線段最值問(wèn)題解題策略探討

王磊

[摘要]線段最值問(wèn)題是平面幾何中常見(jiàn)的問(wèn)題。該類(lèi)問(wèn)題一般以動(dòng)點(diǎn)為出發(fā)點(diǎn)，存在眾多變化量，如線段長(zhǎng)、幾何周長(zhǎng)和面積等。求解的關(guān)鍵是確定最值情形，實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)問(wèn)題的具體化。

[關(guān)鍵詞]線段;最值;策略

[中圖分類(lèi)號(hào)]G633.6[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A [文章編號(hào)]1674-6058（2020）08-0022-02

求線段最值是動(dòng)態(tài)幾何的典型問(wèn)題。由于問(wèn)題中給定的幾何條件是變化的，存在一些特殊的動(dòng)點(diǎn)，從而造成相關(guān)的線段長(zhǎng)不確定。下面探討線段最值問(wèn)題的解題策略。

策略一：直接利用垂線段最短的性質(zhì)

連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短，這是垂線段的核心性質(zhì)。因此涉及直線外一點(diǎn)與直線上點(diǎn)的連線問(wèn)題時(shí)，可以結(jié)合垂線段的性質(zhì)來(lái)直接構(gòu)建模型，將動(dòng)態(tài)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體的常規(guī)問(wèn)題。

分析：本題是關(guān)于雙動(dòng)點(diǎn)的線段和問(wèn)題，基本解題思路是通過(guò)適度變換將其轉(zhuǎn)化為單線段問(wèn)題，然后結(jié)合相應(yīng)的定理來(lái)確定最值情形。對(duì)于本題，由于點(diǎn)

策略二：利用兩點(diǎn)之間線段最短公理

“兩點(diǎn)之間，線段最短?！痹诮馕鲫P(guān)于兩點(diǎn)之間的線段最值問(wèn)題時(shí)，可以結(jié)合問(wèn)題情形利用上述公理來(lái)加以突破。對(duì)于不在同一直線上的多線段問(wèn)題，則可以適度結(jié)合軸對(duì)稱(chēng)變換的方法來(lái)靈活轉(zhuǎn)化。

分析：本題求BP的長(zhǎng)，實(shí)際上就是求PE+PF取得最小值時(shí)點(diǎn)P的位置。因此需要分析取得最小值時(shí)的具體情形。對(duì)于"PE+PF”，其中點(diǎn)P是BC上的動(dòng)點(diǎn)，而定點(diǎn)E和F均位于BC的同一側(cè)，可以通過(guò)軸對(duì)稱(chēng)變換的方式，將兩定點(diǎn)轉(zhuǎn)移到異側(cè)，后續(xù)利用公理“兩點(diǎn)之間，線段最短”來(lái)確定點(diǎn)P的位置。

策略三：利用函數(shù)性質(zhì)分析最值

函數(shù)思想同樣可以用于線段最值問(wèn)題的分析，即構(gòu)建關(guān)于線段長(zhǎng)的代數(shù)模型，利用函數(shù)性質(zhì)來(lái)加以分析。比如利用二次函數(shù)來(lái)直接求最值，利用一次函數(shù)來(lái)分析數(shù)值變化。而構(gòu)建函數(shù)時(shí)需要結(jié)合公式定理，常用的有勾股定理、相似三角形的邊長(zhǎng)比例特性。

策略四：通過(guò)“畫(huà)圓”確定取值情形

繪制軌跡圓是求解動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的方式之一，在分析動(dòng)點(diǎn)背景下的線段最值問(wèn)題時(shí)，可以通過(guò)“畫(huà)圓”來(lái)確定動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，進(jìn)而結(jié)合相關(guān)性質(zhì)定理確定線段的最值。

分析：根據(jù)題干條件可知DF=DB=CD始終成立，隨著點(diǎn)E的變化點(diǎn)F的位置也會(huì)變化，但DF始終與DB等長(zhǎng)，則點(diǎn)F的軌跡就為一個(gè)圓，則可以通過(guò)“畫(huà)圓”來(lái)構(gòu)建點(diǎn)F的軌跡，進(jìn)而確定AF的最值。