠被133整除.

由假設(shè)可知11k+2+122k+1能夠被133整除，故11×(11k+2+122k+1)被133整除.

因此當(dāng)n=k+1時，11n+2+122n+1=11k+3+122k+3能被133整除.

由(1)和(2)可知，對任意的n∈N*，11n+2+122n+1能被133整除.

評注解決該整除性命題的關(guān)鍵在于巧妙運(yùn)用“配湊法”，將“11k+3+122k+3”與“11k+2+122k+1”建立聯(lián)系，再由假設(shè)可以證當(dāng)n=k+1時命題成立.

4.證明恒等式中的應(yīng)用

故當(dāng)n=k+1時，等式成立.

評注該試題的思路可以歸結(jié)為：觀察→試算→猜想→驗(yàn)證(證明).這一步的推理過程是需要進(jìn)行嚴(yán)密的邏輯推理的.經(jīng)過了觀察、試算、猜想，并不能夠說明猜想的結(jié)果是正確的，這時需要用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行驗(yàn)證.

三、建議

在最近的幾次課程改革中，數(shù)學(xué)歸納法一直不被重視，以前高考要考，老師要教，現(xiàn)在的高考數(shù)學(xué)對數(shù)學(xué)歸納法已經(jīng)不作要求，很多高中老師已不講，甚至不提數(shù)學(xué)歸納法，顯然是對數(shù)學(xué)歸納法的重要性認(rèn)識還不夠，也是對人類智慧結(jié)晶的損失.數(shù)學(xué)歸納法是一種重要的數(shù)學(xué)證明方法，建議將數(shù)學(xué)歸納法的內(nèi)容納入高中數(shù)學(xué)必修內(nèi)容.原因如下，其一，數(shù)學(xué)家龐加萊和華羅庚先生都十分地推崇數(shù)學(xué)歸納法；其二，數(shù)學(xué)歸納法作為人類智慧的結(jié)晶，是在歷經(jīng)了千年的發(fā)展中逐漸成熟和豐富的，是人類從有限證明向無限證明的飛躍，是人類認(rèn)識無限的光輝范例；其三，數(shù)學(xué)歸納法是發(fā)展的，具有強(qiáng)勁的生長力，通過數(shù)學(xué)歸納法可以派生出很多其它類型的歸納法，因此可以認(rèn)為數(shù)學(xué)歸納法是其它歸納法的“母本”；其四，高等數(shù)學(xué)中常常用數(shù)學(xué)歸納法來證明關(guān)于自然數(shù)的無限命題，以《高等代數(shù)(第四版)》(北大數(shù)學(xué)系前代數(shù)小組編)為例，使用數(shù)學(xué)歸納法證明定理、例題(不含課后習(xí)題)高達(dá)18次，足見數(shù)學(xué)歸納法在高等數(shù)學(xué)中的重要地位；其五，發(fā)達(dá)國家對數(shù)學(xué)歸納法的要求較高，且普遍高于我國的要求，如日本、美國等.其六，數(shù)學(xué)歸納法蘊(yùn)含豐富的文化內(nèi)涵，是文化育人的好素材.最后，數(shù)學(xué)歸納法在高中階段是可教的、可學(xué)的，有很多優(yōu)秀的教學(xué)案例可以幫助教師的教和學(xué)生的學(xué)習(xí).因此，建議在下一次修訂高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)時，將數(shù)學(xué)歸納法納入必修內(nèi)容.