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    基于退火加速的差分進(jìn)化算法改進(jìn)及應(yīng)用

    2020-04-01 08:37:30陳怡君劉軍民
    河南科學(xué) 2020年1期
    關(guān)鍵詞:全局差分局部

    陳怡君, 劉軍民

    (1.西安航空學(xué)院,西安 710077; 2.西安交通大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,西安 710049)

    在理論研究和實際應(yīng)用過程中經(jīng)常會遇到大量的復(fù)雜優(yōu)化問題,對于那些不可微、非線性函數(shù)的優(yōu)化尤為困難[1-2]. 傳統(tǒng)的優(yōu)化方法大多需要計算目標(biāo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值以及其他一些輔助信息來確定搜索方向,且對函數(shù)的凸性、線性等有諸多限制,求解過程易于陷入局部最優(yōu),而工程實際中目標(biāo)函數(shù)不可微或不能用函數(shù)表示的現(xiàn)象經(jīng)常存在,因此傳統(tǒng)優(yōu)化技術(shù)雖然具有較強的局部搜索能力,但對于復(fù)雜函數(shù)的優(yōu)化卻不能得到滿意的結(jié)果[3-4].

    20世紀(jì)80年代以來發(fā)展的智能優(yōu)化算法,如遺傳算法、模擬退火算法和粒子群優(yōu)化算法等,都有很好的性能,這些智能優(yōu)化算法具有隱并行性、無須導(dǎo)數(shù)信息和全局優(yōu)化等,具有很好的求解復(fù)雜優(yōu)化問題的潛力[5-7].在眾多的智能優(yōu)化算法中,差分進(jìn)化算法表現(xiàn)突出,顯示了極大的優(yōu)勢,它被證明是1996年IEEE進(jìn)化算法競賽中速度最快的進(jìn)化算法[8],但是和其他智能優(yōu)化算法一樣,DE算法也存在局部搜索能力不強的缺點[9-11]. 針對這一問題,已有一些改進(jìn)策略,如與蟻群搜索算法的混合[12]和遺傳算法混合[13-15],還有與序列二次規(guī)劃算法相結(jié)合等[16-17]. 雖然這些算法對提高DE算法的性能有很大改進(jìn),但是這些改進(jìn)策略有的利用了目標(biāo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)信息,有的只是針對一類特殊問題而做的改進(jìn),因此改變了DE算法原有的通用性及無須導(dǎo)數(shù)信息等良好性能[18-19].

    針對上述問題,本文在基本差分進(jìn)化算法的基礎(chǔ)上,對每一個個體以退火概率,用具有較強局部搜索能力的Hooke-Jeeves算法加速,以增強DE算法的局部開發(fā)能力,從而顯著加快了收斂速度.

    1 Hooke-Jeeves算法描述

    1961年,Hooke和Jeeves率先提出了Hooke-Jeeves算法(又稱為模式搜索法或步長加速法)[20],該算法的基本思想是利用函數(shù)值去構(gòu)造局部主軸方向,從而盡快找到極小點. 此外,它還具有明顯的幾何意義,它相當(dāng)于從山嶺某處出發(fā),尋找具有較小函數(shù)值的“山谷”,力圖使迭代產(chǎn)生的序列沿“山谷”走向逼近極小點.Hooke-Jeeves 算法的計算步驟主要由兩大部分組成:一是圍繞基點的局部探測,簡稱為探測移動;二是沿有利的方向向前移動,簡稱為模式移動,具體操作如下.

    1.1 探測移動

    1.2 模式移動

    模式移動是指沿兩個相鄰基點連線方向進(jìn)行. 在第k 步可行解xk探測移動后得到新的基點xk+1,則作模式移動:

    其中:β為加速因子,β >0 .

    步長加速法是一種直接尋優(yōu)的確定性方法,形象直觀,易于理解和掌握,對目標(biāo)函數(shù)要求甚少,適用范圍廣泛.

    2 退火加速策略

    在差分進(jìn)化算法的進(jìn)化過程中,常常會出現(xiàn)算法早熟收斂現(xiàn)象,這是因為隨著進(jìn)化的進(jìn)行,所有個體均向最優(yōu)個體靠攏,群體的多樣性會逐漸消失. 如果最優(yōu)個體是一全局最優(yōu)點,則所有個體均收斂到全局最優(yōu)點,但如果最優(yōu)個體為一局部最優(yōu)點,則所有個體均收斂于局部最優(yōu)點,就會導(dǎo)致早熟收斂. 出現(xiàn)所有個體向最優(yōu)個體靠攏的原因是差分進(jìn)化算法的“貪婪”選擇機制,這樣雖然會加速收斂速度,但同時也會以較大的概率丟棄在全局最優(yōu)點附近卻適應(yīng)度暫時較差的個體.

    鑒于上述分析,在進(jìn)化的初期應(yīng)對每個個體以較小的概率加速,以保持其多樣性不喪失,保證全局收斂;在后期應(yīng)該增加每個個體的局部搜索能力,進(jìn)而提高精度. 所以,對每個個體用以下概率p=t/Tmax(t和Tmax分別是當(dāng)前的進(jìn)化代數(shù)和設(shè)定的最大進(jìn)化代數(shù))來判斷是否利用模式搜索加速. 當(dāng)隨機數(shù)小于p 時對個體加速,大于時則不加速. 從p 的表達(dá)式可知其在初期值較小,后期值較大,這有點類似于模擬退火概率,符合上述分析的要求,兼顧全局搜索和局部搜索的平衡.

    3 算法的描述

    1)初始化參數(shù):種群規(guī)模NP;縮放因子F ;變異因子CR;空間維數(shù)D;加速因子β ;進(jìn)化代數(shù)t=0 .(這里的初始化參數(shù)均為標(biāo)量).

    3)個體評價:計算每個個體的適應(yīng)度值.

    4)變異操作:按下式計算

    5)交叉操作:按下式計算

    ①給出計算精度ε >0,初始向量組:e1,e2,…,eD(通常取為各坐標(biāo)軸上的單位向量). 初始步長d1=d2=d3=…=dD=d >0,加速因子

    ⑤如果d ≤ε,則計算結(jié)束,取x*≈xk;否則,令d=d/2,y1=xk,xk+1=xk,k=k+1,再令j=1,返回②.

    8)終止檢驗:如果達(dá)到最大進(jìn)化代數(shù)或滿足誤差要求,則輸出最優(yōu)值;否則轉(zhuǎn)3).

    4 數(shù)值實驗及結(jié)果分析

    下面通過幾個典型函數(shù)的數(shù)值實驗來比較本節(jié)算法的優(yōu)劣. 實驗要測試的函數(shù)如下.1)Sphere Model

    2)Rosenbrok function

    3)Rastrigin Function

    4)Grienwank Function

    DE算法有四個主要參數(shù):種群規(guī)模NP=25;縮放因子F=0.5;變異因子CR=0.1;空間維數(shù)D=10 . 在實驗中,每個函數(shù)的特性和其他參數(shù)如表1所示.

    表1 各函數(shù)的參數(shù)設(shè)置及特征說明Tab.1 Parameter setting and characteristic description of each function

    在測試中,用DE和改進(jìn)的差分進(jìn)化算法(簡記為MDE)分別隨機連續(xù)運行20次,其結(jié)果見表2.

    表2 計算結(jié)果比較Tab.2 Comparison of calculation results

    圖1~4是兩種算法的優(yōu)化曲線比較圖. 大圖為測試函數(shù)的平均最優(yōu)值在整個迭代過程中的進(jìn)化情況;小圖為后期進(jìn)化情況優(yōu)化曲線的放大圖. 圖中的虛線(藍(lán)色)為基本差分進(jìn)化算法,實線(紅色)為本文提出的算法.

    圖1 函數(shù)f1 的尋優(yōu)曲線Fig.1 Optimization curves of function f1

    圖2 函數(shù)f2 的尋優(yōu)曲線Fig.2 Optimization curves of function f2

    圖3 函數(shù)f3 的尋優(yōu)曲線Fig.3 Optimization curves of function f3

    圖4 函數(shù)f4 的尋優(yōu)曲線Fig.4 Optimization curves of function f4

    由表2和圖1~4可知,基于退火加速的差分進(jìn)化算法的收斂速度比基本的差分進(jìn)化算法快,尤其是后期由于采用退火加速策略,后期的收斂速度明顯加快了. 此外由于較好地保持了多樣性,全局搜索能力也得到了加強,精度顯著提高.

    5 結(jié)論

    DE算法在求解單目標(biāo)及多目標(biāo)優(yōu)化、約束優(yōu)化和動態(tài)優(yōu)化等復(fù)雜優(yōu)化問題領(lǐng)域有著極為廣泛的研究和應(yīng)用價值. 本文針對DE算法存在的收斂早熟及收斂速度慢等問題,在傳統(tǒng)DE算法的基礎(chǔ)上,對每一個個體均具有較強局部搜索能力的Hooke-Jeeves算法加速,以退火概率來增強DE算法的局部開發(fā)能力,提出了基于退火加速的差分進(jìn)化算法. 數(shù)值實驗結(jié)果表明,與傳統(tǒng)DE算法相比,該算法收斂速度快、精度高,在保持較好多樣性的同時顯著加強了全局搜索能力,是一種有效的全局優(yōu)化算法.

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