非對(duì)稱二次隨機(jī)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

郭換芳， 劉 迪， 郭 蓉

（1.山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，太原 030006； 2.太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，太原 030006）

雅可比橢圓函數(shù)由于其在非保守系統(tǒng)的理論解方面具有較高的精度和一定的可行性吸引了越來(lái)越多的注意［1］. Barkham與Soudack［2-3］首先使用雅可比橢圓函數(shù)來(lái)分析確定性Duffing系統(tǒng)的近似解. 之后，一些學(xué)者發(fā)展了這類(lèi)系統(tǒng)近似解的各種橢圓方法，如：橢圓諧波平衡法［4］、橢圓Krylov-Bogoliubov［5］和橢圓Lindstedt-Poincare法［6］等. Coppola［7］提出了相應(yīng)的基于橢圓函數(shù)的確定性平均法，用該方法研究確定性系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為具有更高的精度. 近年來(lái)，該方法得到了進(jìn)一步的發(fā)展，Okaba與Rakaric［8］改進(jìn)了基于橢圓函數(shù)的確定性平均法，將解表示為雅可比橢圓函數(shù)，用來(lái)研究具有各種彈簧特性系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為.

然而，在實(shí)際工程和自然界中不可避免地存在各種各樣的隨機(jī)擾動(dòng)，如湍流、風(fēng)浪、強(qiáng)地震激勵(lì)作用等.隨機(jī)擾動(dòng)的存在可能會(huì)破壞系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為產(chǎn)生不可預(yù)測(cè)的影響. 因此，研究隨機(jī)擾動(dòng)下系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為具有重要的科學(xué)意義和廣闊的工程應(yīng)用前景. 對(duì)于Duffing系統(tǒng)隨機(jī)情形，Tien等［14］提出了基于橢圓余弦函數(shù)的隨機(jī)平均法，鄭麗文等［15-16］改進(jìn)了雅可比橢圓函數(shù)的隨機(jī)平均法，并將其應(yīng)用于高斯白噪聲與有界噪聲激勵(lì)下的隨機(jī)響應(yīng)預(yù)測(cè).

目前，對(duì)于二次非線性系統(tǒng)隨機(jī)情形下的分析較少. 本文用基于改進(jìn)的雅可比橢圓函數(shù)的隨機(jī)平均法研究高斯色噪聲激勵(lì)下二次非對(duì)稱隨機(jī)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，建立與求解相應(yīng)的FPK方程從而得到關(guān)于幅值的穩(wěn)態(tài)概率密度. 通過(guò)具體實(shí)例，利用Monte Carlo 數(shù)值模擬驗(yàn)證方法的有效性，進(jìn)一步分析了參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響，給出相關(guān)結(jié)論.

1 二次非對(duì)稱隨機(jī)系統(tǒng)

其中：αi和Di分別為色噪聲的帶寬和激勵(lì)強(qiáng)度；ω 和τ 分別為頻率和相關(guān)時(shí)間.

2 基于雅可比橢圓函數(shù)的隨機(jī)平均方法

忽略阻尼項(xiàng)和隨機(jī)項(xiàng)，系統(tǒng)（1）式退化為相應(yīng)的保守系統(tǒng)

系統(tǒng)的總能量為

圖1 不同線性剛度系數(shù)下系統(tǒng)的勢(shì)函數(shù)，c2=1.0Fig.1 The potential functions of the system under different linear stiffness coefficients，c2=1.0

將（5）式關(guān)于時(shí)間t 求導(dǎo)并代入（3）式中，有

合并同類(lèi)項(xiàng)，得到

解上述方程，得到

比較方程（9）式和（5）式中x?，下列關(guān)系式成立

其中：B′=?B ?A k′=?k ?A .

對(duì)（5）式中x?關(guān)于時(shí)間t 求導(dǎo)，有

將（11）式代入（1）式并應(yīng)用（6）式，得到另一個(gè)關(guān)系式

令

將

（10）式和（12）式代入（13）式，結(jié)合（10）式，我們有

其中

將（14）式、（17）式代入（16）式，對(duì)時(shí)間進(jìn)行平均，表達(dá)式可轉(zhuǎn)化為周期式，計(jì)算出平均漂移系數(shù)和擴(kuò)散系數(shù)，對(duì)應(yīng)于平均伊藤隨機(jī)微分方程（16）式關(guān)于幅值A(chǔ) 的FPK方程為

式（18）中令?p ?t=0，求解FPK方程，得到幅值的平穩(wěn)概率密度函數(shù)

其中：C 為歸一化常數(shù). 根據(jù)（4）式可以進(jìn)一步得到關(guān)于速度和位移的聯(lián)合穩(wěn)態(tài)概率密度及各自的邊緣概率密度（da指對(duì)幅值A(chǔ)積分，避免與積分上限A表示重復(fù)，用a表示積分變量，重復(fù)并不影響結(jié)果）.

3 數(shù)值結(jié)果及分析

將變換（5）式代入（20）式中，對(duì)應(yīng)于（15）式得到

利用（17）式并結(jié)合橢圓函數(shù)的傅里葉展開(kāi)可以得到相應(yīng)的平均漂移系數(shù)和擴(kuò)散系數(shù)

其中：mi(i=0,…,4)分別為E和K的函數(shù)，我們很容易可以得到關(guān)于幅值的穩(wěn)態(tài)概率密度.

圖2～4給出了幅值的穩(wěn)態(tài)概率密度曲線，據(jù)此來(lái)分析系統(tǒng)參數(shù)和噪聲強(qiáng)度的變化對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響，其中線條（FS）表示理論結(jié)果，符號(hào)（MC）表示原系統(tǒng)的Monte Carlo數(shù)值模擬結(jié)果. 從圖中可以看出近似解析解與原系統(tǒng)Monte Carlo數(shù)值模擬結(jié)果相吻合，表明基于雅可比橢圓函數(shù)的隨機(jī)平均法可以有效地求解高斯色噪聲激勵(lì)下二次非對(duì)稱隨機(jī)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng).

在實(shí)際中噪聲強(qiáng)度對(duì)系統(tǒng)的影響是不可忽略的. 圖2 給出了不同噪聲強(qiáng)度下幅值的穩(wěn)態(tài)概率密度曲線. 觀察可以看出，當(dāng)增大噪聲強(qiáng)度D 時(shí)幅值A(chǔ) 的穩(wěn)態(tài)概率密度曲線的峰值逐漸減小，并且峰值的位置逐漸右移，說(shuō)明增大噪聲強(qiáng)度能夠增強(qiáng)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng).

圖3給出了噪聲相關(guān)時(shí)間τ對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)行為的影響. 觀察可以看出，增大相關(guān)時(shí)間（即減小噪聲帶寬α）時(shí)，幅值A(chǔ) 的峰值逐漸增大，峰值的位置逐漸左移，說(shuō)明增大相關(guān)時(shí)間τ，系統(tǒng)的響應(yīng)逐漸減弱.

圖2 不同噪聲強(qiáng)度下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率密度，c1=6.0,c2=1.0,τ=1.0,ε=0.01Fig.2 The steady-state probability densities of the system under different noise intensities at c1=6.0,c2=1.0,τ=1.0,ε=0.01

圖3 不同相關(guān)時(shí)間下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率密度，D=0.2,c1=6.0,c2=1.0,ε=0.01Fig.3 The steady-state probability densities of the system at different correlation times，D=0.2,c1=6.0,c2=1.0,ε=0.01

最后圖4給出了不同線性剛度下對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率密度的影響. 可以看出，在不同線性剛度下系統(tǒng)表現(xiàn)出不同的動(dòng)力學(xué)行為，當(dāng)增大c1時(shí)，幅值A(chǔ) 的峰值逐漸增大，峰值的位置逐漸左移，這就表明，線性剛度的增大會(huì)減弱系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)行為.

圖4 不同線性剛度下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率密度，D=0.2,c2=1.0,τ=1.0,ε=0.01Fig.4 The steady-state probability densities of the system with different linear stiffness，D=0.2,c2=1.0,τ=1.0,ε=0.01

4 結(jié)論

本文探討了高斯色噪聲激勵(lì)下二次非對(duì)稱隨機(jī)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng). 引入雅可比橢圓函數(shù)變換，應(yīng)用隨機(jī)平均法，得到幅值的伊藤隨機(jī)微分方程，并建立與求解相對(duì)應(yīng)的FPK方程，導(dǎo)出幅值的穩(wěn)態(tài)概率密度的解析解. 通過(guò)一個(gè)典型的例子，將理論結(jié)果和Monte Carlo 數(shù)值模擬結(jié)果比較，驗(yàn)證了解析解的有效性. 結(jié)果表明，不同的噪聲強(qiáng)度、相關(guān)時(shí)間和線性剛度對(duì)系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)有一定的影響，具體表現(xiàn)為噪聲強(qiáng)度的增大會(huì)增強(qiáng)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，而相關(guān)時(shí)間和線性剛度的增大則會(huì)減弱系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)行為.