利用時頻分析頻率重心的跳頻周期估計方法

孫慧賢，劉廣凱，張玉華，全厚德，唐友喜

(1.陸軍工程大學電子與光學工程系，河北 石家莊 050003；2.電子科技大學通信抗干擾國家級重點實驗室，四川 成都 611731)

0 引言

跳頻通信由于其優(yōu)良的低截獲概率和抗干擾性，在軍事通信對抗領域得到廣泛應用。其中，跳頻信號的參數(shù)估計，尤其是跳周期估計已成為研究的重點[1]。

跳頻信號屬于典型的非平穩(wěn)信號，國內(nèi)外學者大多采用時頻分析方法得到清晰的時頻圖后，再估計其跳頻參數(shù)。時頻分析方法主要包括以短時傅里葉變換(Short Time Fourier Transform, STFT)、Gabor變換、小波變換和S變換等為代表的線性變換和以魏格納威爾分布(Wigner-Ville Distribution, WVD)、偽WVD(Pseudo Wigner-Ville Distribution, PWVD)、平滑偽WVD(Smoothed Pseudo Wigner-Ville Distribution, SPWVD)及以Cohen類為核函數(shù)的Cohen類非線性變換，但兩類分析方法存在聚集性和交叉項的矛盾。S.Barbarossa針對單一跳頻信號，應用WVD時頻分析方法得到時頻圖，以該窗內(nèi)時頻能量最大值處的頻率作為該窗載頻，并給出了跳頻信號的跳周期、跳頻率和跳時的估計方法，在頻點較少時有很好的估計性能[2]。在此研究基礎上，國內(nèi)外眾多學者為減弱WVD分布交叉項對信號參數(shù)估計的影響，采用PWVD、SPWVD和Cohen類等通過在時、頻域平滑、加窗抑制非線性交叉項[3-7]?；诰€性變換的時頻分析方法能夠完全消除交叉項的影響，文獻[8—10]采用STFT和短時哈特萊變換(Short Time Hartley Transform, STHT)方法，但存在聚集性不高的問題。對于聚集性和交叉項的矛盾，部分學者采用組合時頻分析[11-12]和重排時頻分析[1,13]方法達到二者綜合效果，但同時引入了計算量大的問題。在得到跳頻信號時頻圖的基礎上，大多采用該窗內(nèi)的時頻能量最大值所在頻率作為該窗載頻，對該載頻序列進行快速傅里葉(Fast Fourier Transform, FFT)變換，得到跳周期估計值[3,9,12,16]；同時文獻[1]指出針對慢跳頻系統(tǒng)，以同一跳內(nèi)不同窗的頻率重心表征該窗的載波頻率，平均其重心差值，得到跳周期的估計值。文獻[7]通過1組帶通濾波器將跳頻信號的各個頻率分量取出，分別計算每個信號分量的WVD，并將各WVD累加求和，得到新的時頻分布和參數(shù)估值，其關鍵在于如何確定帶通濾波器數(shù)并設計匹配各分量的帶通濾波器。文獻[15]針對接收到的多個未知任何先驗參數(shù)的跳頻信號，提出一種先分離各個信號再分別進行時頻分析來估計跳頻參數(shù)的方法。首先采用特征矩陣聯(lián)合近似最優(yōu)(JADE)算法分離跳頻信號，再利用多窗口重疊的SPWVD來估計出跳頻信號的跳周期等參數(shù)。

以上的時頻分析針對的跳頻信號模型都是理想的矩形跳頻信號模型，但實際跳頻信號的射頻頻譜不可避免的會受到基帶信號影響。對于經(jīng)升余弦濾波的跳頻信號的跳周期估計，采用基于時頻分析的能量最大值會遇到估計性能顯著下降的問題[16]。文獻[17]給出了包括基帶信號在內(nèi)的跳頻信號模型，但并未深入分析基帶信號頻譜對跳頻信號參數(shù)估計的影響。

針對傳統(tǒng)方法對經(jīng)過升余弦濾波后的跳頻信號周期進行估計出現(xiàn)的性能下降問題，提出了利用時頻分析頻率重心的跳頻周期估計方法，通過對比前后窗的頻率重心差值與跳頻率間隔，確定一跳內(nèi)包含的時頻窗數(shù)目；統(tǒng)計平均窗數(shù)目與每個窗時間長度的乘積，得到跳周期估計值。

1 跳頻信號的時頻分析

1.1 跳頻信號模型

跳頻信號是載波隨機跳變的信號，其數(shù)學模型為：

(1)

式(1)中，S為跳頻信號功率，TH為跳周期，Tr為跳周期的頻率轉(zhuǎn)換時間，T0為起跳時刻，fk為跳頻瞬時頻率，θ為跳頻信號相位，gl(·)為經(jīng)基帶成型濾波之后的等效低通信號。

由式(1)可知，跳頻信號的參數(shù)集為跳周期、頻率轉(zhuǎn)換時間、起跳時刻和瞬時頻率，對跳頻信號的參數(shù)估計，即是估計參數(shù)集{TH,Tr,fk,T0}，但TH的正確估計是其他參數(shù)估計的前提。同時，跳頻信號的參數(shù)估計依賴于跳頻信號的時頻圖，但跳頻信號的時頻圖會不可避免的受到基帶信號的頻譜影響；因為跳頻信號的射頻頻譜，只是將基帶信號的頻譜進行了射頻搬移，其形狀完全由基帶信號的頻譜形狀決定，若不設法消除基帶信號的頻譜影響，只是以時頻分析窗能量最大值處的頻率值作為該窗的載頻值，對未經(jīng)信基帶成型濾波的理想信號尚可，但可能無法正確估計經(jīng)基帶成型濾波之后的跳頻信號。

1.2 跳頻信號的基帶頻譜

目前跳頻通信常用的基帶成型濾波器為升余弦濾波器，其時域模型為：

(2)

式(2)中，B為基帶信號帶寬，α為升余弦滾降因子。

圖1 理想基帶信號與升余弦濾波后基帶信號的時頻域?qū)Ρ菷ig.1 Comparison of the baseband signals between ideal baseband and raised cosine filtered signals

可以看出，經(jīng)過升余弦濾波后，時域波形出現(xiàn)畸變，頻譜旁瓣大幅度下降。這是因為升余弦濾波結(jié)構(gòu)通過對時域波形的加權(quán)疊加，將前后碼元關聯(lián)起來，破壞了碼元的獨立性，使時域波形出現(xiàn)畸變，并且引入了碼間串擾(Inter Symbol Interference, ISI)；以時域波形的串擾，換取減小理想矩形濾波旁瓣能量過大的問題。對于理想矩形信號，其頻譜能量集中于零頻(對射頻信號而言，集中于載頻)，所以文獻[1—16]得到的時頻圖為山峰狀(三維)或等高線狀(二維)，能夠以時頻窗內(nèi)能量最大值所在頻率表征該窗載頻；但實際跳頻信號必然會經(jīng)過基帶成型濾波，經(jīng)升余弦濾波后，基帶頻譜變得平坦，使得通帶內(nèi)能量最大值處不一定能對準零頻(對射頻信號而言，不一定能對準載頻)，所以針對升余弦濾波后的跳頻信號，文獻[3,9,12,16]中通過對時頻能量最大值所在頻率做FFT得到跳周期估計值的方法性能會大幅度下降。

1.3 時頻分析方法

跳頻信號是典型的非平穩(wěn)信號，對于跳頻信號的頻譜，應同時從時域和頻域觀察；時頻分析能夠從時間和頻率兩個方面同時觀測信號的能量密度大小，以及它們隨著時間和頻率的變化；所以時頻分析作為跳頻信號的分析工具越來越重要，下面簡單介紹常用的時頻分析方法。

1) 短時傅里葉變換

STFT的基本思想是在傳統(tǒng)傅立葉變換的框架中，把非平穩(wěn)信號看成是一系列短時平穩(wěn)信號的疊加，而短時性則通過時域上的加窗來實現(xiàn)，并通過平移參數(shù)來覆蓋整個時域。其定義為：

(3)

式(3)中，h*(·)為窗函數(shù)的共軛。STFT的含義可解釋為：在時域用窗函數(shù)h*(·)截取信號s(t)，對截取結(jié)果進行FFT，即可得到在t時刻該段信號的頻譜情況；不斷地移動窗函數(shù)h*(·)的中心位置，即可得到不同時該的頻譜值；這些頻譜值集合，即是STFT(t,f)。

2) Cohen類時頻分析

Cohen類時頻分析把眾多二次時頻分布統(tǒng)一成一種形式，可改善STFT等線性時頻分析方法的時頻聚集性，其定義為：

(4)

式(4)中，φ(ν,τ)為分布的核函數(shù)。

核函數(shù)φ(ν,τ)決定了Cohen分布可能的形式及時頻分析的性能；當φ(ν,τ)=1時，Cohen分布變成WVD分布；當φ(ν,τ)=h(ν)時，h(ν)為平滑窗函數(shù)，此時Cohen分布變成PWVD分布，即未加窗的WVD和窗函數(shù)在頻域的卷積；當φ(ν,τ)=h(ν)l(τ)時，相當于WVD在時域和頻域同時做平滑濾波，變?yōu)镾PWVD分布。

因為Cohen類時頻分析采用二次非線性變換，在改善聚集性的同時引入了交叉項干擾，如何選擇性能更優(yōu)的核函數(shù)是減弱Cohen類時頻分析交叉項影響的重點。

3) 性能對比

以信息熵為指標，可以定量分析了幾種時頻分析的聚集性和交叉項性能，如表1所示。表1中，N為分析時段內(nèi)的采樣點數(shù)，H，G為相應的窗長度。

由表可知STFT的熵值最大，其聚集性相對較差；對于WVD，PWVD和SPWVD等時頻分析方法，由于增加了時、頻域濾波等相關處理，提高了其時頻聚集性。

表1 幾種時頻分析的信息熵Tab.1 Information entropy of time-frequency analysis

同時較好的時頻分析通常會消耗更多的運算量，各種時頻分析的運算量比較，如表2所示。

表2 幾種時頻分析的運算量比較Tab.2 Comparison of the computation of several time-frequency analysis methods

表2中，N，H和P定義與表1一致。由表可知，對于相同長度的采樣點數(shù)和時頻窗長，WVD的運算量最小，但其交叉項干擾較大，當跳頻頻點和信號數(shù)量較多時，不能得到清晰的時頻圖。STFT的運算量相對較小，經(jīng)過增大時頻分析窗長度，可得到聚集性較好的時頻圖。同時對于跳頻信號，需要在一個跳周期時間內(nèi)完成信號的時頻分析和參數(shù)估計等操作，運算量是主要考慮因素，所以運算量較小的STFT方法應用較多。

2 跳周期估計算法

對于經(jīng)升余弦等基帶成型濾波的跳頻信號，其中心載頻處的時頻能量值不一定最大，故而以時頻窗內(nèi)能量最大值所在頻率可能無法表征該窗的真實載頻，提出以時頻分析的頻率重心表征該窗的載頻值；通過對比前后窗的頻率重心差值與跳頻率間隔，確定一跳內(nèi)包含的時頻窗數(shù)目；統(tǒng)計平均窗數(shù)目與每個窗時間長度的乘積，得到跳周期估計值。利用時頻分析頻率重心的跳頻周期估計步驟如下：

2) 借鑒平面重心公式，計算第n個時頻分析窗的頻率重心：

(5)

3) 計算前后兩個窗的頻率重心差值：

(6)

4)計算一跳內(nèi)包含的時頻分析窗數(shù)目Nh：

(7)

式(7)中，ΔF為跳頻率間隔。該式意義為若相鄰時頻窗的頻率重心差值Δfn-1小于跳頻率間隔ΔF，則此相鄰窗處在同一跳周期內(nèi)；反之，出現(xiàn)了頻率跳變。

5) 統(tǒng)計平均Nh與窗時間長度T的乘積，得到跳周期估計值：

(8)

3 仿真實驗與分析

為驗證跳周期估計算法的正確性，利用Simulink軟件進行仿真實驗，其仿真參數(shù)如表3所示。

表3 跳周期估計實驗仿真參數(shù)Tab.3 Simulation parameters of TH estimation experiment

1) 頻率重心法與能量最大值法性能對比

針對升余弦濾波后的跳頻信號，通過仿真實驗對比頻率重心法與能量最大值法的性能。兩種方法對升余弦濾波后跳頻信號的時頻分析結(jié)果如圖2所示。

如圖2所示，對升余弦濾波后的跳頻信號而言，頻率重心法比能量最大值法有更好的時頻聚焦性。這是因為升余弦濾波后，基帶信號頻譜變得平坦，時頻能量最大值處不一定能對準該窗的載頻，所以出現(xiàn)圖2(b)的頻率發(fā)散結(jié)果；頻率重心法以該窗內(nèi)的頻率重心所在載頻作為該窗的載頻，可以減弱頻譜擴展和平坦帶來的影響。對頻率重心法而言，由于統(tǒng)計因素也會出現(xiàn)個別窗的重心計算偏差，但該偏差遠遠小于跳頻率間隔，在載頻判斷時可以歸為一跳信號，不影響后續(xù)的跳周期TH估計，同時從頻率重心所在處的時頻能量值也可看出，重心所在載頻并不是能量最大值所在載頻處，也證明了應用頻率重心法比能量最大值法更適合于分析升余弦濾波后的跳頻信號。

圖2 兩種方法對升余弦濾波跳頻信號的時頻分析結(jié)果Fig.2 Time-frequency analysis results of frequency hopping signal by two methods

2) 不同時頻分析方法下跳周期估計性能對比

通過仿真實驗，分析采用STFT時頻能量、WVD和SPWVD三種方法對跳頻信號進行時頻分析。實驗用的跳頻信號由偽隨機序列生成，采用隨機選取間隔作為一次跳頻信號的起點，共選100組信號進行實驗，然后利用頻率重心法估計跳周期，分析三種方法的性能，不同時頻分析方法得出的跳頻周幾估值歸一化方差結(jié)果如圖3所示。

圖3 不同時頻分析估計方法的TH估計性能對比Fig.3 TH estimation performance comparison of the different estimation methods

從圖3中可以看出，給出了不同信噪比條件下應用三種時頻分析方法進行估計的跳周期歸一化方差?？梢钥闯觯擲NR較小時，基于STFT的頻率重心法估計性能較好，在SNR較大時，基于WVD和SPWVD的頻率重心法估計性能較好。

以跳頻周期的5%作為閾值，對估計結(jié)果進行準確定度量，即估計值與真實值的偏差小于實際周期的5%則判為正確，否則為錯誤，統(tǒng)計SNR為0，5，10三種不同信噪比下的估計正確的次數(shù)，共900組仿真實驗的結(jié)果如表4所示。

表4 不同方法不同信噪比條件下估計結(jié)果Tab.4 Estimation results under different methods and SNR conditions

結(jié)合上述仿真結(jié)果進行分析可知，利用時頻分析頻率重心的跳頻周期估計性能主要受到三個因素制約：一是噪聲干擾頻率重心的正確位置，二是時頻分析的交叉項，三是時頻分析的聚集性。在SNR較小時，前兩個是主要影響因素，而對于STFT不受交叉項干擾影響，此時其估計性能較好；而SPWVD通過時、頻域加窗，消除了部分交叉項干擾，此時其估計性能次之；而WVD方法交叉項干擾嚴重，此時其估計性能較差。當SNR較大時，后兩個是主要影響因素，并且在SNR充分大后，與噪聲的交叉項干擾可忽略，此時估計性能主要是時頻聚集性影響，并達到時頻聚集性的極限界；STFT的時頻聚集性無法達到測不準原理的性能界，二次時頻分析如WVD和SPWVD可以達到該性能界，所以在SNR較大時，基于STFT頻率重心的估計性能差于基于WVD和SPWVD頻率重心的估計性能。

3) 不同時頻分析估計方法的運算開銷

分析第2節(jié)的算法步驟可知，對于不同的利用時頻分析頻率重心的跳頻周期估計算法，在得到時頻分析結(jié)果之后的運算開銷是一樣，都經(jīng)過了H次乘法，H+3N/H次加法。能量最大法的運算開銷是在時頻分析的結(jié)果之后，直接查詢時頻窗內(nèi)能量最大值所在的頻率。因此，能量最大法的運算量比頻率重心法的小。

不同時頻分析估計方法的運算量不同，主要取決于各種時頻分析的運算量不同。由表2可知，WVD的運算量要遠遠小于SPWVD的運算量，對于慢跳頻系統(tǒng)(時頻窗內(nèi)采樣點數(shù)小于跳周期內(nèi)采樣點數(shù)[1])，跳周期的采樣點數(shù)N大于時頻窗的采樣點數(shù)H，所以對于STFT的運算量遠遠小于WVD，這是因為為保證慢跳頻系統(tǒng)的時間分辨率，H要遠遠小于N。所以對于跳速快的慢跳頻系統(tǒng)，基于STFT的頻率重心估計跳周期更加適用。

4 結(jié)論

本文提出了一種利用時頻分析頻率重心的跳頻周期估計方法，該方法消除了基帶成型濾波對跳頻信號的頻譜擴展和平坦的影響，以某時頻分析窗內(nèi)的頻率重心表征該窗的載頻，避免了能量最大值對于基帶成型濾波的載頻估計發(fā)散問題，得到了較好的估計性能。仿真實驗表明，頻率重心法比能量最大值法更適合于分析升余弦濾波后的跳頻信號。本文所提算法和結(jié)論為經(jīng)基帶成型濾波的跳頻信號及實際跳頻信號的參數(shù)估計提供了參考和借鑒。