以微帶面 精準(zhǔn)教學(xué)
——高三二輪復(fù)習(xí)課“立體幾何中的作圖問題”的教學(xué)實(shí)錄與感悟

蔡海濤

(福建省莆田第二中學(xué) 351131)

2019年4月2日-4日，福建省第三批高中數(shù)學(xué)基地學(xué)校研討活動在廈門集美中學(xué)舉行，研討的主題是解決高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)實(shí)踐中存在的重難點(diǎn)問題，提升2019年高考備考的科學(xué)性、針對性，提升教育質(zhì)量.會議期間,筆者應(yīng)邀開設(shè)了一節(jié)高三微專題復(fù)習(xí)課“立體幾何中的作圖問題”.現(xiàn)將這節(jié)課的教學(xué)過程、設(shè)計(jì)意圖、課后感悟整理成文，期待拋磚引玉.

一、教學(xué)過程

1.切入主題

師:我們知道,解決立體幾何問題需要一定的空間想象能力,研究往往從圖形開始,這就要求我們要有識圖、作圖、用圖的能力.在近幾年的高考及省、市質(zhì)檢中,立體幾何作圖問題頻頻出現(xiàn),而考生的答題情況不容樂觀.作圖問題就是定性幾何圖形的位置關(guān)系,而在立體幾何中最重要的位置關(guān)系就是平行和垂直.今天就和同學(xué)們一起來研究立體幾何中涉及平行和垂直的作圖問題.

設(shè)計(jì)意圖:開門見山，直奔主題，提高課堂效率，符合高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的特點(diǎn)，同時(shí)讓學(xué)生感受學(xué)習(xí)這節(jié)課的必要性,提升學(xué)習(xí)的興趣.

2.平行問題

師:請同學(xué)們看例1，先考慮第1小題.

例1(人教A版必修二63頁B組第1題改編)一木塊如圖1所示，點(diǎn)P在平面VAC內(nèi)，D、E分別為棱AB、VB中點(diǎn).

(1)過點(diǎn)P和直線DE將木塊鋸開，應(yīng)該怎樣畫線？

(2)過點(diǎn)P將木塊鋸開,使截面平行于直線VB和AC,應(yīng)怎樣畫線?

生1:點(diǎn)P和DE確定一個(gè)平面,連結(jié)PD，PE，DE，即為所求畫線.

師:P、D、E三點(diǎn)共面，但題意要求的畫線是畫在如圖三棱錐(木塊)的表面上，所以實(shí)質(zhì)上是要畫出平面PDE與三棱錐表面的交線,直線PD，PE就不符合要求了.那么我們該怎么畫呢?

生2:過點(diǎn)P作MN平行于VA,交AC于M,交VC于N,連結(jié)DM、NE、ED,即為所求畫線.

師:回答正確,你是怎么想到的?

生2:首先注意到DE與平面VAC平行,根據(jù)線面平行的性質(zhì),平面PDE與平面VAC的交線與直線DE平行,又因?yàn)镈E∥VA,所以作VA的平行線MN,然后再連結(jié)D、M、N、E各點(diǎn)就好了.

師：非常好.畫兩個(gè)平面的交線，常常要觀察線面平行的關(guān)系，根據(jù)線面平行的性質(zhì)，得到兩平面的交線.另外,同學(xué)們在過一點(diǎn)作已知直線的平行線時(shí),要在某個(gè)平面內(nèi)作出,如這道題目中過點(diǎn)P作MN平行DE就不合理了.接下來,請同學(xué)們看第2小題.

生3:過點(diǎn)P作FG平行AC,交VC于F,交VA于G,過點(diǎn)G作GH平行VB,交AB于H,過點(diǎn)H作HI平行AC,交BC于I,連結(jié)IF,則平面FGHI即為所求.

教師投影例1兩道題目的解答過程.

設(shè)計(jì)意圖:引導(dǎo)學(xué)生初步感受立體幾何中的作圖問題,明確幾何作圖的每個(gè)環(huán)節(jié)都需要有理有據(jù).涉及平行關(guān)系的作圖問題,一般根據(jù)平行的性質(zhì)來尋找求解問題的途徑.

師:通過例1,同學(xué)們基本知道了解決立體幾何涉及平行的作圖問題的一般方法.下面通過例1的變式來鞏固一下.

變式(2019年莆田市高三質(zhì)檢·理19改編)如圖2,邊長為2菱形ABCD中,E,F分別是AB,BC的中點(diǎn),將△DAE,△DCF分別沿DE,DF折起,使A,C重合于點(diǎn)P,如圖3.在棱PD上找點(diǎn)G,使得PB∥平面EFG,并說明理由.

學(xué)生思考、練習(xí)后，教師投影，生4的解答如下:

師:(肯定)對于探究性問題,一般是先假設(shè)結(jié)論成立,通過這個(gè)結(jié)論來發(fā)現(xiàn)性質(zhì),確定幾何圖形的特征.另外,通過這一小題,同學(xué)們也要總結(jié)立幾中折疊問題的圖形特點(diǎn),注意觀察圖形在折疊前后位置關(guān)系與長度關(guān)系變化的情況.

設(shè)計(jì)意圖:通過例1及例1變式,分析這兩道題中立幾作圖平行問題的共性,都是從平行關(guān)系的性質(zhì)入手,確定幾何圖形的位置關(guān)系,然后再作出圖形.

3.垂直問題

師:請同學(xué)們看例2,先完成第1問.

例2如圖6，長方體ABCD-A1B1C1D1中AB=16，BC=10，AA1=8，點(diǎn)E,F分別在A1B1,D1C1上，A1E=D1F=4，面A1C1上有一點(diǎn)O.

(1)(人教A版必修二78頁B組第1題改編)經(jīng)過點(diǎn)O在平面A1C1內(nèi)畫一條直線與直線CO垂直，怎樣畫？

(2)(2015年高考全國Ⅱ卷·理19)過點(diǎn)E,F的平面α與此長方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形，在圖中畫出這個(gè)正方形(不必說出畫法和理由).

生5:(1)步中,連結(jié)OC1,在面A1C1內(nèi),過點(diǎn)O作一直線與OC1垂直,即為所求.

師:(追問)你是如何利用已有的垂直關(guān)系這么作圖的?

師:非常好.對于垂直關(guān)系的作圖,與平行關(guān)系的作圖類似,也是先去尋找原有的位置關(guān)系,再利用性質(zhì)解題.這道題關(guān)鍵就是要發(fā)現(xiàn)CC1⊥平面A1C1,然后去構(gòu)造垂直(過點(diǎn)O作一直線與OC1垂直),從而得到新的線面垂直關(guān)系(所求直線垂直平面CC1O),再得到所求直線垂直CO.

設(shè)計(jì)意圖:例2的解題策略是尋找已有線面垂直關(guān)系,構(gòu)造線線垂直,得到新的線面垂直關(guān)系.這種方法也是經(jīng)過平面α外一定點(diǎn)P向平面α內(nèi)一條定直線AB引垂線的常用方法,即先經(jīng)過P點(diǎn)作平面PO⊥α于O，再過O作OH⊥AB于H，連結(jié)PH,即為所求,該模型實(shí)則三垂線定理的模型.

(片刻后)投影生6例2第(2)的解答,如下:

解(2)交線圍成的正方形EHGF如圖7.

師:(追問)你確定你所畫的圖形是正方形,點(diǎn)H在什么位置?

生6:因?yàn)槠矫鍭C∥平面A1C1,平面AB1∥平面DC1,所以平面α與此長方體的面相交的交線圍成的四邊形為平行四邊形.又EF垂直平面AB1,可知EF⊥EH,所以該平行四邊形為矩形.因此只須考慮EF=EH=10,即滿足題意.在矩形ABB1A1中,可求得AH=10.

師:很好.作長方體截面,要充分利用平行垂直關(guān)系,先判斷截面圖形的形狀,確定位置關(guān)系,再確定長度(角度).

設(shè)計(jì)意圖:涉及垂直關(guān)系問題的作圖,引導(dǎo)學(xué)生觀察已有的垂直關(guān)系,通過在某個(gè)平面作線線垂直,得到新的線線垂直或線面垂直,即一般通過線面垂直與線線垂直關(guān)系的互相轉(zhuǎn)化來處理.

（三）缺乏科學(xué)、完善、系統(tǒng)的職稱聘用管理辦法和激勵制度。目前不可否認(rèn)的是絕大多數(shù)科技館作為事業(yè)單位，一定程度上存在“大鍋飯”，員工人浮于事的現(xiàn)象，沒有行之有效的績效獎懲制度，發(fā)現(xiàn)一些管理漏洞、紀(jì)律問題等礙于情面也都是輕描淡寫，和稀泥，員工的工作積極性和創(chuàng)造性都較低。

4.鞏固提升

師:請同學(xué)們做道練習(xí)題.

(2019年福州市高三質(zhì)檢·文19)如圖8，四棱錐E-ABCD，平面ABCD⊥平面ABE，四邊形ABCD為矩形，AD=6，AB=5，BE=3，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且BF⊥平面ACE.

(1)求證：AE⊥BE；(略)

(2)設(shè)M在線段DE上，且滿足EM=2MD，試在線段AB上確定一點(diǎn)N，使得MN∥平面BCE，并求MN的長.

同學(xué)們自主練習(xí)后,教師投影第2問的解答.

生7：(2)解法一：在△ADE中過M點(diǎn)作MG∥AD交AE于G點(diǎn)，在△ABE中過G點(diǎn)作GN∥BE交AB于N點(diǎn)，連MN(如圖9).

因?yàn)镋M=2MD，所以EG=2GA,BN=2NA．因?yàn)镹G∥BE,NG?平面BCE，BE?面BCE，所以NG∥平面BCE．同理，GM∥平面BCE．

因?yàn)镸G∩GN=G，所以平面MGN∥平面BCE.又因?yàn)镸N?平面MGN，所以MN∥平面BCE，所以N點(diǎn)為線段AB上靠近A點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)．

師:兩位同學(xué)完成得很好,這兩種方法就是證明線面平行的常用方法,即通過面面平行來證明和通過線線平行來證明.

設(shè)計(jì)意圖:通過練習(xí),進(jìn)一步提升同學(xué)們立幾作圖的能力,引導(dǎo)學(xué)生歸納平行與垂直的作圖的一般方法.作圖方法的多樣性可引導(dǎo)學(xué)生多角度思考問題.

5.歸納總結(jié)

師:請同學(xué)們交流總結(jié)下本節(jié)課的學(xué)習(xí)心得.

生:通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),我們體會到立體幾何中如何更好去識圖、作圖、用圖,如何利用平行、垂直的性質(zhì)去解決涉及平行、垂直的作圖問題,在作圖中提升了空間想象能力,書寫中提升推理論證能力.

師:(結(jié)束語)同學(xué)們總結(jié)得很到位,希望大家在以后作圖的學(xué)習(xí)中進(jìn)一步提升直觀想象和邏輯推理的素養(yǎng).

二、教學(xué)感悟

1.微專題究竟微在哪

高三二輪專題復(fù)習(xí)中，教師通常圍繞熱點(diǎn)問題開展微專題復(fù)習(xí).“微專題”的“微”要立足學(xué)生的學(xué)情(學(xué)生哪個(gè)模塊哪個(gè)類型題目比較薄弱，為什么比較薄弱)，切口小、針對性強(qiáng)，只有“微”到點(diǎn)上，才能做到精準(zhǔn)教學(xué)，復(fù)習(xí)高效.2016年全國Ⅰ卷文科第18題，是一道涉及垂直關(guān)系的立體幾何作圖問題，該題實(shí)測得分率非常低.這一現(xiàn)象反映了很多教師在平時(shí)的教學(xué)中，不舍得花一定的時(shí)間教學(xué)生怎么看圖，怎么作圖，從而沒有很好地培養(yǎng)學(xué)生識圖、作圖、用圖的能力.本節(jié)課圍繞“立體幾何中的作圖問題”設(shè)計(jì)教學(xué)，利用平行和垂直兩種關(guān)系的作圖，講明作圖的原理，培養(yǎng)模型意識，涵蓋了立體幾何中線線、線面、面面平行垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)了空間想象、推理論證等能力，發(fā)展了數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，起到了以微帶面的效果.

2.高三復(fù)習(xí)應(yīng)回歸教材

在高考中，立體幾何的作圖題多次出現(xiàn)，如2018年全國Ⅲ卷文科第19題，2016年全國Ⅰ卷文科第18題 ；2016年四川卷理科第18題；2013年福建卷理科第19題；2013年福建卷文科第18題；2013年湖北卷理科第19題；2013年四川卷理科第19題，文科第19題；2013年安徽卷理科第15題、文科第15題；2009年安徽卷理科第18題；2002年全國卷文科第22題等.這些作圖題蘊(yùn)含著空間想象、推理論證，考查了立體幾何中最重要的兩項(xiàng)基本功.所以說,高三立體幾何的備考,一定要落在“基礎(chǔ)”上，無論是哪種層次的考生，基礎(chǔ)部分的分值至關(guān)重要.因此，在備考時(shí)要回歸教材.基于此，筆者在例題的選擇上都是以課本的例題為母題，然后再進(jìn)行變式，通過變式，可以發(fā)現(xiàn)很多高考題都是源于教材，希望以此來引發(fā)學(xué)生和聽課教師對回歸教材的思考，讓師生在備考時(shí)真正做到回歸教材，聚集高考.