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    一種線(xiàn)性過(guò)程方差變點(diǎn)的比率檢驗(yàn)

    2020-04-01 08:37:56秦瑞兵
    河南科學(xué) 2020年1期
    關(guān)鍵詞:變點(diǎn)方差線(xiàn)性

    秦瑞兵, 游 悅

    (山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,太原 030006)

    方差問(wèn)題通常在統(tǒng)計(jì)應(yīng)用中被認(rèn)作是風(fēng)險(xiǎn)問(wèn)題,如果能夠更加精確地估計(jì)變點(diǎn)的存在,就能及時(shí)地規(guī)避風(fēng)險(xiǎn),減少損失,這也是眾多學(xué)者研究方差問(wèn)題的意義所在. 最早有關(guān)方差變點(diǎn)的統(tǒng)計(jì)學(xué)文獻(xiàn)就是Hsu等[1],他們提出了一個(gè)方差公式作為股票收益模型中Pareto分布的替代. Inclán等[2]、Gombay等[3]考慮了獨(dú)立序列中的方差偏移問(wèn)題. 在處理自回歸的觀察值序列時(shí),Wichern等[4]選用一階自回歸模型來(lái)處理未知時(shí)刻的突變方差問(wèn)題,與之不同的是,Abraham等[5]則使用了貝葉斯框架來(lái)處理這一問(wèn)題. Lee等[6]提出了CUSUM平方檢驗(yàn)來(lái)檢驗(yàn)線(xiàn)性過(guò)程中方差變化. 趙文芝等[7]和袁芳等[8]采用CUSUM型統(tǒng)計(jì)量分別研究了線(xiàn)性過(guò)程和獨(dú)立序列中的方差變點(diǎn)估計(jì)問(wèn)題. Zhao等[9]還就線(xiàn)性過(guò)程中的方差變點(diǎn)問(wèn)題,證明了SCUSUM型估計(jì)方法具有一致性. Wang等[10]研究了線(xiàn)性過(guò)程中長(zhǎng)記憶誤差的方差變點(diǎn)檢測(cè)問(wèn)題. Bekers等[11]研究了線(xiàn)性過(guò)程中協(xié)方差結(jié)構(gòu)的變化問(wèn)題.

    Kim[12-13]使用比率檢驗(yàn)來(lái)檢測(cè)線(xiàn)性時(shí)間序列中的持久性變化問(wèn)題. Horváth等[14]使用比率檢驗(yàn)來(lái)檢測(cè)均值的變化,并在弱不變?cè)硐峦茖?dǎo)出觀察值之和的極限分布. Zhao等[15]采用比率檢測(cè)來(lái)檢驗(yàn)線(xiàn)性過(guò)程中的方差變點(diǎn)問(wèn)題,在原假設(shè)下推導(dǎo)出其漸近分布,并對(duì)變點(diǎn)進(jìn)行了估計(jì). 但是Zhao等[15]的方法還存在一些問(wèn)題:在方差由小變大的情況下,當(dāng)變點(diǎn)時(shí)刻在0.5之后,存在勢(shì)過(guò)低的現(xiàn)象,無(wú)法進(jìn)行檢測(cè);在方差由大變小的情況下,當(dāng)變點(diǎn)時(shí)刻在0.5之前,同樣存在勢(shì)過(guò)低的現(xiàn)象,無(wú)法進(jìn)行檢測(cè),所以有必要對(duì)其統(tǒng)計(jì)量做一個(gè)修正. 在本文中,我們對(duì)其提到的統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行了改進(jìn),使改進(jìn)后的統(tǒng)計(jì)量的勢(shì)得到了提高.

    1 模型和假設(shè)

    假定觀察值序列為Y1,Y2,…,Yn,考慮如下模型:

    其中:μ,σ1>0 和σ2>0 都是未知的有限常數(shù);k0是未知的變點(diǎn);Xk是一個(gè)MA(∞)過(guò)程如下:

    考慮如下假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題:

    這里的σ >0 為一未知的有限常數(shù). 進(jìn)一步對(duì)模型做出如下假設(shè):

    2 主要結(jié)論

    現(xiàn)構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量Mn如下所示

    定理1 若原假設(shè)H0及假設(shè)①~③成立,當(dāng)n →∞時(shí),有

    并且

    證明 為了不失一般性,我們假設(shè)σ1=σ2=σ=1,令

    其中:ν=EX12,由Philips等[16]一文中的定理3.8和定理3.4可知,

    這里:→a.s.代表以概率1收斂(也稱(chēng)幾乎處處收斂). 又有

    類(lèi)似地,可以得到

    由上述公式(9)~(11)可以得到,對(duì)于所有的0 <δ <1/2,都有

    由連續(xù)映射定理就可以得到,當(dāng)n →∞時(shí),

    定理1得證.

    證明 令τ0為所觀測(cè)時(shí)間序列的真實(shí)變點(diǎn),由Philips等[16]一文中的定理3.1,我們可以得到

    所以當(dāng)n →∞時(shí),

    那么

    所以當(dāng)n →∞時(shí),

    那么

    定理2得證.

    接下來(lái),在備擇假設(shè)下,給出變點(diǎn)位置的估計(jì):

    定理3 若備擇假設(shè)H1及假設(shè)①~③成立,當(dāng)n →∞時(shí),有這里:代表依概率收斂.

    這里將(12)式等價(jià)的表示成:存在C >0,N 使得當(dāng)n >N 時(shí),下列不等式成立,

    當(dāng)n 充分大時(shí),

    所以

    綜上可得,對(duì)于任意的0 <λ <1,我們?nèi)∫粋€(gè)較大的C 和N,當(dāng)n >N 時(shí),(13)式成立. 定理3得證.

    3 模擬和實(shí)例應(yīng)用

    3.1 模擬

    在這一節(jié)中,通過(guò)蒙特卡羅模擬對(duì)本文的統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行檢驗(yàn),在本文中設(shè)置δ=0.2,樣本量分別為200,300,500,試驗(yàn)重復(fù)次數(shù)為2000次. 模型如下所示:

    該檢驗(yàn)的結(jié)果在表1中給出,括號(hào)內(nèi)的值為進(jìn)行對(duì)比的Zhao等[15]一文的模擬結(jié)果. 由表1可以看出,隨著樣本量的增加,經(jīng)驗(yàn)水平的扭曲程度逐漸減小,勢(shì)逐漸增大. 勢(shì)在τ0取0.5的時(shí)候達(dá)到最大,在τ0取0.75的時(shí)候相應(yīng)最小. 而Zhao等[15]在備擇假設(shè)為方差由小變大的情形下,當(dāng)τ0=0.75 時(shí),勢(shì)的取值極小,該方法根本無(wú)法檢測(cè)是否存在變點(diǎn).

    表1 Mn 的經(jīng)驗(yàn)水平和勢(shì)Tab.1 Empirical level and potential of Mn

    為了得到變點(diǎn)τ?的準(zhǔn)確估計(jì),我們基于模型(14)式在備擇假設(shè)下對(duì)變點(diǎn)τ?的均值和標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行了估計(jì),試驗(yàn)重復(fù)次數(shù)設(shè)置為2000,其結(jié)果由表2所示.

    表2 變點(diǎn)τ 的估計(jì)結(jié)果Tab.2 Estimated results of change point τ

    由表2可知,變點(diǎn)的估計(jì)值τ?的所有均值在任何情況下都小于真實(shí)的變點(diǎn)τ?0,此外還可以知道變點(diǎn)的估計(jì)值τ?的標(biāo)準(zhǔn)差都較小,這也說(shuō)明了估計(jì)的準(zhǔn)確性.

    3.2 實(shí)例應(yīng)用

    圖1 太陽(yáng)黑子數(shù)年平均數(shù)據(jù)Fig.1 Annual average data of sunspots

    圖2 函數(shù)和的圖像Fig.2 Graphs of functions and

    4 結(jié)論

    本文用比率檢驗(yàn)來(lái)檢測(cè)線(xiàn)性過(guò)程中的方差變點(diǎn)問(wèn)題,對(duì)Zhao 等[15]文章中存在的勢(shì)過(guò)低問(wèn)題進(jìn)行了修正,提出了一種新的統(tǒng)計(jì)量,提高了檢驗(yàn)的勢(shì),并得到了其在原假設(shè)下漸近分布及備擇假設(shè)下的漸近性質(zhì).本文還提出一種新的變點(diǎn)估計(jì)方法,建立了該變點(diǎn)估計(jì)方法的收斂性和收斂速度. 模擬結(jié)果表明了該統(tǒng)計(jì)量在樣本量大小適中時(shí)具有比原統(tǒng)計(jì)量具有更好的經(jīng)驗(yàn)水平和更高的勢(shì),本文中提到的估計(jì)方法也具有一致性. 實(shí)例分析也驗(yàn)證了這一結(jié)論.

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